数列的极限

分手后的思念是犯贱 2022-12-09 03:30 207阅读 0赞

一、定义：

如果对于任意给定的 ![\\varepsilon][varepsilon] > 0 , 总存在正整数N ，当n > N时，恒有|![x\_\{n\} - a][x_n_ - a]| < ![\\varepsilon][varepsilon] ，则称常数a是数列\{ ![x\_\{n\}][x_n]\}在n -> ∞ 时，记为![\\lim\_\{x\\rightarrow \\varpi \} x\_\{n\} = a][lim_x_rightarrow _varpi _ x_n_ _ a]，如果不存在这样的常数a，则成为数列\{ ![x\_\{n\}][x_n]\}发散

注：

（1）定义种的 ![\\varepsilon][varepsilon] 是衡量与a无限接近的一个标准，所以 ![\\varepsilon][varepsilon] 必须可以任意足够小；

（2）数列\{ ![x\_\{n\}][x_n]\}是否有极限，如果有极限其极限值为多少，跟\{ ![x\_\{n\}][x_n]\}的前有限的项无关

二、收敛数列的性质

性质1（极限的唯一性质）如果数列\{ ![x\_\{n\}][x_n]\}收敛，那么它的极限唯一

性质2（收敛数列的有界性）如果数列\{ ![x\_\{n\}][x_n]\}收敛，那么数列\{ ![x\_\{n\}][x_n]\}一定有界。（反之不对）

性质3（收敛数列的包号性质）如果![\\lim\_\{x\\rightarrow \\varpi \} x\_\{n\} = a][lim_x_rightarrow _varpi _ x_n_ _ a]，且a>0（或者a<0），那么存在正整数N，当n>N时候，都有![x\_\{n\}][x_n] > 0（或![x\_\{n\}][x_n] < 0）

推论如果数列\{ ![\{x\_\{n\}\}][x_n 1]\}从某项起有![x\_\{n\}][x_n] >= 0 (或![x\_\{n\}][x_n] <= 0)，且![\\lim\_\{x\\rightarrow \\varpi \} x\_\{n\} = a][lim_x_rightarrow _varpi _ x_n_ _ a]，那么a >= 0 (或a <= 0)

性质4（列与子列的关系）如果\{ ![\{x\_\{n\}\}][x_n 1]\}收敛与a，那么它的任意一个子数列的极限都是a，这个子数列是无穷多项的并且要保持先后次序，例如n取奇数或者n取偶数的子数列

[varepsilon]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cvarepsilon
[x_n_ - a]: https://private.codecogs.com/gif.latex?x_%7Bn%7D%20-%20a
[x_n]: https://private.codecogs.com/gif.latex?x_%7Bn%7D
[lim_x_rightarrow _varpi _ x_n_ _ a]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Clim_%7Bx%5Crightarrow%20%5Cvarpi%20%7D%20x_%7Bn%7D%20%3D%20a
[x_n 1]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%7Bx_%7Bn%7D%7D