软件设计师考试 | 第九章数据库技术基础 | 关系代数

痛定思痛。 2022-10-16 11:24 120阅读 0赞

## （一）关系数据库的基本概念 ##

### 1. 属性和域 ###

在现实世界中，要描述一个事物常常取若干特征来表示，这些特征称为属性（Attribute）。例如，用学号、姓名、性别等属性来描述学生。

每个属性的取值范围对应一个值的集合，称为该属性的域（Domain）。例如，学号的域是六位整型数，姓名的域是十位字符等。

在关系数据模型中，通常对域加了一个限制，所有的域都应是原子数据（`Atomic Data`）。例如，整数、字符串是原子数据，而集合、记录等是非原子数据。

### 2. 笛卡尔积与关系 ###

**笛卡尔积：**

笛卡尔乘积是指在数学中，两个集合\*`X`*和*`Y`*的笛卡尔积（`Cartesian product`），又称直积，表示为*`X`*`×`*`Y`*，第一个对象是*`X`*的成员而第二个对象是*`Y`\*的所有可能有序对的其中一个成员。

假设集合A={a, b}，集合B={0, 1, 2}，
    则两个集合的笛卡尔积为{(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}。

类似的例子有，如果`A`表示某学校学生的集合，`B`表示该学校所有课程的集合，则`A`与`B`的笛卡尔积表示所有可能的选课情况。`A`表示所有声母的集合，`B`表示所有韵母的集合，那么`A`和`B`的笛卡尔积就为所有可能的汉字全拼。

设`A`,`B`为集合，用`A`中元素为第一元素，`B`中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做`A`与`B`的笛卡尔积，记作`AxB`.

笛卡尔积的符号化为：

A×B={(x,y)|x∈A∧y∈B}

例如，A={a,b}, B={0,1,2}，
    则
    A×B={(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}
    B×A={(0, a), (0, b), (1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}

**关系：**  
笛卡尔积的子集称为在域上的关系。

例如，
    D₁XD₂X···XDiX···XDn的子集称为在域D₁，D₂，···，Di，···，Dn上的关系，
    记为R(D₁，D₂，···，Di，···，Dn)，称关系R为n元关系。

### 3. 关系的相关名词 ###

*  目或度  
    `R`表示关系的名字，`n`表示关系的目或度。
 *  候选码  
    若关系中的某一属性或属性组的值能唯一地标识一个元组，则称该属性或属性组为候选码。
 *  主码  
    若一个关系有多个候选码，则选定其中一个为主码。
 *  主属性  
    包含在任何候选码中的诸属性称为主属性。  
    不包含在任何候选码中的属性称为非码属性。
 *  外码  
    如果关系模式`R`中的属性或属性组非该关系的码，但它是其他关系的码，那么该属性集对关系模式`R`而言是外码。
 *  全码  
    关系模型的所有属性组是这个关系模式的候选码，称为全码。

### 4. 关系的3种类型 ###

*  基本关系  
    又称为基本表或基表，它是实际存在的表，是实际存储数据的逻辑表示。
 *  查询表  
    是查询结果对应的表。
 *  视图表  
    是由基本表或其他视图表导出的表。由于它本身不独立存储在数据库中，数据库中只存放它的定义，所以常称为虚表。

### 5. 关系数据库模式 ###

在数据库中要区分型和值。关系数据库中的型也称为关系数据库模式，是关系数据库结构的描述。它包括若干域的定义以及在这些域上定义的若干关系模式。实际上，关系的概念对应于程序设计语言中变量的概念，而关系模式对应于程序设计语言中类型定义的概念。

关系数据库的值是这些关系模式在某一时刻对应的关系的集合，通常称之为关系数据库。

关系的描述称之为关系模式，可以形式化地表示为：`R(U,D,dom,F)`。  
其中，`R`表示关系名；`U`是组成该关系的属性名集合；`D`是属性的域；`dom`是属性向域的映像集合；`F`为属性间数据的依赖关系集合。

通常将关系模式简记为：

R(U)或R(A₁,A₂,A₃,···,An)

其中，`R`为关系名，`A₁,A₂,A₃,···,An`为属性名或域名，属性向域的映像常常直接说明属性的类型、长度。

通常在关系模式主属性上加下划线表示该属性为主码属性。

### 6. 完整性约束 ###

完整性规则防止的是对数据的意外破坏。

**关系的完整性分为：**

*  实体完整性  
    规定基本关系`R`的主属性`A`不能取空值。
 *  参照完整性  
    现实世界中的实体之间往往存在某种联系，在关系模型中实体及实体集间的联系是用关系来描述的，这样自然就存在关系与关系间的引用。
 *  用户定义完整性  
    用户定义完整性就是针对某一具体的关系数据库的约束条件，反映某一具体应用所涉及的数据必须满足的语义要求，由应用的环境决定。

