计算几何之点到直线的距离&点到线段的距离代码模板与证明

深碍√TFBOYSˉ_ 2022-11-05 12:55 348阅读 0赞

### 点到直线的距离 ###

已知直线上两点a、b，和直线外一点p，求p到直线ab的距离。

#### 代码模板 ####

double distance_line(Point p,Point a,Point b)
    { 
    	Vector v1 = b - a,v2 = p - a;
    	return fabs(cross(v1,v2) / len(v1));		//cross是v1和v2的叉积
    }

#### 证明 ####

这里的v1是直线上的一个向量，v2是v1同起点，指向直线外点p的向量，p到直线的距离就等于两向量的叉积除以v1的模。这里两向量的叉积就是三角形PAB的面积的两倍，就等于底乘高，然后面积除以底就是高，底就是AB就是v1的模，高就是我们要求的距离，如下图：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ1NzM1ODUx_size_16_color_FFFFFF_t_70]

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### 点到线段的距离 ###

已知线段AB和线段外一点P，求P到线段AB的距离

#### 代码模板 ####

double distance_segment(Point p,Point a,Point b)
    { 
    	if(a == b)
    		return len(p-a);
    	Vector v1 = b - a,v2 = p - a,v3 = p - b;
    	if(dot(v1,v2) < 0)		//dot是v1和v2的点积
    		return len(v2);
    	if(dot(v1,v3) > 0)
    		return len(v3);
    	return distance_lint(p,a,b);
    }

#### 证明 ####

点到线段的距离和点到直线的距离有一些不一样。点到线段的距离分三种情况，P在线段AB的左边、右边和中间，如下图：![3][]

首先判断若AB是同一点的话，P到线段AB的距离就是PA的长度，否则，分如下三种情况：

①对于第一种情况，P到线段AB的距离就是PA的长度。这就是第一个if判断，如图若 v ⃗ 1 \\vec v\_1 v1和 v ⃗ 2 \\vec v\_2 v2夹角的cos值小于0，说明是第一种情况，而 c o s θ cos\\theta cosθ的正负就可以通过 v ⃗ 1 \\vec v\_1 v1和 v ⃗ 2 \\vec v\_2 v2的点积来判断。  
②对于第二种情况，P到线段AB的距离就是PB的长度。这里是第二个if判断，若 v ⃗ 1 \\vec v\_1 v1和 v ⃗ 3 \\vec v\_3 v3夹角的cos值大于0，说明是第二种情况，而同理 c o s θ cos\\theta cosθ的正负通过 v ⃗ 1 \\vec v\_1 v1和 v ⃗ 3 \\vec v\_3 v3的点积来判断。  
③剩下的就是第三种情况了，P到线段AB的距离就是P到直线AB的距离。

不要忘记cos函数的正负情况。

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[3]: /images/20221023/29ae68d7bb7642418e118dda8ba7e7f3.png