概率论基础知识整理☯ | 随机向量

「爱情、让人受尽委屈。」 2022-10-27 12:20 164阅读 0赞

### 目录 ###

*  一、二维随机向量及其分布
 *  二、边缘分布
 *  三、条件分布
 *  四、随机变量的独立性
 *  五、两个随机变量函数的分布

# 一、二维随机向量及其分布 #

*  随机向量： X ( e ) X(e) X(e)与 Y ( e ) Y(e) Y(e)是样本空间 Ω \\Omega Ω上的两个随机变量，则 ( X ( e ) , Y ( e ) ) (X(e),Y(e)) (X(e),Y(e))称为 Ω \\Omega Ω上的随机向量，简记 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)。
 *  联合分布函数： F ( x , y ) = P \{ X ≤ x , Y ≤ y \} . F(x,y)=P\\\{X\\le x,Y\\le y\\\}. F(x,y)=P\{ X≤x,Y≤y\}.几何表示为：  
    ![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80ODkyODUzOQ_size_16_color_FFFFFF_t_70][]
 *  分布函数 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)基本性质： 1 。 F ( x , y ) 是 变 量 x , y 的 不 减 函 数 ， 对 于 任 意 固 定 y ， 当 x 1 < x 2 时 ， 有 F ( x 1 , y ) ≤ F ( x 2 , y ) ; 固 定 x 时 同 理 ; 1^。F(x,y)是变量x,y的不减函数，对于任意固定y，\\\\ 当x\_1<x\_2时，有F(x\_1,y)\\le F(x\_2,y);固定x时同理; 1。F(x,y)是变量x,y的不减函数，对于任意固定y，当x1<x2时，有F(x1,y)≤F(x2,y);固定x时同理;  2 。 0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1 , 对 于 固 定 的 y ， 有 F ( − ∞ , y ) = 0 ; 对 于 固 定 的 x ， 有 F ( x , − ∞ ) = 0 ; F ( − ∞ , + ∞ ) = 0 , F ( + ∞ , + ∞ ) = 1. ( 可 通 过 几 何 图 形 理 解 ) 2^。0\\le F(x,y)\\le 1,对于固定的y，有F(-\\infty,y)=0;\\\\ 对于固定的x，有F(x,-\\infty)=0; F(-\\infty,+\\infty)=0,\\\\ F(+\\infty,+\\infty)=1.(可通过几何图形理解) 2。0≤F(x,y)≤1,对于固定的y，有F(−∞,y)=0;对于固定的x，有F(x,−∞)=0;F(−∞,\+∞)=0,F(\+∞,\+∞)=1.(可通过几何图形理解)  3 。 F ( x , y ) 关 于 x 和 y 是 右 连 续 的 ， 即 F ( x , y ) = F ( x + 0 , y ) , F ( x , y ) = F ( x , y + 0 ) . 3^。F(x,y)关于x和y是右连续的，即\\\\ F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0). 3。F(x,y)关于x和y是右连续的，即F(x,y)=F(x\+0,y),F(x,y)=F(x,y\+0).
 *  二维离散型随机变量：

1.  分布律： P \{ X = x i , Y = y j \} = p i j , i , j = 1 , 2 , 3 , … P\\\{X=x\_i,Y=y\_j\\\}=p\_\{ij\},i,j=1,2,3,\\ldots P\{ X=xi,Y=yj\}=pij,i,j=1,2,3,…（也可用图表表示）
2.  分布函数： F ( x , y ) = P \{ X ≤ x , Y ≤ y \} = ∑ x i ≤ x ∑ y j ≤ y p i j . F(x,y)=P\\\{X\\le x,Y\\le y\\\}=\\sum\\limits\_\{x\_i\\le x\}\\sum\\limits\_\{y\_j\\le y\}p\_\{ij\}. F(x,y)=P\{ X≤x,Y≤y\}=xi≤x∑yj≤y∑pij.

