算法：三数之和（3sum）。

ゞ浴缸里的玫瑰 2022-11-27 01:56 128阅读 0赞

给你一个包含 n 个整数的数组 nums，判断 nums 中是否存在三个元素 a，b，c ，使得 a + b + c = 0 ？请你找出所有满足条件且不重复的三元组。

注意：答案中不可以包含重复的三元组。

# 示例 #

> 给定数组 nums = \[-1, 0, 1, 2, -1, -4\]，
> 
> 满足要求的三元组集合为：  
> \[  
>   \[-1, 0, 1\],  
>   \[-1, -1, 2\]  
> \]

# 前言 #

本题与 **两数之和** 类似，是非常经典的面试题，但是做法不尽相同。

# 方法：排序 + 双指针 #

题目中要求找到所有「不重复」且和为 0 的三元组，这个「不重复」的要求使得我们无法简单地使用三重循环枚举所有的三元组。这是因为在最坏的情况下，数组中的元素全部为 0，即

> \[0, 0, 0, 0, 0, ..., 0, 0, 0\]

任意一个三元组的和都为 0。如果我们直接使用三重循环枚举三元组，会得到 O(N^3) 个满足题目要求的三元组（其中 N 是数组的长度）时间复杂度至少为 O(N^3)。在这之后，我们还需要使用哈希表进行去重操作，得到不包含重复三元组的最终答案，又消耗了大量的空间。这个做法的时间复杂度和空间复杂度都很高，因此我们要换一种思路来考虑这个问题。

「不重复」的本质是什么？我们保持三重循环的大框架不变，只需要保证：

*  第二重循环枚举到的元素不小于当前第一重循环枚举到的元素；
 *  第三重循环枚举到的元素不小于当前第二重循环枚举到的元素。

也就是说，我们枚举的三元组 (a, b, c) 满足 a≤b≤c，保证了只有 (a, b, c) 这个顺序会被枚举到，而 (b, a, c)、(c, b, a) 等等这些不会，这样就减少了重复。要实现这一点，我们可以将数组中的元素从小到大进行排序，随后使用普通的三重循环就可以满足上面的要求。

同时，对于每一重循环而言，相邻两次枚举的元素不能相同，否则也会造成重复。举个例子，如果排完序的数组为

> \[0, 1, 2, 2, 2, 3\]  
>  ^  ^  ^

我们使用三重循环枚举到的第一个三元组为 (0, 1, 2)，如果第三重循环继续枚举下一个元素，那么仍然是三元组 (0, 1, 2)，产生了重复。因此我们需要将第三重循环「跳到」下一个不相同的元素，即数组中的最后一个元素 3，枚举三元组 (0, 1, 3)。

下面给出了改进的方法的伪代码实现：

nums.sort()
    for first = 0 .. n-1
        // 只有和上一次枚举的元素不相同，我们才会进行枚举
        if first == 0 or nums[first] != nums[first-1] then
            for second = first+1 .. n-1
                if second == first+1 or nums[second] != nums[second-1] then
                    for third = second+1 .. n-1
                        if third == second+1 or nums[third] != nums[third-1] then
                            // 判断是否有 a+b+c==0
                            check(first, second, third)

这种方法的时间复杂度仍然为 O(N^3)，毕竟我们还是没有跳出三重循环的大框架。然而它是很容易继续优化的，可以发现，如果我们固定了前两重循环枚举到的元素 a 和 b，那么只有唯一的 c 满足 a+b+c=0。当第二重循环往后枚举一个元素 b′时，由于 b′>b，那么满足 a+b′ +c′=0 的 c′一定有 c' < c，即 c′在数组中一定出现在 c 的左侧。也就是说，我们可以从小到大枚举 b，同时从大到小枚举 c，即第二重循环和第三重循环实际上是并列的关系。

有了这样的发现，我们就可以保持第二重循环不变，而将第三重循环变成一个从数组最右端开始向左移动的指针，从而得到下面的伪代码：

nums.sort()
    for first = 0 .. n-1
        if first == 0 or nums[first] != nums[first-1] then
            // 第三重循环对应的指针
            third = n-1
            for second = first+1 .. n-1
                if second == first+1 or nums[second] != nums[second-1] then
                    // 向左移动指针，直到 a+b+c 不大于 0
                    while nums[first]+nums[second]+nums[third] > 0
                        third = third-1
                    // 判断是否有 a+b+c==0
                    check(first, second, third)

这个方法就是我们常说的「双指针」，当我们需要枚举数组中的两个元素时，如果我们发现随着第一个元素的递增，第二个元素是递减的，那么就可以使用双指针的方法，将枚举的时间复杂度从 O(N^2) 减少至 O(N)。为什么是 O(N) 呢？这是因为在枚举的过程每一步中，「左指针」会向右移动一个位置（也就是题目中的 bb），而「右指针」会向左移动若干个位置，这个与数组的元素有关，但我们知道它一共会移动的位置数为 O(N)，均摊下来，每次也向左移动一个位置，因此时间复杂度为 O(N)。

注意到我们的伪代码中还有第一重循环，时间复杂度为 O(N)，因此枚举的总时间复杂度为 O(N^2)。由于排序的时间复杂度为 O(N log N)，在渐进意义下小于前者，因此算法的总时间复杂度为 O(N^2)。

上述的伪代码中还有一些细节需要补充，例如我们需要保持左指针一直在右指针的左侧（即满足 b≤c），具体可以参考下面的代码，均给出了详细的注释。

class Solution {
        public List<List<Integer>> threeSum(int[] nums) {
            int n = nums.length;
            Arrays.sort(nums);
            List<List<Integer>> ans = new ArrayList<List<Integer>>();
            // 枚举 a
            for (int first = 0; first < n; ++first) {
                // 需要和上一次枚举的数不相同
                if (first > 0 && nums[first] == nums[first - 1]) {
                    continue;
                }
                // c 对应的指针初始指向数组的最右端
                int third = n - 1;
                int target = -nums[first];
                // 枚举 b
                for (int second = first + 1; second < n; ++second) {
                    // 需要和上一次枚举的数不相同
                    if (second > first + 1 && nums[second] == nums[second - 1]) {
                        continue;
                    }
                    // 需要保证 b 的指针在 c 的指针的左侧
                    while (second < third && nums[second] + nums[third] > target) {
                        --third;
                    }
                    // 如果指针重合，随着 b 后续的增加
                    // 就不会有满足 a+b+c=0 并且 b<c 的 c 了，可以退出循环
                    if (second == third) {
                        break;
                    }
                    if (nums[second] + nums[third] == target) {
                        List<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
                        list.add(nums[first]);
                        list.add(nums[second]);
                        list.add(nums[third]);
                        ans.add(list);
                    }
                }
            }
            return ans;
        }
    }

## 复杂度分析 ##

*  时间复杂度：O(N^2)，其中 N 是数组 nums 的长度。
 *  空间复杂度：O(log N)。我们忽略存储答案的空间，额外的排序的空间复杂度为 O(log N)。然而我们修改了输入的数组 nums，在实际情况下不一定允许，因此也可以看成使用了一个额外的数组存储了 nums 的副本并进行排序，空间复杂度为 O(N)。