分类问题-决策树模型

悠悠 2022-10-29 13:29 301阅读 0赞

### 目录 ###

*  决策树分类模型
 *  决策树示例
 *  决策树与 if-then 规则
 *  决策树的目标
 *   *   *  1）特征选择
         *  2）随机变量
         *  3）熵
         *  4）条件熵（conditional entropy）
         *  5）信息增益
 *  决策树的生成算法
 *  代码案例
 *  决策树总结

# 决策树分类模型 #

决策树是一种简单高效并且具有强解释性的模型，广泛应用于数据分析领域。其本质是一颗自上而下的由多个判断节点组成的树  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mjc5NjQwMw_size_16_color_FFFFFF_t_70]

# 决策树示例 #

预测小明今天是否会出门打球  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mjc5NjQwMw_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mjc5NjQwMw_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mjc5NjQwMw_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

# 决策树与 if-then 规则 #

*  决策树可以看作一个 if-then 规则的集合
 *  由决策树的根节点到叶节点的每一条路径，构建一条规则：路径上内部节点的特征对应着规则的条件（condition），叶节点对应规则的结论
 *  决策树的 if-then 规则集合有一个重要性质：互斥并且完备。这就是说，每个实例都被一条规则（一条路径）所覆盖，并且只被这一条规则覆盖  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mjc5NjQwMw_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

# 决策树的目标 #

*  决策树学习的本质，是从训练数据集中归纳出一组 if-then 分类规则
 *  与训练集不相矛盾的决策树，可能有很多个，也可能一个也没有；所以我们需要选择一个与训练数据集矛盾较小的决策树
 *  另一角度，我们可以把决策树看成一个条件概率模型，我们的目标是将实例分配到条件概率更大的那一类中去
 *  所有可能的情况中选择最优决策树，是一个**NP完全问题**，所以我们通常采用启发式算法求解决策树，得到一个**次最优解**
 *  采用的算法通常是**递归地进行**以下过程：**选择最优特征**，并根据该特征对训练数据进行分割，使得各个子数据集都有一个最好的分类
 *  我们使用决策树模型的最终目的是利用决策树模型进行分类预测，预测我们给出的一组数据最终属于哪一种类别，这是一个由不确定到确定的过程
 *  最终理想的分类是，每一组数据，都能确定性地按照决策树分支找到对应的类别
 *  所以我们就选择使数据信息熵下降最快的特征作为分类节点，使得决策树尽快地趋于确定

### 1）特征选择 ###

特征选择就是决定用哪个特征来划分特征空间  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mjc5NjQwMw_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]  
![在这里插入图片描述][20210215142621138.png]

### 2）随机变量 ###

*  随机变量（random variable）的本质是一个函数，是从样本空间的子集到实数的映射，将事件转换成一个数值

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mjc5NjQwMw_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]

*  根据样本空间中的元素不同(即不同的实验结果)，随机变量的值也将随机产生。可以说，随机变量是“数值化”的实验结果
 *  在现实生活中，实验结果是描述性的词汇，比如 “硬币的正面”、“反面”。在数学家眼里，这些文字化的叙述太过繁琐，所以拿数字来代表它们

### 3）熵 ###

*  熵（entropy）用来衡量随机变量的不确定性
 *  变量的不确定性越大，熵也就越大
 *  设X是一个取有限个值的离散随机变量，其概率分布为：  
    ![在这里插入图片描述][20210215142821122.png]
 *  则随机变量X的熵定义为：

![在这里插入图片描述][20210215142835391.png]

*  通常，上式中的对数以2为底或者以e为底（自然对数），这时熵的单位分别称为比特（bit）或纳特（nat）。
 *  当随机变量只取两个值，例如 1,0 时，则 X 的分布为：  
    ![在这里插入图片描述][20210215142902519.png]  
    熵为：

![在这里插入图片描述][2021021514291327.png]

*  这时，熵H§随概率p变化的曲线如下图所示（单位为比特）：

![在这里插入图片描述][20210215142937379.png]

### 4）条件熵（conditional entropy） ###

*  条件熵 H( Y|X ) 表示在已知随机变量 X 的条件下随机变量 Y 的不确定性：  
    ![在这里插入图片描述][20210215143108689.png]![在这里插入图片描述][20210215143151742.png]
 *  熵 H(D) 表示对数据集 D 进行分类的不确定性。
 *  条件熵 H(D|A) 指在给定特征 A 的条件下数据集分类的不确定性
 *  当熵和条件熵的概率由数据估计得到时，所对应的熵与条件熵分别称为经验熵（empirical entropy）和经验条件熵（empirical conditional entropy）

### 5）信息增益 ###

*  特征A对训练数据集D的信息增益 g(D, A)，定义为集合D的经验熵H(D)与特征A给定条件下D的条件熵 H(D|A)之差，即  
    ![在这里插入图片描述][20210215143246538.png]
 *  决策树学习应用**信息增益准则选择特征**
 *  经验熵H(D)表示对数据集D进行分类的不确定性。而经验条件熵H(D|A)表示在特征A给定的条件下对数据集D进行分类的不确定性。那么它们的差，即信息增益，就表示由于特征A而使得对数据集D的分类的不确定性减少的程度
 *  对于数据集D而言，信息增益依赖于特征，不同的特征往往具有不同的信息增益
 *  信息增益大的特征具有更强的分类能力

# 决策树的生成算法 #

*  ID3  
    决策树（ID3）的训练过程就是找到信息增益最大的特征，然后按照此特征进行分类，然后再找到各类型子集中信息增益最大的特征，然后按照此特征进行分类，最终得到符合要求的模型。
 *  C4.5  
    C4.5算法在ID3基础上做了改进，用信息增益比来选择特征
 *  分类与回归树（CART）  
    由特征选择、树的生成和剪枝三部分组成，既可以用于分类也可以用于回归

# 代码案例 #

import numpy as np
    import pandas as pd
    import xgboost as xgb
    from sklearn.model_selection import train_test_split  # cross_validation
    from sklearn.datasets import load_iris
    
    if __name__ == "__main__":
    	#引入sklearn里面的数据集，iris鸢尾花
    	iris = load_iris()
    	df = pd.DataFrame(data = iris.data, columns = iris.feature_names)
    	
    	x1,y1 = np.split(data.values, (4,), axis=1)
    	y1 = pd.Categorical(y).codes
    	
    	#划分训练集和测试集
    	x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(x1,y1,random_state=1,test_size=50)
    	
    	data_train = xgb.DMatrix(x_train, label=y_train)
    	data_test = xgb.DMatrix(x_test, label=y_test)
    	watch_list = [(data_test, 'eval'), (data_train, 'train')]
    	param = { 'max_depth': 2, 'eta': 0.3, 'silent': 1, 'objective': 'multi:softmax', 'num_class': 3}
    	
    	bst = xgb.train(param, data_train, num_boost_round=6, evals=watch_list)
    	y_hat = bst.predict(data_test)
    	result = y_test.reshape(1, -1) == y_hat
    	print('正确率:\t', float(np.sum(result)) / len(y_hat))

# 决策树总结 #

*  决策树是一类具有可解释性、泛化性较好的模型
 *  精度高、无需特征归一化，能够处理缺失值，共线性特征
 *  适用于低维稠密数据，不适合高维稀疏数据
 *  决策树类算法兼具特征选择能力
 *  在金融、推荐、商业化领域用途十分广泛

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