*  二维连续型随机变量：

1.  分布函数： F ( x , y ) = P \{ X ≤ x , Y ≤ y \} = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( u , v ) d u d v . F(x,y)=P\\\{X\\le x,Y\\le y\\\}=\\int^x\_\{-\\infty\}\\int^y\_\{-\\infty\}f(u,v)dudv. F(x,y)=P\{ X≤x,Y≤y\}=∫−∞x∫−∞yf(u,v)dudv.其中 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)是 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)联合概率密度或概率密度。
2.  部分性质： 1 。 ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = 1 ; 1^。\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}f(x,y)dxdy=1; 1。∫−∞\+∞∫−∞\+∞f(x,y)dxdy=1;  2 。 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 处 连 续 ， 则 有 ∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y = f ( x , y ) . 2^。若f(x,y)在(x,y)处连续，则有\\\\ \\frac\{∂^2F(x,y)\}\{∂x∂y\}=f(x,y). 2。若f(x,y)在(x,y)处连续，则有∂x∂y∂2F(x,y)=f(x,y).  3 。 设 G 为 x O y 面 上 的 一 区 域 ， 随 机 点 ( X , Y ) 落 入 G 中 的 概 率 为 P \{ ( X , Y ) ∈ G \} = ∬ G f ( x , y ) d x d y . 3^。设G为xOy面上的一区域，随机点(X,Y)落入G中的概率为\\\\ P\\\{(X,Y)\\in G\\\}=\\iint\\limits\_Gf(x,y)dxdy. 3。设G为xOy面上的一区域，随机点(X,Y)落入G中的概率为P\{ (X,Y)∈G\}=G∬f(x,y)dxdy.

*  均匀分布：密度函数为 f ( x , y ) = \{ 1 A , ( x , y ) ∈ G 0 , 其他 f(x,y)=\\begin\{cases\} \\frac\{1\}\{A\}, &\\text\{$(x,y)\\in G$\}\\\\\\\\ 0,&\\text\{其他\} \\end\{cases\} f(x,y)=⎩⎪⎨⎪⎧A1,0,(x,y)∈G其他其中 A A A为区域 G G G的面积，则 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)服从均匀分布。
 *  二维正态分布：密度函数为 f ( x , y ) = 1 2 π σ 1 σ 2 1 − ρ 2 e x p \{ − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) \[ ( x − μ 1 ) 2 σ 1 2 − 2 ρ ( x − μ 1 ) ( y − μ 2 ) σ 1 σ 2 + ( y − μ 2 ) 2 σ 2 2 \] \} , − ∞ < x < + ∞ , − ∞ < y < + ∞ f(x,y)=\\frac\{1\}\{2\\pi\\sigma\_1\\sigma\_2\\sqrt\{1-\\rho^2\}\}exp\\\{ \{-\\frac\{1\}\{2(1-\\rho^2)\}\[\\frac\{(x-\\mu\_1)^2\}\{\\sigma^2\_1\}-\\frac\{2\\rho(x-\\mu\_1)(y-\\mu\_2)\}\{\\sigma\_1\\sigma\_2\}+\\frac\{(y-\\mu\_2)^2\}\{\\sigma^2\_2\}\]\}\\\},\\\\ -\\infty<x<+\\infty,-\\infty<y<+\\infty f(x,y)=2πσ1σ21−ρ21exp\{ −2(1−ρ2)1\[σ12(x−μ1)2−σ1σ22ρ(x−μ1)(y−μ2)\+σ22(y−μ2)2\]\},−∞<x<\+∞,−∞<y<\+∞其中 σ 1 > 0 , σ 2 > 0 , − 1 < ρ < 1 \\sigma\_1>0,\\sigma\_2>0,-1<\\rho<1 σ1>0,σ2>0,−1<ρ<1,则称 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维正态随机变量，记作 ( X , Y ) ∼ N ( μ 1 , μ 2 , σ 1 2 , σ 2 2 , ρ ) (X,Y)\\sim N(\\mu\_1,\\mu\_2,\\sigma^2\_1,\\sigma^2\_2,\\rho) (X,Y)∼N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)。
 *  对于不同的 ρ \\rho ρ有不同的二维正态分布，但它们的边缘分布却是一样的。

# 二、边缘分布 #

*  边缘分布函数： F X ( x ) = P \{ X ≤ x \} = P \{ X ≤ x , Y < + ∞ \} = F ( x , + ∞ ) F Y ( y ) = P \{ Y ≤ y \} = P \{ X < + ∞ , Y ≤ y \} = F ( + ∞ , y ) F\_X(x)=P\\\{X\\le x\\\}=P\\\{X\\le x,Y<+\\infty\\\}=F(x,+\\infty)\\\\ F\_Y(y)=P\\\{Y\\le y\\\}=P\\\{X<+\\infty,Y\\le y\\\}=F(+\\infty,y) FX(x)=P\{ X≤x\}=P\{ X≤x,Y<\+∞\}=F(x,\+∞)FY(y)=P\{ Y≤y\}=P\{ X<\+∞,Y≤y\}=F(\+∞,y)其中 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)为 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的联合分布函数。
 *  二维离散型随机变量的边缘分布：

