【R实验.8】方差分析

拼搏现实的明天。 2022-10-16 14:28 198阅读 0赞

*解法并不单一，下列方法带有璇子个人的偏好，因此仅供参考。如有错误，欢迎在评论区斧正！*

8.1 三个工厂生产同一种零件，现从各厂产品中分别抽取4 件产品作检测，其检测强度如表8-7 所示。![在这里插入图片描述][20210531000243650.png_pic_center]  
（1）对数据作方差分析，判断三个厂的产品的零件强度是否有显著差异；

#导入数据
    > factory <- as.factor(c(rep("甲",4),rep("乙",4),rep("丙",4)))
    > strength <- c(115,116,98,83,103,107,118,116,73,89,85,97)
    > data8.1 <- data.frame(factory,strength)
    #各组情况
    aggregate(strength, by=list(factory), FUN=mean)
      Group.1   x
    1      丙  86
    2      甲 103
    3      乙 111
    > aggregate(strength, by=list(factory), FUN=sd)
      Group.1         x
    1      丙 10.000000
    2      甲 15.684387
    3      乙  7.164728   #初步可见乙工厂的零件强度最好、质量最稳定
    #组间差异
    > fit8.1 <- aov(strength ~ factory)
    > summary(fit8.1)
                Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
    factory      2   1304   652.0   4.923 0.0359 *
    Residuals    9   1192   132.4                 
    ---
    Signif. codes:  
    0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

由单因素方差分析结果对应P值<0.05，拒绝原假设，即认为三个厂的产品的零件强度的确存在显著差异。

（2）求每个工厂生产产品零件强度的均值，作出相应的区间估计(α= 0.05）；

#各组均值
    aggregate(strength, by=list(factory), FUN=mean)
      Group.1   x
    1      丙  86
    2      甲 103
    3      乙 111
    #置信区间
    confint <- function(x,sigma=-1,alpha=0.5){ 
    +   n <- length(x)
    +   m <- mean(x)
    +   if(sigma >= 0){ 
    +     deta <- sigma/sqrt(n)*qnorm(1-alpha/2);df <- n
    +   }
    +   else{ 
    +     deta <- sd(x)/sqrt(n)*qt(1-alpha/2,n-1);df <- n-1
    +   }
    +   data.frame(mean=m, df=df, a=m-deta, b=m+deta)
    + }
    > 
    > confint1 <- confint(data8.1[c(1:4),]$strength)
    > confint2 <- confint(data8.1[c(5:8),]$strength)
    > confint3 <- confint(data8.1[c(9:12),]$strength)
    confint1
      mean df        a        b
    1  103  3 97.00157 108.9984
    > confint2
      mean df        a        b
    1  111  3 108.2599 113.7401
    > confint3
      mean df        a        b
    1   86  3 82.17554 89.82446

为便于观察，下面通过gplots包可视化各组对应均值和置信区间。

library(gplots)
    > plotmeans(strength ~ factory, xlab = "factory", ylab = "strength", main="Mean plot \n with 95% CI")

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDYwNjc0_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
（3）对数据作多重检验。

TukeyHSD(fit8.1)
      Tukey multiple comparisons of means
        95% family-wise confidence level
    
    Fit: aov(formula = strength ~ factory)
    
    $factory
          diff        lwr      upr     p adj
    甲-丙   17  -5.720515 39.72051 0.1471244
    乙-丙   25   2.279485 47.72051 0.0323077
    乙-甲    8 -14.720515 30.72051 0.6050019
    
    > par(las=2)
    > plot(TukeyHSD(fit8.1))

从结果看，乙工厂生产的零件强度比甲、丙都强，甲工厂的零件强度次之。同时，结合前面的分析，乙工厂生产的零件质量也最稳定。不难得出乙工厂在生产该零件方面最优的结论。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDYwNjc0_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
8.2 有四种产品，Ai,i=1,2,3 分别为国内甲、乙、丙三个工厂生产的产品，A4 为国外同类产品，现从各厂分别取10,6,6 和2 个产品做300 小时连续磨损老化试验，得变化率如表8-8 所示，假定各厂产品试验变化率服从等方差的正态分布。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDYwNjc0_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
（1）试问四个厂生产的产品的变化率是否有显著差异？

