卷积计算——1. 关于卷积的基本概念

朴灿烈づ我的快乐病毒、 2022-11-06 06:56 541阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  卷积的基本概念
 *  卷积运算公式
 *   *  交换律
     *  分配律
     *  结合律
     *  数乘结合律
 *  卷积核
 *  代码的基本框架

# 卷积的基本概念 #

卷积，是一个强有力的数学工具，在计算机领域中有很多非常不错的运用，能产生很多意想不到的效果和输出。

数学上，其连续函数的解析式写作：

F ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) g ( x − τ ) d τ F(x) = \\int\_\{-\\infty\}^\{\\infty\} f(\\tau) g(x-\\tau) d\\tau F(x)=∫−∞∞f(τ)g(x−τ)dτ

而离散形为：

F ( x ) = ∑ τ = 0 N f ( τ ) g ( x − τ ) F(x) = \\sum\_\{\\tau = 0\}^\{N\} f(\\tau) g(x-\\tau) F(x)=τ=0∑Nf(τ)g(x−τ)

其本质，表示如下一个操作1：  
![在这里插入图片描述][20210308161810672.gif_pic_center]  
通常情况下， f ( τ ) f(\\tau) f(τ) 表示被积函数，而  g ( x − τ ) g(x-\\tau) g(x−τ) 表示卷积核函数。这里多说一句，之所以不使用  f ( x ) f(x) f(x) 表示原函数而用  f ( τ ) f(\\tau) f(τ) ，而且强调  f ( τ ) f(\\tau) f(τ) 是被积函数，是因为  f ( x ) f(x) f(x) 与  f ( τ ) f(\\tau) f(τ) 之间还存在着如下关系：

f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ f ( τ ) d τ f(x) = \\int\_\{-\\infty\}^\{\\infty\} f(\\tau) d \\tau f(x)=∫−∞∞f(τ)dτ

这是因为这里面多了一个滑动的概念，卷积核函数的大小不一定跟原函数一致，通常情况下，在滑动计算过程中，卷积核函数一次只处理原函数的一部分。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
 τ \\tau τ 在某些教科书里，通常被称为一个与时间相关的变量。但你其实只需要理解， τ \\tau τ 其实是  x x x 的一个，连续地包含了一定数量元素的子集。

# 卷积运算公式 #

卷积运算公式最好你能了解一下，虽然说写程序可能一辈子都用不到卷积的运算公式，但没准在论文里，或者某些考试的卷子上会出现这些公式。

## 交换律 ##

x ( t ) ∗ h ( t ) = h ( t ) ∗ x ( t ) x(t)\*h(t) = h(t)\*x(t) x(t)∗h(t)=h(t)∗x(t)

## 分配律 ##

x ( t ) ∗ \[ g ( t ) + h ( t ) \] = x ( t ) ∗ g ( t ) + x ( t ) ∗ h ( t ) x(t)\*\[g(t)+h(t)\] = x(t)\*g(t)+x(t)\*h(t) x(t)∗\[g(t)\+h(t)\]=x(t)∗g(t)\+x(t)∗h(t)

## 结合律 ##

\[ x ( t ) ∗ g ( t ) \] ∗ h ( t ) = x ( t ) ∗ \[ g ( t ) ∗ h ( t ) \] \[x(t)\*g(t)\]\*h(t) = x(t)\*\[g(t)\*h(t)\] \[x(t)∗g(t)\]∗h(t)=x(t)∗\[g(t)∗h(t)\]

## 数乘结合律 ##

a \[ x ( t ) ∗ h ( t ) \] = \[ a x ( t ) \] ∗ h ( t ) = x ( t ) ∗ \[ a h ( t ) \] a\[x(t)\*h(t)\]=\[ax(t)\]\*h(t)=x(t)\*\[ah(t)\] a\[x(t)∗h(t)\]=\[ax(t)\]∗h(t)=x(t)∗\[ah(t)\]

# 卷积核 #

卷积核的选取，我个人认为是卷积这种数学工具最重要的部分。因为对于做工程，或者做其他研究，一旦遇上需要使用卷积的部分，增强或者平滑某种信号，亦或者需要从原始信号中提取某种特征，通常意味着需要使用不同的卷积核。