1.  边缘分布函数： F X ( x ) = F ( x , + ∞ ) = ∑ x i ≤ x ∑ j p i j F Y ( y ) = F ( + ∞ , y ) = ∑ i ∑ y j ≤ y p i j F\_X(x)=F(x,+\\infty)=\\sum\\limits\_\{x\_i\\le x\}\\sum\\limits\_jp\_\{ij\}\\\\ F\_Y(y)=F(+\\infty,y)=\\sum\\limits\_i\\sum\\limits\_\{y\_j\\le y\}p\_\{ij\} FX(x)=F(x,\+∞)=xi≤x∑j∑pijFY(y)=F(\+∞,y)=i∑yj≤y∑pij
2.  边缘分布律： P \{ X = x i \} = ∑ j p i j , i = 1 , 2 , 3 , … P \{ Y = y j \} = ∑ i p i j , j = 1 , 2 , 3 , … P\\\{X=x\_i\\\}=\\sum\\limits\_jp\_\{ij\},i=1,2,3,\\ldots\\\\ P\\\{Y=y\_j\\\}=\\sum\\limits\_ip\_\{ij\},j=1,2,3,\\ldots P\{ X=xi\}=j∑pij,i=1,2,3,…P\{ Y=yj\}=i∑pij,j=1,2,3,…

*  二维连续型随机变量的边缘分布：

1.  边缘分布函数： F X ( x ) = F ( x , + ∞ ) = ∫ − ∞ x \[ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y \] d x F Y ( y ) = F ( + ∞ , y ) = ∫ − ∞ y \[ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x \] d y F\_X(x)=F(x,+\\infty)=\\int^x\_\{-\\infty\}\[\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}f(x,y)dy\]dx\\\\ F\_Y(y)=F(+\\infty,y)=\\int^y\_\{-\\infty\}\[\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}f(x,y)dx\]dy FX(x)=F(x,\+∞)=∫−∞x\[∫−∞\+∞f(x,y)dy\]dxFY(y)=F(\+∞,y)=∫−∞y\[∫−∞\+∞f(x,y)dx\]dy
2.  边缘密度函数（边缘分布密度）： f X ( x ) = d F X ( x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y f Y ( y ) = d F Y ( y ) d y = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x . f\_X(x)=\\frac\{dF\_X(x)\}\{dx\}=\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}f(x,y)dy\\\\ f\_Y(y)=\\frac\{dF\_Y(y)\}\{dy\}=\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}f(x,y)dx. fX(x)=dxdFX(x)=∫−∞\+∞f(x,y)dyfY(y)=dydFY(y)=∫−∞\+∞f(x,y)dx.

# 三、条件分布 #

*  二维离散型随机变量的条件分布律： P \{ X = x i ∣ Y = y j \} = P \{ X = x i , Y = y j \} P \{ Y = y j \} , i = 1 , 2 , 3 , … P\\\{X=x\_i|Y=y\_j\\\}=\\frac\{P\\\{X=x\_i,Y=y\_j\\\}\}\{P\\\{Y=y\_j\\\}\},i=1,2,3,\\ldots P\{ X=xi∣Y=yj\}=P\{ Y=yj\}P\{ X=xi,Y=yj\},i=1,2,3,…其中 j j j固定，且 P \{ Y = y j \} > 0 P\\\{Y=y\_j\\\}>0 P\{ Y=yj\}>0。同理有 P \{ Y = y j ∣ X = x i \} = P \{ X = x i , Y = y j \} P \{ X = x i \} , j = 1 , 2 , 3 , … P\\\{Y=y\_j|X=x\_i\\\}=\\frac\{P\\\{X=x\_i,Y=y\_j\\\}\}\{P\\\{X=x\_i\\\}\},j=1,2,3,\\ldots P\{ Y=yj∣X=xi\}=P\{ X=xi\}P\{ X=xi,Y=yj\},j=1,2,3,…
 *  二维连续型随机变量的条件分布：