#数据录入
    > product <- as.factor(c(rep("A1",10),rep("A2",6),rep("A3",6),rep("A4",2)))
    > ratio <- c(20,18,19,17,15,16,13,18,22,17,26,19,26,28,23,25,24,25,18,22,27,24,12,14)
    > data8.2 <- data.frame(product,ratio)
    > #各组情况
    > aggregate(ratio, by=list(product), FUN=mean)
      Group.1        x
    1      A1 17.50000
    2      A2 24.50000
    3      A3 23.33333
    4      A4 13.00000
    > aggregate(ratio, by=list(product), FUN=sd)
      Group.1        x
    1      A1 2.549510
    2      A2 3.146427
    3      A3 3.076795
    4      A4 1.414214     
    > #检验组间差异
    > fit8.2 <- aov(ratio ~ product)
    > summary(fit8.2)
                Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
    product      3  346.0  115.33   14.66 2.79e-05 ***
    Residuals   20  157.3    7.87                     
    ---
    Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
    > #可视化
    > library(gplots)
    > plotmeans(ratio ~ product, xlab = "product", ylab = "ratio", main="Mean plot \n with 95% CI")

与第一问类似，由上述结果P值远小于0.05得：四个厂生产的产品的变化率的确有显著差异（这里一个工厂对应一个产品类型）。可视化结果如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDYwNjc0_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
（2）若有差异，请做进一步的检验。i）国内产品与国外产品有无显著差异？ii）国内各厂家的产品有无显著差异？

> TukeyHSD(fit8.2) #多重比较
      Tukey multiple comparisons of means
        95% family-wise confidence level
    Fit: aov(formula = ratio ~ product)
    $product
                diff        lwr       upr     p adj
    A2-A1   7.000000   2.946103 11.053897 0.0005414
    A3-A1   5.833333   1.779436  9.887231 0.0033963
    A4-A1  -4.500000 -10.580846  1.580846 0.1964846
    A3-A2  -1.166667  -5.699062  3.365728 0.8877803
    A4-A2 -11.500000 -17.909774 -5.090226 0.0003529
    A4-A3 -10.333333 -16.743108 -3.923559 0.0011245
    #可视化
    > par(las=2)
    > plot(TukeyHSD(fit8.2))

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDYwNjc0_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
由图可见：  
（1）除A1，A4（国外产品）与A2、A3产品的变化率有显著差异，并且国外产品（A4）的变化率比国内产品的变化率都低。

（2）同时，就国内厂家的产品来说，甲与乙、丙的差异显著，而乙丙两家的产品无明显差异。

8.3 某单位在大白鼠营养试验中，随机将大白鼠分为三组，测得每组12 只大白鼠尿中氨氮的排出量X(mg/6d)，数据由表8-9 所示，试对该资料做正态性检验和方差齐性检验。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDYwNjc0_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

#数据录入
    > group <- as.factor(c(rep("g1",12),rep("g2",12),rep("g3",12)))
    > output <- c(30,27,35,35,29,33,32,36,26,41,33,31,43,45,53,44,51,53,54,37,47,57,48,42,82,66,66,86,56,52,76,83,72,73,59,53)
    > data8.3 <- data.frame(group,output)
    > 
    > #正态性检验
    > library(car)
    > qqPlot(lm(output ~ group), simulate=T, main = "Q-Q plot")
    [1] 28 30

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDYwNjc0_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]  
由图，数据落在95%的置信区间范围内，说明满足正态性假设。

#方差齐性检验
    > bartlett.test(output ~ group)
    	Bartlett test of homogeneity of variances
    data:  output by group
    Bartlett's K-squared = 12.139, df = 2, p-value = 0.002312

Bartlett检验表明三组的方差有显著不同（P<0.05）

> outlierTest(aov(output ~ group))
    No Studentized residuals with Bonferroni p < 0.05
    Largest |rstudent|:
       rstudent unadjusted p-value Bonferroni p
    28 2.410369           0.021857      0.78686

同时，从输出结果看，该数据中没有离群点（P<1）  
总结：因数据仅满足了正态性检验，不满足方差齐性检验，故并不能用ANOVA模型拟合出较好的结果

8.4 以小白鼠为对象研究正常肝核糖核酸（RNA）对癌细胞的生物作用，试验分别为对照组（生理盐水），水层RNA 组和酚层RNA 组，分别用此三种不同处理诱导肝癌细胞的果糖二磷酸酯酶（FDP 酶）活力，数据如表7.28 所示，问三种不同处理的诱导作用是否相同？  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDYwNjc0_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]

