极限（高等数学）

淡淡的烟草味﹌ 2022-12-10 14:53 254阅读 0赞

# 极限 #

### 一、极限 ###

*  对于数列 \{ X n \} \\\{X\_n\\\} \{ Xn\}，当 n → ∞ n→∞ n→∞时， X n X\_n Xn无限趋近于常数A，则称当n趋于无穷大时，常数A为数列 \{ X n \} \\\{X\_n\\\} \{ Xn\}的极限，或称数列 \{ X n \} \\\{X\_n\\\} \{ Xn\}收敛于A，记作：
    
     lim ⁡ n → ∞ X n = A            或            X n → A （ n → ∞ ） \\lim \\limits\_\{n→∞\}X\_n = A\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ 或\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ X\_n→A（n→∞） n→∞limXn=A          或          Xn→A（n→∞）
 *  对于函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)，当 x → ∞ x→∞ x→∞时， f ( x ) f(x) f(x)无限趋近于常数A，则称A为函数 f ( x ) f(x) f(x)当 x → ∞ x→∞ x→∞时的极限，记作：
    
     lim ⁡ x → ∞ f ( x ) = A            或            f ( x ) → A （ x → ∞ ） \\lim \\limits\_\{x→∞\}f(x) = A\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ 或\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ f(x) →A（x→∞） x→∞limf(x)=A          或          f(x)→A（x→∞）
 *  对于函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)，当 x → + ∞ x→+∞ x→\+∞（ x → − ∞ x→-∞ x→−∞）时， f ( x ) f(x) f(x)无限趋近于常数A，则称A为函数 f ( x ) f(x) f(x)当 x → + ∞ x→+∞ x→\+∞（ x → − ∞ x→-∞ x→−∞）时的极限，记作：
    
     lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) = A            或            f ( x ) → A （ x → + ∞ ） \\lim \\limits\_\{x→+∞\}f(x) = A\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ 或\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ f(x) →A（x→+∞） x→\+∞limf(x)=A          或          f(x)→A（x→\+∞）  
     lim ⁡ x → − ∞ f ( x ) = A            或            f ( x ) → A （ x → − ∞ ） \\lim \\limits\_\{x→-∞\}f(x) = A\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ 或\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ f(x) →A（x→-∞） x→−∞limf(x)=A          或          f(x)→A（x→−∞）

> 极限 lim ⁡ x → ∞ f ( x ) \\lim \\limits\_\{x→∞\}f(x) x→∞limf(x)存在 ⇔ \\Leftrightarrow ⇔极限 lim ⁡ x → + ∞ f ( x ) \\lim \\limits\_\{x→+∞\}f(x) x→\+∞limf(x)和 lim ⁡ x → − ∞ f ( x ) \\lim \\limits\_\{x→-∞\}f(x) x→−∞limf(x)存在且相等。

*  对于函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)，当 x x x无限趋近于 x 0 x\_0 x0时， f ( x ) f(x) f(x)无限趋近于常数A，则称A为函数 f ( x ) f(x) f(x)当 x → x 0 x→x\_0 x→x0时的极限，记作：
    
     lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A            或            f ( x ) → A （ x → x 0 ） \\lim \\limits\_\{x→x\_0\}f(x) = A\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ 或\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ f(x) →A（x→x\_0） x→x0limf(x)=A          或          f(x)→A（x→x0）
 *  对于函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)，当 x x x从 x 0 x\_0 x0的左（右）无限趋近于 x 0 x\_0 x0时， f ( x ) f(x) f(x)无限趋近于常数A，则称A为函数 f ( x ) f(x) f(x)当 x → x 0 x→x\_0 x→x0时的左（右）极限，记作：
    
     lim ⁡ x → x 0 − f ( x ) = A            或            f ( x ) → A （ x → x 0 − ） \\lim \\limits\_\{x→x\_0^-\}f(x) = A\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ 或\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ f(x) →A（x→x\_0^-） x→x0−limf(x)=A          或          f(x)→A（x→x0−）  
     lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) = A            或            f ( x ) → A （ x → x 0 + ） \\lim \\limits\_\{x→x\_0^+\}f(x) = A\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ 或\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ f(x) →A（x→x\_0^+） x→x0\+limf(x)=A          或          f(x)→A（x→x0\+）