1.  条件分布函数：设对于任意固定的 ε > 0 \\varepsilon>0 ε>0，有 P \{ y − ε < Y ≤ y + ε \} > 0 P\\\{y-\\varepsilon<Y\\le y+\\varepsilon\\\}>0 P\{ y−ε<Y≤y\+ε\}>0，若极限 lim ⁡ ε → 0 + P \{ X ≤ x ∣ y − ε < Y ≤ y + ε \} = lim ⁡ ε → 0 + P \{ X ≤ x , y − ε < Y ≤ y + ε \} P \{ y − ε < Y ≤ y + ε \} \\lim\\limits\_\{\\varepsilon\\to0^+\}P\\\{X\\le x|y-\\varepsilon<Y\\le y+\\varepsilon\\\}=\\lim\\limits\_\{\\varepsilon\\to0^+\}\\frac\{P\\\{X\\le x,y-\\varepsilon<Y\\le y+\\varepsilon\\\}\}\{P\\\{y-\\varepsilon<Y\\le y+\\varepsilon\\\}\} ε→0\+limP\{ X≤x∣y−ε<Y≤y\+ε\}=ε→0\+limP\{ y−ε<Y≤y\+ε\}P\{ X≤x,y−ε<Y≤y\+ε\}存在，则该极限称为在 Y = y Y=y Y=y的条件下 X X X的条件分布函数，记作 P \{ X ≤ x ∣ Y = y \} P\\\{X\\le x|Y=y\\\} P\{ X≤x∣Y=y\}或 F X ∣ Y ( x ∣ y ) F\_\{X|Y\}(x|y) FX∣Y(x∣y)。条件分布函数也可表示为 F X ∣ Y ( x ∣ y ) = ∫ − ∞ x f ( u , y ) f Y ( y ) d u F\_\{X|Y\}(x|y)=\\int^x\_\{-\\infty\}\\frac\{f(u,y)\}\{f\_Y(y)\}du FX∣Y(x∣y)=∫−∞xfY(y)f(u,y)du其中 f Y ( y ) f\_Y(y) fY(y)为 Y Y Y的边缘密度函数。同理有 F Y ∣ X ( y ∣ x ) = ∫ − ∞ y f ( x , v ) f X ( x ) d v . F\_\{Y|X\}(y|x)=\\int^y\_\{-\\infty\}\\frac\{f(x,v)\}\{f\_X(x)\}dv. FY∣X(y∣x)=∫−∞yfX(x)f(x,v)dv.
2.  条件分布密度： f X ∣ Y ( x ∣ y ) = f ( x , y ) f Y ( y ) , f Y ∣ X ( y ∣ x ) f ( x , y ) f X ( x ) . f\_\{X|Y\}(x|y)=\\frac\{f(x,y)\}\{f\_Y(y)\},f\_\{Y|X\}(y|x)\\frac\{f(x,y)\}\{f\_X(x)\}. fX∣Y(x∣y)=fY(y)f(x,y),fY∣X(y∣x)fX(x)f(x,y).

# 四、随机变量的独立性 #

*  对任意 x , y x,y x,y有 P \{ X ≤ x , Y ≤ y \} = P \{ X ≤ x \} P \{ Y ≤ y \} P\\\{X\\le x,Y\\le y\\\}=P\\\{X\\le x\\\}P\\\{Y\\le y\\\} P\{ X≤x,Y≤y\}=P\{ X≤x\}P\{ Y≤y\}则称 X , Y X,Y X,Y是相互独立的。
 *  二维离散性随机变量： X , Y X,Y X,Y是相互独立的，则分布律为 P \{ X ≤ x i , Y ≤ y j \} = P \{ X ≤ x i \} P \{ Y ≤ y j \} , i , j = 1 , 2 , 3 , … P\\\{X\\le x\_i,Y\\le y\_j\\\}=P\\\{X\\le x\_i\\\}P\\\{Y\\le y\_j\\\},i,j=1,2,3,\\ldots P\{ X≤xi,Y≤yj\}=P\{ X≤xi\}P\{ Y≤yj\},i,j=1,2,3,…
 *  二维连续型随机变量： X , Y X,Y X,Y是相互独立的，则所有 x , y x,y x,y都是相互独立的，概率密度为 f ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) . f(x,y)=f\_X(x)f\_Y(y). f(x,y)=fX(x)fY(y).

