线性代数笔记【空间曲面】

桃扇骨 2022-10-09 03:18 111阅读 0赞

# 二次曲面 #

曲面可以看成是一个动点或一条动曲线按照一定条件或规律运动产生的轨迹

曲面的方程即是该动点的坐标所满足的方程

空间解析几何中，一般会涉及到*由曲面写方程*和*由方程看曲面*两种类型问题

## 曲面与曲面方程 ##

### 球面方程 ###

**球面**：空间内与定点的距离等于定长的点的集合

这一定点叫球心，定长叫半径

1.  标准方程

( x − x 0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 + ( z − z 0 ) 2 = r 2 (x-x\_0)^2+(y-y\_0)^2+(z-z\_0)^2=r^2 (x−x0)2\+(y−y0)2\+(z−z0)2=r2

球心 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P\_0(x\_0,y\_0,z\_0) P0(x0,y0,z0)，半径为r

1.  一般方程

x 2 + y 2 + z 2 − 2 x 0 x − 2 y 0 y − 2 z 0 z + ( x 0 2 + y 0 2 + z 0 2 − r 2 ) = 0 x^2+y^2+z^2-2x\_0x-2y\_0y-2z\_0z+(x\_0^2+y\_0^2+z\_0^2-r^2)=0 x2\+y2\+z2−2x0x−2y0y−2z0z\+(x02\+y02\+z02−r2)=0

球心 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P\_0(x\_0,y\_0,z\_0) P0(x0,y0,z0)，半径为r

**可以展开标准方程得到一般方程；也可以配方一般方程得到标准方程**

### 柱面方程 ###

**柱面**：由动直线L沿着一条定曲线C平行于定直线l移动所形成的曲面

定曲线C称为**准线**，动直线L称为**母线**

#### 圆柱面 ####

**圆柱面**：由直线L沿Oxy面上的圆 x 2 + y 2 = r 2 x^2+y^2=r^2 x2\+y2=r2平行于z轴移动所形成的柱面

定义所说的柱面母线平行于z轴

一个只含两个变量的方程f(x,y)=0在Oxyz坐标系下表示母线平行于x轴，准线为Oxy面上的曲线f(x,y)=0的柱面

也就是说**方程中缺哪个字母就平行于哪个轴**

#### 二次柱面 ####

由直线L沿某坐标平面上圆锥曲线平行于第三条坐标轴移动形成的柱面就是**椭圆柱面**、**双曲柱面**或**抛物柱面**

求二次柱面方程的方法

1.  根据母线平行于的向量求母线（设出母线方程）
2.  联立方程组（将母线方程中的 x 0 、 y 0 、 z 0 x\_0、y\_0、z\_0 x0、y0、z0用x、y、z表示出来）
3.  套入准线公式（将 x 0 、 y 0 、 z 0 x\_0、y\_0、z\_0 x0、y0、z0代入准线方程）

### 旋转面方程 ###

**旋转面**：有一条平面曲线C绕其所在平面上的定直线l旋转一周形成的曲面

曲线C称为旋转面的**母线**；直线l称为**旋转轴**

旋转面的方程形如

f ( ± x 2 + y 2 , z ) = 0 f(\\pm\\sqrt\{x^2+y^2\},z)=0 f(±x2\+y2,z)=0或 f ( ± x 2 + z 2 , y ) = 0 f(\\pm\\sqrt\{x^2+z^2\},y)=0 f(±x2\+z2,y)=0或 f ( ± y 2 + z 2 , x ) = 0 f(\\pm\\sqrt\{y^2+z^2\},x)=0 f(±y2\+z2,x)=0

**曲线绕着哪条坐标轴转，哪条坐标轴就不动，将 ± a 2 + b 2 \\pm\\sqrt\{a^2+b^2\} ±a2\+b2代入原曲线方程，其中a、b代表曲线所在的平面**

### 空间曲线方程 ###

**一条空间曲线可以看作是两个曲面的交线**

若两曲面S1、S2方程为

F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0和 G ( x , y , z ) = 0 G(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0

