坐标型动态规划——不同路径

梦里梦外; 2022-10-27 06:26 159阅读 0赞

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NpbmF0XzQwODc1MDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70]

示例 1：

输入：m = 3, n = 2
    输出：3
    解释：
    从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
    
    1. 向右 -> 向下 -> 向下
    2. 向下 -> 向下 -> 向右
    3. 向下 -> 向右 -> 向下

### 1、题目分析 ###

从题目中应该能看出，该题是典型的网格类的坐标型动态规划和计数型动态规划。

### 2、确定状态 ###

我们的最终目的是为了到达右下角，假设右下角坐标为(n-1,m-1)，因此最后一步要么(n-2,m-1)向下要么(n-1,m-2)向右。

![在这里插入图片描述][20210203214806759.png]

如果倒数第二步在（n-1,m-2)那么，前面一定记录了从（0，0）到（n-1，m-2）所有路径。

如果倒数第二步在（n-2,m-1)那么，前面一定记录了从（0，0）到（n-2，m-1）所有路径。

上面描述了最后一步和子问题则可以确定状态：f\[i\]\[j\]表示从(0,0)到（i，j)的所有路径方式

### 3、转移方程 ###

f\[i\]\[j\]表示从(0,0)到（i，j)的所有路径方式

![在这里插入图片描述][20210203214821399.png]

### 4、初始条件和边界情况 ###

初始条件：f\[0\]\[0\]=1，因为机器人只有一种方式到达左上角

边界情况：i=0或者j=0，则前面只有一个方向过来，f\[i\]\[j\]=1

### 5、计算顺序 ###

还是逐行计算。

时间复杂度：O(MN)，空间复杂度：O（MN）

### 6、代码实现 ###

这里我才用了三种方式实现，注意对比。

class Solution:
        def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
            dp = [[0]*n for i in range(m)]
            for i in range(m):
                dp[i][0]=1
            for i in range(n):
                dp[0][i]=1
            for i in range(1,m):
                for j in range(1,n):
                    dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][j]
            return dp[m-1][n-1]
    #优化算法：采用滚动数组进行空间优化，后面的题目，几乎都可以使用滚动数组优化，我只在这个题目这里写了，后面的大家可以自己尝试
    class Solution:
        def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
            dp=[1]*n
            for i in range(1,m):
                for j in range(1,n):
                    dp[j]+=dp[j-1]
                print(dp)
            return dp[-1]
    #采用组合数学的方式：
    class Solution:
        def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
            return comb(m + n - 2, n - 1)

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3NpbmF0XzQwODc1MDc4_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20221024/06fed83ad0594615858d19384930c478.png
[20210203214806759.png]: /images/20221024/559c15f263f0406cae5fcaf70ee2f898.png
[20210203214821399.png]: /images/20221024/1da0dbd6ca64488b9994aeae595c15a4.png