matlab求解极限问题（limit函数的用法）

迈不过友情╰ 2022-11-25 04:12 301阅读 0赞

本文介绍利用MATLAB求解**函数**或**序列**的**极限**问题，顺便介绍`limit`函数的用法。内容主要包括**单变量函数**的极限和**多变量函数**的极限。

### 目录 ###

*   *   *  单变量函数的极限
         *   *  极限的定义
             *   *  普通极限
                 *  左极限
                 *  右极限
             *  matlab实现方法
             *  应用举例
         *  多变量函数的极限
         *   *  matlab实现方法
             *  应用举例

### 单变量函数的极限 ###

#### 极限的定义 ####

##### 普通极限 #####

L = lim ⁡ x → x 0 f ( x ) L=\\lim\_\{x \\rightarrow x\_0\} \{f(x)\} L=x→x0limf(x)

##### 左极限 #####

L = lim ⁡ x → x 0 − f ( x ) L=\\lim\_\{x \\rightarrow x\_0^-\} \{f(x)\} L=x→x0−limf(x)

##### 右极限 #####

L = lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) L=\\lim\_\{x \\rightarrow x\_0^+\} \{f(x)\} L=x→x0\+limf(x)

#### matlab实现方法 ####

L=limit(fun, x, x0)                % //普通极限
    L=limit(fun, x, x0, 'left')        % //左极限
    L=limit(fun, x, x0, 'right')       % //右极限

#### 应用举例 ####

1.  求解极限： L = lim ⁡ x → 0 s i n x x L=\\lim\_\{x \\rightarrow 0\} \{\\frac\{sin x\}\{x\}\} L=x→0limxsinx

syms x;  f=sin(x)/x;  L=limit(f, x, 0)

1.  求解极限：  L = lim ⁡ x → ∞ x ( 1 + a x ) x s i n b x L=\\lim\_\{x \\rightarrow \\infty\} \{x(1+\\frac\{a\}\{x\})^x sin \\frac\{b\}\{x\}\} L=x→∞limx(1\+xa)xsinxb

syms x a b
    f = x*(1+a/x)^x*sin(b/x)  
    L = limit(f, x, inf)

1.  求解单边极限：  
    ![单边极限函数][20200807103203957.bmp_pic_center]

syms x; L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right')

用下面的语句还可以绘制出 ( − 0.1 , 0.1 ) (-0.1,0.1) (−0.1,0.1)区间的函数曲线。

x0=-0.1:0.001:0.1; 
    y0=((exp(x0.^3)-1)./(1-cos(sqrt(x0-sin(x0)))));
    plot(x0, y0, '-', [0], [L], 'o')

函数曲线如下：  
![函数曲线][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mzk2NDk5Mw_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
可见， 对这个例子来说， 即使不用单边极限也能求出函数极限值是12。

L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0)

1.  求函数  t a n t tan t tant 在  π / 2 \\pi/2 π/2 点处的左右极限。

syms t; f=tan(t); 
    L1=limit(f,t,pi/2,'left')
    L2=limit(f,t,pi/2,'right')

1.  求下面序列的极限  
    ![序列][20200807110100482.png_pic_center]

syms n positive
    f = n^(2/3)*sin(factorial(n))/(n+1);
    F = limit(f,n,inf)

1.  求下面序列函数的极限  
    ![序列函数][2020080711080931.png_pic_center]

syms x n
    f = n*atan(1/(n*(x^2+1)+x))*tan(pi/4+x/2/n)^n; 
    F = limit(f,n,inf)

### 多变量函数的极限 ###

#### matlab实现方法 ####

多元函数的极限也可以同样用MATLAB中的`limit()`函数直接求解。

*  假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的**累极限**  
    ![在这里插入图片描述][20200807113028770.png_pic_center]

则可以嵌套使用`limit()`函数。例如:

L1 = limit(limit(f,x, x0), y, y0)
    L2 = limit(limit(f,y, y0), x, x0)

如果 x 0 x\_0 x0或 y 0 y\_0 y0不是确定的值， 而是另一个变量的函数， 例如 x → g ( y ) x \\rightarrow g(y) x→g(y)， 则上述的极限求取顺序不能交换。

*  假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的**重极限**

L = lim ⁡ ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) L=\\lim\_\{(x,y) \\rightarrow (x\_0,y\_0) \} \{f(x,y)\} L=(x,y)→(x0,y0)limf(x,y)  
理论上**不易求解**，只有沿所有方向得出相同的极限才可，不可能用累极限方法求解。

#### 应用举例 ####

1.  试求出二元函数极限值  
    ![极限][20200807112651667.png_pic_center]

syms x a;  syms y positive;
    f = exp(-1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2);
    L = limit(limit(f, x, 1/sqrt(y)), y, inf)

1.  重极限的尝试 ，求解重极限

![重极限][20200807113700257.png_pic_center]

syms x y; 
    f=(x*y/(x^2+y^2))^(x^2); 
    L1=limit(limit(f,x,inf),y,inf)
    L2=limit(limit(f,y,inf),x,inf)
    L3=limit(limit(f,x,y^2),y,inf)
    L4=limit(limit(f,y,x^2),x,inf)

1.  判断重极限是否存在  
    ![在这里插入图片描述][20200807115352210.png_pic_center]

证明极限不存在比求重极限容易的多，可以沿 y = k x y=kx y=kx趋近。

syms r x y
    f=x*y/(x^2+y^2); 
    L=limit(subs(f,y,r*x),x,0)

[20200807103203957.bmp_pic_center]: /images/20221124/60aa565273494bfca4d55294e2ed954b.png
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[2020080711080931.png_pic_center]: /images/20221124/5c1920a7d05b43fba046860a0d05d5f9.png
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[20200807112651667.png_pic_center]: /images/20221124/5bbcf9dcdbf04288a0284b6a01a0943a.png
[20200807113700257.png_pic_center]: /images/20221124/c06a1930a2a041719d894107724e6c8b.png
[20200807115352210.png_pic_center]: /images/20221124/ffb9693287c94edea4d3a714a90a6ca4.png