则两曲面交线上的点的坐标同时满足两个方程，即将两方程联立得到曲线方程

\{ F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 \\left\\\{ \\begin\{aligned\} F(x,y,z)=0 \\\\ G(x,y,z)=0 \\end\{aligned\} \\right. \{ F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0

该方程组称为空间曲线的**一般式方程**

空间直角坐标系中，空间曲面的方程只包含一个关系式；空间曲线的方程是两个关系式联立得到的方程组

曲线方程也可以用动点关于时间t的运动方程表达  
 \{ x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) \\left\\\{ \\begin\{aligned\} x=x(t)\\\\ y=y(t)\\\\ z=z(t) \\end\{aligned\} \\right. ⎩⎪⎨⎪⎧x=x(t)y=y(t)z=z(t)  
该方程称为空间曲线的**参数方程**

过空间曲线C上每一点作Oxy面的垂线，这些垂线形成了一个母线平行于z轴且通过曲线C的柱面，称为曲线C关于Oxy面的**投影柱面**

该柱面与Oxy面的交线称为曲线C在Oxy面上的**投影曲线**，简称**投影**

从空间曲线的方程组中分别消去投影面对应的坐标，再与投影面方程（例如Oxy平面的x=0，y=0）联立就可以得到曲线C在对应投影面上的投影曲线方程

## 二次曲面 ##

**二次曲面**：一个三元二次方程所表示的曲面

一般使用截痕法了解曲面形状

### 椭球面 ###

方程： x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 \\frac\{x^2\}\{a^2\}+\\frac\{y^2\}\{b^2\}+\\frac\{z^2\}\{c^2\}=1 a2x2\+b2y2\+c2z2=1

式中a、b、c称为椭球面的**半轴**

它与三个坐标面的交线都是椭圆

形状类似橄榄球

球面是椭球面的一种特殊情况

### 二次锥面 ###

方程： x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 0 \\frac\{x^2\}\{a^2\}+\\frac\{y^2\}\{b^2\}-\\frac\{z^2\}\{c^2\}=0 a2x2\+b2y2−c2z2=0

它的旋转轴为z轴

形状类似两个圆锥顶对顶连接

### 单叶双曲面 ###

方程： x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = 1 \\frac\{x^2\}\{a^2\}+\\frac\{y^2\}\{b^2\}-\\frac\{z^2\}\{c^2\}=1 a2x2\+b2y2−c2z2=1

它的中心在z轴上，与Oxy坐标面的交线是椭圆，与其他坐标面的交线都是双曲线

形状为上下无限延伸的开口越来越大的桶

### 双叶双曲面 ###

方程： x 2 a 2 + y 2 b 2 − z 2 c 2 = − 1 \\frac\{x^2\}\{a^2\}+\\frac\{y^2\}\{b^2\}-\\frac\{z^2\}\{c^2\}=-1 a2x2\+b2y2−c2z2=−1

它的中心在z轴上，与坐标面的交线是双曲线

形状类似两个尖顶相对的窝头

### 椭圆抛物面 ###

方程： z = x 2 a 2 + y 2 b 2 z=\\frac\{x^2\}\{a^2\}+\\frac\{y^2\}\{b^2\} z=a2x2\+b2y2（z>0，开口向上）或 − z = x 2 a 2 + y 2 b 2 -z=\\frac\{x^2\}\{a^2\}+\\frac\{y^2\}\{b^2\} −z=a2x2\+b2y2（z<0，开口向下）

中心沿z轴，与坐标平面的交线都是抛物线

形状类似一个碗

### 双曲抛物面（马鞍面） ###

方程： z = x 2 a 2 − y 2 b 2 z=\\frac\{x^2\}\{a^2\}-\\frac\{y^2\}\{b^2\} z=a2x2−b2y2

平行于Oxz平面的截面是双曲线

平行于Oxy平面的截面是双曲线

平行于Oyz平面的截面是抛物线

形状类似马鞍