# 五、两个随机变量函数的分布 #

*  二维离散型随机变量函数的分布：根据两个随机变量的联合分布律可直接得出。
 *  二维连续型随机变量函数的分布：

1.  求密度函数的一般方法：  
    (1) 首先求出 Z = φ ( X , Y ) Z=\\varphi(X,Y) Z=φ(X,Y)的分布函数 F Z ( z ) = P \{ Z ≤ z \} = P \{ φ ( X , Y ) ≤ z \} = P \{ ( X , Y ) ∈ G \} = ∬ G f ( u , v ) d u d v F\_Z(z)=P\\\{Z\\le z\\\}=P\\\{\\varphi(X,Y)\\le z\\\}\\\\ =P\\\{(X,Y)\\in G\\\}=\\iint\\limits\_Gf(u,v) dudv FZ(z)=P\{ Z≤z\}=P\{ φ(X,Y)≤z\}=P\{ (X,Y)∈G\}=G∬f(u,v)dudv其中 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)是 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的密度函数， G = \{ ( x , y ) ∣ φ ( x , y ) ≤ z \} G=\\\{(x,y)|\\varphi(x,y)\\le z\\\} G=\{ (x,y)∣φ(x,y)≤z\}。  
    (2) 其次利用分布函数和密度函数的关系，对分布函数求导，求出密度函数 f Z ( z ) f\_Z(z) fZ(z)。
2.   Z = X + Y Z=X+Y Z=X\+Y的分布：区域 G = \{ ( x , y ) ∣ x + y ≤ z \} G=\\\{(x,y)|x+y\\le z\\\} G=\{ (x,y)∣x\+y≤z\}，则分布函数为 F Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ \[ ∫ − ∞ z − y f ( x , y ) d x \] d y F\_Z(z)=\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}\[\\int^\{z-y\}\_\{-\\infty\}f(x,y)dx\]dy FZ(z)=∫−∞\+∞\[∫−∞z−yf(x,y)dx\]dy固定 z , y z,y z,y，令 x = u − y x=u-y x=u−y，则有 F Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ \[ ∫ − ∞ z f ( u − y , y ) d u \] d y = ∫ − ∞ z \[ ∫ − ∞ + ∞ f ( u − y , y ) d y \] d u F\_Z(z)=\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}\[\\int^\{z\}\_\{-\\infty\}f(u-y,y)du\]dy=\\int^\{z\}\_\{-\\infty\}\[\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}f(u-y,y)dy\]du FZ(z)=∫−∞\+∞\[∫−∞zf(u−y,y)du\]dy=∫−∞z\[∫−∞\+∞f(u−y,y)dy\]du根据分布函数和密度函数的关系，得到密度函数 f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( z − y , y ) d y f\_Z(z)=\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}f(z-y,y)dy fZ(z)=∫−∞\+∞f(z−y,y)dy由于 X , Y X,Y X,Y的对称性，可得 f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , z − x ) d x f\_Z(z)=\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}f(x,z-x)dx fZ(z)=∫−∞\+∞f(x,z−x)dx若 X , Y X,Y X,Y相互独立，则有 f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f X ( z − y ) f Y ( y ) d y f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f X ( x ) f Y ( z − x ) d x f\_Z(z)=\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}f\_X(z-y)f\_Y(y)dy\\\\ f\_Z(z)=\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}f\_X(x)f\_Y(z-x)dx fZ(z)=∫−∞\+∞fX(z−y)fY(y)dyfZ(z)=∫−∞\+∞fX(x)fY(z−x)dx上面两个公式记为卷积，记作 f X ∗ f Y f\_X\*f\_Y fX∗fY，即 f X ∗ f Y = ∫ − ∞ + ∞ f X ( z − y ) f Y ( y ) d y = ∫ − ∞ + ∞ f X ( x ) f Y ( z − x ) d x f\_X\*f\_Y=\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}f\_X(z-y)f\_Y(y)dy=\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}f\_X(x)f\_Y(z-x)dx fX∗fY=∫−∞\+∞fX(z−y)fY(y)dy=∫−∞\+∞fX(x)fY(z−x)dx
3.   Z = X Y Z=\\frac\{X\}\{Y\} Z=YX的分布：区域 G = \{ ( x , y ) ∣ x y ≤ z \} G=\\\{(x,y)|\\frac\{x\}\{y\}\\le z\\\} G=\{ (x,y)∣yx≤z\}，则分布函数为 F Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ \[ ∫ − ∞ z y f ( x , y ) d x \] d y F\_Z(z)=\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}\[\\int^\{zy\}\_\{-\\infty\}f(x,y)dx\]dy FZ(z)=∫−∞\+∞\[∫−∞zyf(x,y)dx\]dy令 u = y , v = x / y u=y,v=x/y u=y,v=x/y，即 x = u v , y = u x=uv,y=u x=uv,y=u，雅可比式 J = ∣ v u 1 0 ∣ = − u J=\\left| \\begin\{array\}\{cc\} v & u \\\\\\\\ 1 & 0\\end\{array\} \\right|=-u J=∣∣∣∣∣∣v1u0∣∣∣∣∣∣=−u则有 F Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ d u ∫ − ∞ z f ( u v , u ) ∣ J ∣ d v = ∫ − ∞ z \[ ∫ − ∞ + ∞ f ( u v , u ) ∣ u ∣ d u \] d v F\_Z(z)=\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}du\\int^\{z\}\_\{-\\infty\}f(uv,u)|J|dv=\\int^\{z\}\_\{-\\infty\}\[\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}f(uv,u)|u|du\]dv FZ(z)=∫−∞\+∞du∫−∞zf(uv,u)∣J∣dv=∫−∞z\[∫−∞\+∞f(uv,u)∣u∣du\]dv根据分布函数和密度函数的关系，得到密度函数 f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( z u , u ) ∣ u ∣ d u f\_Z(z)=\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}f(zu,u)|u|du fZ(z)=∫−∞\+∞f(zu,u)∣u∣du若 X , Y X,Y X,Y相互独立，则有 f Z ( z ) = ∫ − ∞ + ∞ f X ( z u ) f Y ( u ) ∣ u ∣ d u f\_Z(z)=\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}f\_X(zu)f\_Y(u)|u|du fZ(z)=∫−∞\+∞fX(zu)fY(u)∣u∣du