对于数字图像来说，卷积核通常有这些类型，比如平滑（模糊）卷积核，锐化（增强）卷积核，以及边缘卷积核等。

卷积核函数有时会被称为卷积算子，即一个函数空间到函数空间上的映射。从我个人的理解看，他们只是名称叫法不一样，就类似于一个人的昵称、姓名、绰号一类，也就是所谓函数本尊。

另外，根据这类积分函数的特点，卷积核的大小其实是没有固定的规定。对于图像来说，常用的卷积核大小为  3 × 3 3 \\times 3 3×3，但根据需要你也可以定义别的大小  4 × 4 4 \\times 4 4×4， 5 × 5 5 \\times 5 5×5。

3 × 3 3 \\times 3 3×3 之所以比较常见，这通常是差分形式所决定的。

例如，对于拉普拉斯算子来说，其  3 × 3 3 \\times 3 3×3 的数值通常如下：

\[ 0 1 0 1 − 4 1 0 1 0 \] \\begin\{bmatrix\} 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & -4 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 \\end\{bmatrix\} ⎣⎡0101−41010⎦⎤

之所以是这些特定的数值，并非心血来潮，而是根据拉普拉斯的中间差分的差分形式计算后得出

∂ 2 ∂ x 2 ≈ f ( x + 1 , y ) − 2 f ( x , y ) + f ( x − 1 , y ) \\frac\{\\partial^2\}\{\\partial x^2\} \\approx f(x+1, y) - 2f(x, y) + f(x-1, y) ∂x2∂2≈f(x\+1,y)−2f(x,y)\+f(x−1,y)  
 ∂ 2 ∂ y 2 ≈ f ( x , y + 1 ) − 2 f ( x , y ) + f ( x , y − 1 ) \\frac\{\\partial^2\}\{\\partial y^2\} \\approx f(x, y+1) - 2f(x, y) + f(x, y-1) ∂y2∂2≈f(x,y\+1)−2f(x,y)\+f(x,y−1)

即

▽ 2 f ( x ) ≈ f ( x + 1 , y ) + f ( x − 1 , y ) + f ( x , y + 1 ) + f ( x , y − 1 ) − 4 f ( x , y ) \\triangledown^2f(x) \\approx f(x+1, y) + f(x-1, y) + f(x, y+1) + f(x, y-1) - 4f(x, y) ▽2f(x)≈f(x\+1,y)\+f(x−1,y)\+f(x,y\+1)\+f(x,y−1)−4f(x,y)

也就是说，这里的拉普拉斯算子的运算矩阵的每一个元素的数值，是其差分形式的所对应元素的系数。

因此，如果你要自行设计卷积核，那么需要根据使用卷积核函数所对应的差分形式，重新推算出新的矩阵每一项的值。

# 代码的基本框架 #

def convolution_kernel(data):
    
    	# 定义卷积核函数
        kernel = np.array([[0, 1, 0],
                            [1, -4, 1],
                            [0, 1, 0]])
    
    	# 卷积核计算
    	# 将数组从二维转换为一维
        kernel = kernel.flatten()
        data = data.flatten()
    	
    	# 将核函数反转后和原始数据进行计算
        kernel = np.flipud(kernel)
        result = kernel * data
    
        # 返回加和后的值，并四舍五入
        return round(np.sum(result))
    
    
    def image_convolution(image):
        # 获取图片的长宽
        width, height = image.shape
        backup = np.zeros(image.shape, np.uint8)
    
    	# 对图片逐像素点遍历
        for i in range(1, width - 1):
            for j in range(1, height - 1):
                # 从图片中取出一个小矩阵，大小跟卷积核大小一致: 3x3
                sub_img = image[i-1:i+2, j-1:j+2]
                backup[i][j] = convolution_kernel(sub_img)
    
        # 返回处理后的图片
        return backup

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1.  《如何通俗易懂地解释卷积》 ，https://www.zhihu.com/question/22298352 ↩︎

[20210308161810672.gif_pic_center]: /images/20221023/a5ff5f400bc548968660e893c9e9c5d0.png
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