数据结构——图——克鲁斯卡尔（Kruskal）算法

野性酷女 2022-11-19 07:51 219阅读 0赞

## 数据结构——图——克鲁斯卡尔（Kruskal）算法 ##

同样的思路，我们也可以直接就以边为目标去构建，因为权值是在边上，直接去找最小权值的边来构建生成树也是很自然的想法，只不过构建时要考虑是否会形成环路而已。此时我们就用到了图的存储结构中的边集数组结构。以下是edge边集数组结构的定义代码:

typedef struct 
    {
        
    	int begin;  /*起点下标*/
    	int end;    /*终点下标*/
    	int weight;  /*权值*/
    } Edge;

我们将图7-6-3的邻接矩阵通过程序转化为图7-6-7的右图的边集数组，并且对它们按权值从小到大排序。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzk0NTQ3MQ_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
于是克鲁斯卡尔(Kruskal)算法代码如下，左侧数字为行号。其中 MAXEDGE为边数量的极大值，此处大于等于15即可，MAXVEX为顶点个数最大值，此处大于等于9即可。现在假设我们自己就是计算机，在调用MiniSpanTree\_Kruskal函数，输入图7-6-3右图的邻接矩阵后，看看它是如何运行并打印出最小生成树的。

/*Kruskal算法生成最小生成树*/
    #define MAXEDGE  100
    #define MAXVEX  100
    
    void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)/*生成最小生成树*/
    {
        
    	int i, n, m;
    	Edge edges[MAXEDGE];/*定义边集数组*/
    	int parent[MAXVEX]; /*定义一数组用来判断与边是否形成环路*/
    
    	/*此处省略将邻接矩阵G 转化为边集数组edges 并按权由小到大排序代码*/
    
    	for (i=0;i<G.numVertexes;i++)
    	{
        
    		parent[i] = 0;  /*初始化数组值为0*/
    	}
    
    	for ( i = 0; i < G.numEdges; i++) /*循环每一条边*/
    	{
        
    		n = Find(parent, edges[i].begin);
    		m= Find(parent, edges[i].end);
    		if (n!=m)/*假如n与m不等，说明此边没有与现有生成树形成环路*/
    		{
        
    			parent[n] = m;/*将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中*/
    			              /*表此顶点已经生成树集合中*/
    			printf("(%d,%d) %d",edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
    		}
    	}
    
    }
    
    int Find(int* parent, int f)/*查找连线顶点的尾部下标*/
    {
        
    	while (parent[f]>0)
    	{
        
    		f = parent[f];
    	}
    
    	return f;
    }

1．程序开始运行，第5行之后，我们省略掉颇占篇幅但却很容易实现的将邻接矩阵转换为边集数组，并按权值从小到大排序的代码11，也就是说，在第5行开始，我们已经有了结构为edge，数据内容是图7-6-7 的右图的一维数组edges。

2．第5~7行，我们声明一个数组parent，并将它的值都初始化为0，它的作用我们后面慢慢说。

3．第8～17行,我们开始对边集数组做循环遍历，开始时，i=0。

4．第10行，我们调用了第19～25行的函数 Find，传入的参数是数组parent和当前权值最小边(v4,v7)的begin:4。因为parent中全都是О所以传出值使得n=4。

5．第11行，同样作法，传入(v4,v7z)的end: 7。传出值使得m=7。

6．第12~16行，很显然n与m不相等，因此parent\[4\]=7。此时parent 数组值为\{0，0，0，0，7，0，0，0，0\}，并且打印得到“(4，7) 7”。此时我们已经将边(v4,vz）纳入到最小生成树中，如图7-6-8所示。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzk0NTQ3MQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
7．循环返回，执行10~16行，此时i=1，edge\[1\]得到边(v2v8)，n=2，m=8,parent\[2\]=8，打印结果为“(2，8) 8”，此时 parent 数组值为\{0，0，8，o,7，0，0，0，0\}，这也就表示边(v4,v7）和边(v2v8）已经纳入到最小生成树，如图7-6-9所示。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzk0NTQ3MQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
8．再次执行10～16 行，此时i=2，edge\[2\]得到边(vo,v1)， n=0，m=1,parent\[0\]=1，打印结果为“(0，1) 10”，此时parent数组值为\{(1，0，8,0，7，0，0，0，0\}，此时边(v4,V7)、(v2,v8）和(v0,v1)已经纳入到最小生成树，如图7-6-10所示。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzk0NTQ3MQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
9.当i=3、4、5、6时，分别将边(v0,v5)、( v1,v8)、( v3,v7)、(v1,v6)纳入到最小生成树中，如图7-6-11所示。此时 parent 数组值为\{1，5，8，7，7，8，0，0，6\}，怎么去解读这个数组现在这些数字的意义呢?  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzk0NTQ3MQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]  
从图7-6-11的最右图i=6的粗线连线可以得到，我们其实是有两个连通的边集合A 与B中纳入到最小生成树中的，如图7-6-12所示。当parent\[0\]=1，表示v0和v1已经在生成树的边集合A 中。此时将parent\[0\]=1的1改为下标，由parent\[1\]=5，表示v1和v5在边集合A中，parent\[5\]=8表示v5与v8在边集合A中,parent\[8\]=6表示v8与v6在边集合A中，parent\[6\]=0表示集合A暂时到头，此时边集合A 有v0、V1、V5、v8、v6。我们查看parent中没有查看的值，parent\[2\]=8表示v2与v8在一个集合中，因此v2也在边集合A中。再由parent\[3\]=7、parent\[4\]=7和parent\[7\]=0可知v3、v4、vz在另一个边集合B中。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzk0NTQ3MQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]  
10．当i=7时，第10行，调用Find函数，会传入参数edges\[7\].begin=5。此时第21行，parent\[5\]=8>0，所以f=8，再循环得parent\[8\]=6。因parent\[6\]=0所以Find返回后第10行得到n=6。而此时第11行，传入参数edges\[7\].end=6得到m=6。此时n=m，不再打印，继续下一循环。这就告诉我们，因为边(vs,v6）,使得边集合A形成了环路。因此不能将它纳入到最小生成树中，如图7-6-12所示。

11．当i=8时，与上面相同，由于边(v1,v2）使得边集合A 形成了环路。因此不能将它纳入到最小生成树中，如图7-6-12所示。

12．当i=9时，边（v6,v7)，第10行得到n=6，第11 行得到m=7，因此parent\[6\]=7，打印“(6，7) 19”。此时 parent数组值为\{1，5，8，7，7，8，7，0，6\}，如图7-6-13所示。

13．此后边的循环均造成环路，最终最小生成树即为图7-6-13所示。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzk0NTQ3MQ_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]  
假设N= (V,\{B\}）是连通网，则令最小生成树的初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T=\{V，图中每个顶点自成一个连通分量。在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到T中，否则舍去此边而选择下一条代价最小的边。依次类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。

此算法的Find函数由边数e决定，时间复杂度为0(loge)，而外面有一个for 循环e次。所以克鲁斯卡尔算法的时间复杂度为O(eloge)。

克鲁斯卡尔算法主要是针对边来展开，边数少时效率会非常高，所以对于稀疏图有很大的优势;

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzk0NTQ3MQ_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20221119/0bbd9e82c57a4d9c9b03660c5e25aa1b.png
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