贝塔分布(beta分布)及Python实现——计算机视觉修炼之路（二）

红太狼 2022-10-04 12:53 399阅读 0赞

# beta分布 #

贝塔分布（ Beta Distribution ) 是一个作为伯努利分布和二项式分布的共轭先验分布的密度函数，在机器学习和数理统计学中有重要应用。在概率论中，贝塔分布，是指一组定义在(0,1)区间的连续概率分布。其概率密度函数为：

![f(x;\\alpha ,\\beta )=\\frac\{1\}\{B(\\alpha ,\\beta )\}x^\{\\alpha -1\}(1-x)^\{\\beta -1\}][f_x_alpha _beta _frac_1_B_alpha _beta _x_alpha -1_1-x_beta -1]

**beta 分布的期望**为：![\\mu =\\frac\{\\alpha \}\{\\alpha +\\beta \}][mu _frac_alpha _alpha _beta]

下面我们通过一个问题来具体的分析 beta 分布的使用。假设一个概率实验只有两种结果，一个是成功，概率是X；另一个是失败，概率为（1−X）。其中，X的值我们是不知道的，但是它所有可能的情况也是等概率的。如果我们对X的不确定性用一种方式描述，那么，可以认为X是个来自于\[0，1\]区间的均匀分布的样本。

这是很合理的，因为X只可能是\[0，1\]之间的某个值。同时，我们对X也一无所知，认为它是\[0，1\]之间任何一个可能的值。这些都与\[0，1\]均匀分布的性质契合。

现在，假设我们做了n次独立重复的实验，我们观察到k次成功，n−k次失败。这时候我们就可以使用这些实验结果来修订之前的假设了。换句话说，我们就要计算X的条件概率，其条件是我们观察到的成功次数和失败次数。这里计算的结果就是 beta 分布了。

在这里，在总共n次实验，k次成功的条件下，X的条件概率是一个 beta 分布，其参数是k+1和n−k+1。

## 示例：beta分布用于评价旧货商服务质量 ##

假设亚马逊上有三家旧货商，其评价结果分别如下：

商家一：85193个评论，94%的正向

商家二：20785个评论，98%的正向

商家三：840个评论，99%的正向

那么这三个商家中，哪一家的服务质量最好呢？假设我们对三家旧货商的信息一无所知，那么这些参数的先验可以认为是一个均匀分布，也可以等同于 beta(1,1) 。根据之前的知识，我们知道，最终这三家旧货商的服务质量应当服从三个不同参数的 beta 分布，即 beta(80082,5113)、beta(20370,417)和beta(833,9)。

> 注意，当 beta 分布的参数很大的时候，我们可以使用相同均值和方差的正态分布代替这个 beta 分布。

因此，最终这三家供货商，商家3的服务质量的标准差是0.003，是最大的。其他两家的标准差比这个还小。因此，我们可以认为这三家供货商的服务质量都高度聚焦于他们的均值。因此，从第一个或第二个分布中抽取的样本不太可能比第三个样本的值高。也就是说前两个服务商不太可能质量比第三个高。

## scipy 的 beta 分布计算 ##

Python 的`scipy`中含有 beta 分布函数。下面给出该函数的用法： `beta.pdf(x,a,b)` 其中`x`是给定的取值范围，`a`为α值，`b`为β值。它的返回值就是指定输入的概率值。

例如，在旧货商的正向评论率问题中，我们使用 scipy 的 `beta` 函数就可以得到三家供货商的服务质量函数。在本问题中，x∈\[0,1\]表示正向评论率，三个旧货商的 `beta` 函数为`beta.pdf(x,80082,5113)，beta.pdf(x,20370,417)，beta.pdf(x,833,9)`。 使用 `beta` 函数后得到的值就是正向评论率的概率。

编程示例

我们现在考虑这么个问题：

问题1. 在一个收费站，收费站一段时间（比如每隔1小时）会经过一些车（n辆）。假设经过的车只分两种，大车和小车。我们希望通过观察收费站一长段时间的车辆经过情况，估计小车占所有车的比例 p 。

首先我们使用这样的策略：每隔一个小时统计一次，那么在每个小时内，小车的数量应该服从(n,p)二项分布。但是有个问题，就是每个小时的 n （车辆总数）是不同的， p 也不同，那么十个小时的观测到的小车数目，就是十个不同的二项分布的期望，所以不好假设是二项分布了。

估计小车的比例 p 显然仅能出现于0到1之间。任何时刻的小车的比例具有随机性，这些提示我们一段时间的小车比例的分布可能符合贝塔分布。

记每小时的小车数为α ，大车数β，则小车的比例为![\\frac\{\\alpha \}\{\\alpha +\\beta \}][frac_alpha _alpha _beta]。而这个比例就服从B(α,β)。也就是说，计算每小时观测到的小车比例，可以认为小车车流量服从 beta 分布，并进行求解。因此，小车的占比p的可能性为`0 ~ 1`，作为beta分布的输入`x`，α 和β为函数的参数。

from scipy.stats import beta
    import numpy as np
    
    
    a = input()     #贝塔分布的alpha值
    b = input()     #贝塔分布的beta值
    a = float(a)
    b = float(b)
    x=np.arange(0.1,1,0.1)     #给定的输入数据
    print(beta.pdf(x,a,b))

测试输入：

1.  `0.5`
2.  `0.5`

预期输出：

1.  `[1.06103295 0.79577472 0.69460912 0.64974733 0.63661977 0.649747330.69460912 0.79577472 1.06103295]`

[f_x_alpha _beta _frac_1_B_alpha _beta _x_alpha -1_1-x_beta -1]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?f%28x%3B%5Calpha%20%2C%5Cbeta%20%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7BB%28%5Calpha%20%2C%5Cbeta%20%29%7Dx%5E%7B%5Calpha%20-1%7D%281-x%29%5E%7B%5Cbeta%20-1%7D
[mu _frac_alpha _alpha _beta]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cmu%20%3D%5Cfrac%7B%5Calpha%20%7D%7B%5Calpha%20&plus;%5Cbeta%20%7D
[frac_alpha _alpha _beta]: https://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B%5Calpha%20%7D%7B%5Calpha%20&plus;%5Cbeta%20%7D