#数据录入
    > method <- as.factor(c(rep("对照组",8),rep("水层RNA",8),rep("酚层RNA",8)))
    > result <- c(2.79,2.69,3.11,3.47,1.77,2.44,2.83,2.52,3.83,3.15,4.70,3.97,2.03,2.87,3.65,5.09,5.41,3.47,4.92,4.07,2.18,3.13,3.77,4.26)
    > data8.4 <- data.frame(method,result)
    #各组情况
    > aggregate(result, by=list(method), FUN=mean)
      Group.1       x
    1  对照组 2.70250
    2 酚层RNA 3.90125
    3 水层RNA 3.66125
    > aggregate(result, by=list(method), FUN=sd)
      Group.1         x
    1  对照组 0.5001357
    2 酚层RNA 1.0164425
    3 水层RNA 0.9850807
    > #检验组间差异
    > fit8.4 <- aov(result ~ method)
    > summary(fit8.4)
                Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)  
    method       2  6.437   3.218   4.284 0.0275 *
    Residuals   21 15.776   0.751                 
    ---
    Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

P值<0.05，故拒绝原假设，认为三种不同处理的诱导作用不同

TukeyHSD(fit8.4)
      Tukey multiple comparisons of means
        95% family-wise confidence level
    
    Fit: aov(formula = result ~ method)
    
    $method
                        diff        lwr       upr     p adj
    酚层RNA-对照组   1.19875  0.1064201 2.2910799 0.0298641
    水层RNA-对照组   0.95875 -0.1335799 2.0510799 0.0922432
    水层RNA-酚层RNA -0.24000 -1.3323299 0.8523299 0.8456673

具体来看，水层和酚层两者间、水层与对照组的诱导作用无显著差异，而酚组与对照组的差异明显

8.5 为研究人们在催眠状态下对各种情绪的反应十分有差异，选取了8 个受试者，在催眠状态下，要求每人按任意次序作出恐惧、愉快、忧虑和平静4 中反映。表7.29 给出了各受试者在处于这4 中清醒状态下皮肤的电位变化值，试在(\\alpha=0.05)下，检验受试者在催眠状态下对这4 种情绪的反应力是否有显著差异。![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDYwNjc0_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]

X = c(23.1, 57.6, 10.5, 23.6, 11.9, 54.6, 21, 20.3, 22.7, 53.2, 9.7, 19.6, 13.8, 47.1, 13.6, 23.6, 22.5, 53.7, 10.8, 21.1, 13.7, 39.2, 13.7, 16.3, 22.6, 53.1, 8.3, 21.6, 13.3, 37, 14.8, 14.8)
    > g <- gl(4, 8)  #情绪有四个水平，每个水平有8个数据
    > b <- gl(8, 1, 32)  #每种情绪又有8个人数据，有顺序
    > friedman.test(X, g, b)
    	Friedman rank sum test
    data:  X, g and b
    Friedman chi-squared = 6.45, df = 3, p-value = 0.09166

Friedman检验对应P值大于0.05，故不拒绝原假设H0，认为受试者在催眠状态下对这4 种情绪的反应力没有显著差异。

8.6 为了提高化工厂的产品质量，需要寻求最优反应温度与反应压力的配合，为此选择如下水平：  
A：反应温度（0C） 60 70 80  
B：反应压力（kg） 2 2.5 3  
在每个AiBj 条件下做两次试验，其产量如表8-12 所示.  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDYwNjc0_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]  
（1）对数据作方差分析（应考虑交互作用）；

product <- data.frame(X = c(4.6, 4.3, 6.1, 6.5, 6.8, 6.4, 6.3, 6.7, 3.4, 3.8, 4, 3.8, 4.7, 4.3, 3.9, 3.5, 6.5, 7), A = gl(3, 2, 18), B = gl(3, 6, 18))
    # 首先应该对数据做不同水平下的正态性检验，和各水平的方差齐性检验
    > # 对数据作方差分析（应考虑交互作用）
    > product.aov <- aov(X ~ A + B + A:B, data = product)
    > summary(product.aov)
                Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
    A            2  4.441   2.221   29.83 0.000107 ***
    B            2  3.974   1.987   26.69 0.000164 ***
    A:B          4 21.159   5.290   71.06 8.34e-07 ***
    Residuals    9  0.670   0.074                     
    ---
    Signif. codes:  
    0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

