用计算机模拟ising,二維正方晶格Ising模型的计算机模拟.doc

忘是亡心i 2022-10-10 06:43 156阅读 0赞

二維正方晶格Ising模型的计算机模拟

二维正方晶格Ising模型的计算机模拟

摘要：本文主要研究的是150×150的二维正方晶格，通过构建二维Ising模型，采用Metropolis算法，计算了在零磁场下它的相变温度，比热、磁化率等物理量随温度的变化规律；以及在不同温度时，该些物理量随外加磁场的变化规律。

Lenz曾向他的学生Ising提出一个研究铁磁性的简单模型，而Ising于1925年发表了他对此模型求解的结果，所以这个模型被称为Ising模型。当时Ising只做出了该模型一维下的严格解，在一维情况下并没有自发磁化的发生。另外他还由此错误地推断出在更高维的情况下，这个模型也不存在自发磁化。1936年Peierls论证了二维或三维的Ising模型存在着自发磁化，虽然当时他并没有能够给出模型的严格解。1944年，当Onsager给出了二维Ising模型的严格解之后，Ising模型开始引起人们广泛的关注。这次求解是相变理论发展上的一个重要进展，它第一次清楚地证明了从没有奇异性的哈密顿量体系出发，在热力学极限下能导致热力学函数在临界点附近的奇异行为，而Onsager本人也因此获得了诺贝尔奖。

在此之后很多人又相继发表Ising模型的各种不同解法，Baxter甚至有篇论文叫‘Ising模型的第399种解法’。但至今没有被学术界公认的三维Ising模型精确解。甚至有人发表论文证明无法解出三维Ising模型的精确解，因为三维Ising模型存在拓扑学的结构问题。人们通常用分子场理论及其改进理论、高温级数展开、低温级数展开、重整化群理论、蒙特-卡罗模拟等近似计算三维Ising模型的居里温度和临界指数。

通过上述介绍，我们知道三维Ising模型尚未得到严格解，而一维和二维情况下的解法确是多种多样的。在这里，我们将给出二维Ising模型的其中一种解法，采用的是Metropolis算法。

图1.1 二维正方晶格Ising模型示意图

对于如图1.1所示的Ising模型，假设其自旋只能取向上或向下两个分量，分别用+1和-1表示。当只考虑最近邻的交换相互作用，并认为这种相互作用在不同磁矩间是相同的，用常数J表示。当J>0时，代表铁磁的交换相互作用，它使得近邻自旋有着同方向排列的趋向；当J<0时，代表反铁磁的交换相互作用，它使得近邻自旋有着反方向排列的趋向。考虑到外加磁场的影响，系统的哈密顿量可以写为：

其中si表示位于格点i处的自旋，其取值可为+1和-1，分别代表自旋向上向下；J是交换相互作用常数，这里我们采用J>0代表铁磁相互作用，h是外磁场。对于二维晶格来说，每个自旋有四个近邻。现在采用周期性边界条件，即SL=S0，L为正方晶格的边长,并且我们随机地选取初始时的自旋方向。

首先我们随机地选取一个格点i，考虑将其作翻转，使得Si=-Si，并计算与此翻转相联系的能量变化:

当<0时，表示新的能量比旧的能量低，则作此翻转，而当>0时，新的能量比较高，则按几率翻转。翻转几率ω=exp(-/KT),同时产生一个在\[0,1\]之间均匀分布的随机数X，当X

以下为所编的C语言程序：

\#include

\#define L 150

\#define preN 100000

\#define lateN 5100000

\#define deltaN (lateN-preN)

\#define J 0.5

\#define h 0

double recordEnergy;