### 7. 关系运算 ###

关系操作的特点的操作对象和操作结果都是集合，而非关系数据模型的数据操作方式则为一次一个记录的方式。

关系数据语言分为三类：

*  关系代数语言
 *  关系演算语言
 *  具有关系代数和关系演算双重特点的语言

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## （二）5种基本的关系代数运算 ##

### 1. 并（Union） ###

关系`R`与`S`具有相同的关系模式，即`R`与`S`的元素相同（结构相同）。关系`R`与`S`的并是由属于`R`或属于`S`的元组构成的集合，记作`R∪S`，其形式定义如下：

R∪S={t|t∈R∨t∈S}

式中`t`为元组变量。

### 2. 差（Difference） ###

关系`R`与`S`具有相同的关系模式，关系`R`与`S`的差是由属于`R`但不属于`S`的元组构成的集合，记作`R-S`，其形式定义如下：

R-S={t|t∈R∧t∉S}

### 3. 广义笛卡尔积（Extended Cartesian Product） ###

两个元数分别为`n`目和`m`目的关系`R`和`S`的广义笛卡尔积是一个（`n+m`）列的元组的集合。元组的前`n`列是关系`R`的一个元组，后`m`列是关系`S`的一个元组，记作`RXS`，其形式定义如下：

RXS={t|t=<t^n,t^m>∧t^n∈R∧t^m∈S}

### 4. 投影（Projection） ###

投影运算是从关系的垂直方向进行运算，在关系`R`中选出若干属性列`A`组成新的关系，记作`πΑ(R)`，其形式定义如下：

πΑ(R)={t[A]|t∈R}

### 5. 选择（Selection） ###

选择运算是从关系的水平方向进行运算，是从关系`R`中选择满足给定条件的诸元组，记作`σF(R)`，其形式定义如下：

σF(R)={t|t∈R∧F(t)=true}

其中，`F`中的运算对象是属性名（或列的序号）或常数，运算符、算术比较符（`<、<=、>、>=、≠`）和逻辑运算符（`∧、∨、¬`）。

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## （三）扩展的关系代数运算 ##

### 1. 交（Intersection） ###

关系`R`与`S`具有相同的关系模式，关系`R`与`S`的交是由属于`R`同时又属于`S`的元组构成的集合，记作`R∩S`，其形式如下：

R∩S={t|t∈R∧t∈S}

显然，`R∩S=R-(R-S)`，或`R∩S=S-(S-R)`。

### 2. 连接（Join） ###

**连接分为以下三种：**

*  `θ连接`
 *  等值连接
 *  自然连接

### 3. 除（Division） ###

除运算是同时从关系的水平方向和垂直方向进行运算。

给定关系`R(X,Y)`和`S(Y,Z)`，`X,Y,Z`为属性组。`R÷S`应当满足元组在`X`上的分量值`x`的象集`Yx`包含关系`S`在属性组`Y`上投影的集合。其形式如下：

R÷S={t^n[X]|t^n∈R∧πy(S)⊆Yx}

其中，`Yx`为`x`在`R`中的象集，`x=t^n[X]`，且`R÷S`的结果集的属性组为`X`。

### 4. 广义投影（Generalized Projection） ###

广义投影运算允许在投影列表中使用算术运算，实现了对投影运算的扩充。

### 5. 外连接（Outer Join） ###

外连接运算是连接运算的扩展，可以处理由于连接运算而缺失的信息。

**外连接运算有以下三种：**

*  左外连接  
    取出左侧关系中所有与右侧关系中任一元组都不匹配的元组，用空值充填所有来自右侧关系的属性，构成新的元组，将其加入自然连接的结果中。
 *  右外连接  
    取出右侧关系中所有与左侧关系中任一元组都不匹配的元组，用空值填充所有来自左侧关系的属性，构成新的元组，将其加入自然连接的结果中。
 *  全外连接  
    完成左外连接和右外连接的操作。即填充左侧关系中所有与右侧关系中任一元组都不匹配的元组，并填充右侧关系中所有与左侧关系中任一元组都不匹配的元组，将产生的新元组加入自然连接的结果中。

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