高等数学基础06：方向导数

超、凢脫俗 2022-10-15 05:46 226阅读 0赞

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如上图，蚂蚁沿什么方向跑路才能活？  
函数： z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)  
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如果函数的增量，与这两点距离的比例存在，则称此为在P点沿着L的方向导数  
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函数：  f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在X轴正向 e 1 ⃗ = \{ 1 , 0 \} \\vec\{e\_1\}=\\\{1,0\\\} e1=\{ 1,0\} ，Y轴正向$\\vec\{e\_2\}=\{0,1 \}$ 的方向导数  
分别为：  f x , f y f\_x,f\_y fx,fy负方向导数： − f x , − f y -f\_x,-f\_y −fx,−fy

定理：如果函数  z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点  P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)是可微分的，那么在该点 沿任意方向L的方向导数都存在。  
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 φ 为 X 轴 到 L 的 角 度 \\varphi 为X轴到L的角度 φ为X轴到L的角度

\#\#\#例：  
 求 函 数 z = x e 2 y 在 点 P ( 1 , 0 ) 处 沿 从 点 P ( 1 , 0 ) 到 点 Q ( 2 , − 1 ) 的 方 向 导 数 . 求函数z=xe^\{2y\}在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,-1)的方向导数. 求函数z=xe2y在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,−1)的方向导数.  
解： 这里方向 l ⃗ \\vec\{l\} l即为$\\vec\{PQ\}=\{1,-1\}$，故x轴到方向 l ⃗ \\vec\{l\} l的转角 φ = − π 4 . \\varphi=-\\frac\{\\pi\}\{4\}. φ=−4π.  
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所求方向导数  
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