*   M = m a x \{ X , Y \} , N = m i n \{ X , Y \} M=max\\\{X,Y\\\},N=min\\\{X,Y\\\} M=max\{ X,Y\},N=min\{ X,Y\}的分布：设 X , Y X,Y X,Y相互独立， M , N M,N M,N的分布函数分别为 F M ( z ) , F N ( z ) F\_M(z),F\_N(z) FM(z),FN(z)。由于 M ≤ z M\\le z M≤z相当于 X , Y ≤ z X,Y\\le z X,Y≤z，又 X , Y X,Y X,Y相互独立，故有 F M ( z ) = P \{ M ≤ z \} = P \{ X ≤ z , Y ≤ z \} = P \{ X ≤ z \} P \{ Y ≤ z \} = F X ( z ) F Y ( z ) . F\_M(z)=P\\\{M\\le z\\\}=P\\\{X\\le z,Y\\le z\\\}\\\\ =P\\\{X\\le z\\\}P\\\{Y\\le z\\\}=F\_X(z)F\_Y(z). FM(z)=P\{ M≤z\}=P\{ X≤z,Y≤z\}=P\{ X≤z\}P\{ Y≤z\}=FX(z)FY(z).同理有 F N ( z ) = P \{ N ≤ z \} = 1 − P \{ N > z \} = 1 − P \{ X > z , Y > z \} = 1 − P \{ X > z \} P \{ Y > z \} = 1 − \[ 1 − F X ( z ) \] \[ 1 − F Y ( z ) \] . F\_N(z)=P\\\{N\\le z\\\}=1-P\\\{N>z\\\}=1-P\\\{X>z,Y>z\\\}\\\\ =1-P\\\{X>z\\\}P\\\{Y>z\\\}=1-\[1-F\_X(z)\]\[1-F\_Y(z)\]. FN(z)=P\{ N≤z\}=1−P\{ N>z\}=1−P\{ X>z,Y>z\}=1−P\{ X>z\}P\{ Y>z\}=1−\[1−FX(z)\]\[1−FY(z)\].推广到 n n n个，即 M = m a x \{ X 1 , X 2 , … X n \} , N = m i n \{ X 1 , X 2 , … X n \} M=max\\\{X\_1,X\_2,\\dots X\_n\\\},N=min\\\{X\_1,X\_2,\\dots X\_n\\\} M=max\{ X1,X2,…Xn\},N=min\{ X1,X2,…Xn\}， X 1 , X 2 , … X n X\_1,X\_2,\\dots X\_n X1,X2,…Xn相互独立且有相同的分布函数 F ( x ) F(x) F(x)，则有 F M ( z ) = \[ F ( z ) \] n F N ( z ) = 1 − \[ 1 − F ( z ) \] n . F\_M(z)=\[F(z)\]^n\\\\ F\_N(z)=1-\[1-F(z)\]^n. FM(z)=\[F(z)\]nFN(z)=1−\[1−F(z)\]n.

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