可以看出，因素A和B，及其交互因素对应P值<<0.05，即对产品质量有显著影响

（2）求最优条件下平均产量的点估计和区间估计；

> tapply(product$X, product$A, mean)
           1        2        3 
    5.150000 4.533333 5.750000 
    > tapply(product$X, product$B, mean)
           1        2        3 
    5.783333 4.666667 4.983333 
    > product.best <- c(6.8, 6.4)
    > # 均值的点估计为
    > mean(product.best)
    [1] 6.6
    > # 均值的区间估计为
    > t.test(product.best, alternative = c("two.sided"))
    
    	One Sample t-test
    
    data:  product.best
    t = 33, df = 1, p-value = 0.01929
    alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
    95 percent confidence interval:
     4.058759 9.141241
    sample estimates:
    mean of x 
          6.6

即最优条件下平均产量的点估计为6.6，置信度为95%的区间估计为\[4.058759 9.141241\]

（3）对AiBj 条件下平均产量作多重比较。

TukeyHSD(product.aov)
      Tukey multiple comparisons of means
        95% family-wise confidence level
    
    Fit: aov(formula = X ~ A + B + A:B, data = product)
    
    $A
              diff        lwr        upr     p adj
    2-1 -0.6166667 -1.0564835 -0.1768499 0.0089220
    3-1  0.6000000  0.1601832  1.0398168 0.0104492
    3-2  1.2166667  0.7768499  1.6564835 0.0000777
    
    $B
              diff        lwr        upr     p adj
    2-1 -1.1166667 -1.5564835 -0.6768499 0.0001517
    3-1 -0.8000000 -1.2398168 -0.3601832 0.0017204
    3-2  0.3166667 -0.1231501  0.7564835 0.1653096
    
    $`A:B`
             diff        lwr        upr     p adj
    2:1-1:1  1.85  0.7706087  2.9293913 0.0015185
    3:1-1:1  2.15  1.0706087  3.2293913 0.0004844
    1:2-1:1  2.05  0.9706087  3.1293913 0.0006999
    2:2-1:1 -0.85 -1.9293913  0.2293913 0.1557229
    3:2-1:1 -0.55 -1.6293913  0.5293913 0.5677071
    1:3-1:1  0.05 -1.0293913  1.1293913 0.9999999
    2:3-1:1 -0.75 -1.8293913  0.3293913 0.2502167
    3:3-1:1  2.30  1.2206087  3.3793913 0.0002854
    3:1-2:1  0.30 -0.7793913  1.3793913 0.9600405

因篇幅原因，交互影响后面的输出结果略

8.7 某良种繁殖场为了提高水稻产量，指定试验的因素如表7.31 所示。试选择L9(34)正交表安排试验，假定相应的产量为（单位：kg/100m2）：  
62.925, 57.075, 51.6, 55.05, 58.05, 56.55, 63.225, 50.7, 54.45。  
试对试验结果进行方差分析，并给出一组较好的种植条件  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDYwNjc0_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]  
设三个因素为A(品种),B(密度),C(施肥量)，采用L9(34)L9(34)正交表安排试验，将ABC放到前三列，得到试验结果表  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1MDYwNjc0_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]

rice <- data.frame(A = gl(3, 3), B = gl(3, 1, 9), C = factor(c(1, 2, 3, 2, 3, 1, 3, 1, 2)), Y = c(62.925, 57.075, 51.6, 55.05, 58.05, 56.55, 63.225, 50.7, 54.45))
    > # 计算三个因素下产量的均值
    > tapply(rice$Y, rice$A, mean)
         1      2      3 
    57.200 56.550 56.125 
    > tapply(rice$Y, rice$B, mean)
         1      2      3 
    60.400 55.275 54.200 
    > tapply(rice$Y, rice$C, mean)
         1      2      3 
    56.725 55.525 57.625 
    > # 可见，A取1，B取1，C取3时，达到最优条件。即最有种植条件为，品种：窄叶青8号；密度：4.50棵/100$m^2；施肥量：1.125$kg/100m^2
    
    
    > # 做无交互作用方差分析
    > rice.aov <- aov(Y ~ A + B + C, data = rice)
    > summary(rice.aov)
                Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
    A            2   1.76    0.88   0.022  0.978
    B            2  65.86   32.93   0.836  0.545
    C            2   6.66    3.33   0.085  0.922
    Residuals    2  78.78   39.39

发现ABC对结果的影响均不显著，说明后续还需要对各因素的选择进行调整或增加实验数据

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