> 极限 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) \\lim \\limits\_\{x→x\_0\}f(x) x→x0limf(x)存在 ⇔ \\Leftrightarrow ⇔极限 lim ⁡ x → x 0 − f ( x ) \\lim \\limits\_\{x→x\_0^-\}f(x) x→x0−limf(x)和 lim ⁡ x → x 0 + f ( x ) \\lim \\limits\_\{x→x\_0^+\}f(x) x→x0\+limf(x)存在且相等。

*  两个重要极限：
    
     ① lim ⁡ x → 0 s i n x x = 1            ( 0 0 型 ) ①\\lim \\limits\_\{x→0\}\\frac\{sinx\}\{x\}=1\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ (\\frac\{0\}\{0\}型) ①x→0limxsinx=1          (00型)  
      
     ② lim ⁡ x → ∞ ( 1 + 1 x ) x = e            ( 1 ∞ 型 ) ②\\lim \\limits\_\{x→∞\}(1+\\frac\{1\}\{x\})^x=e\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ (1^∞型) ②x→∞lim(1\+x1)x=e          (1∞型)

##### （1）无穷小量 #####

*  当自变量 x → x 0 x→x\_0 x→x0（或 x → ∞ x→∞ x→∞）时，函数 f ( x ) f(x) f(x)的极限值为零，则称当 x → x 0 x→x\_0 x→x0（或 x → ∞ x→∞ x→∞）时，函数 f ( x ) f(x) f(x)为无穷小量，简称无穷小，记作：
    
     lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = 0            ( 或 lim ⁡ x → ∞ f ( x ) = 0 ) \\lim \\limits\_\{x→x\_0\}f(x) = 0\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ (或\\lim \\limits\_\{x→∞\}f(x) = 0) x→x0limf(x)=0          (或x→∞limf(x)=0)
 *  设 α α α和 β β β是同一过程的无穷小量，即 lim ⁡ α = 0 \\lim α = 0 limα=0， lim ⁡ β = 0 \\lim β = 0 limβ=0  
     ① ① ①如果 α β = 0 \\frac\{α\}\{β\} = 0 βα=0，则称 α α α是比 β β β高阶的无穷小量，记作：  
     α = o ( β ) α = o(β) α=o(β)  
      
     ② ② ②如果 α β = C ≠ 0 \\frac\{α\}\{β\} = C ≠ 0 βα=C=0，则称 α α α是与 β β β同价的无穷小量  
      
     ③ ③ ③如果 α β = C = 1 \\frac\{α\}\{β\} = C = 1 βα=C=1，则称 α α α与 β β β是等价的无穷小量，记作：  
     α α α ~  β β β  
      
     ④ ④ ④如果 α β = ∞ \\frac\{α\}\{β\} = ∞ βα=∞，则称 α α α是比 β β β底价的无穷小量
 *  常用等价无穷小：  
    当 x → 0 x→0 x→0时， x x x ~  s i n x sinx sinx ~  a r c s i n x arcsinx arcsinx ~  t a n x tanx tanx ~  a r c t a n x arctanx arctanx ~  I n ( 1 + x ) In(1+x) In(1\+x) ~  e x − 1 e^x-1 ex−1，  
     1 − c o s x 1-cosx 1−cosx ~  1 2 x 2 \\frac\{1\}\{2\}x^2 21x2，  
     ( 1 + x ) μ − 1 (1+x)^μ-1 (1\+x)μ−1 ~  μ x μx μx（ μ μ μ为实常数， μ ≠ 0 μ≠0 μ=0）。

> 有限个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量。

> 无穷小量与有界量之积仍为无穷小量。

> 若极限 lim ⁡ x → x 0 ( x → ∞ ) f ( x ) = A \\lim \\limits\_\{x→x\_0(x→∞)\}f(x)=A x→x0(x→∞)limf(x)=A，则 f ( x ) = A + a f(x)=A+a f(x)=A\+a，且 lim ⁡ x → x 0 ( x → ∞ ) a = 0 \\lim \\limits\_\{x→x\_0(x→∞)\}a=0 x→x0(x→∞)lima=0。

##### （2）无穷大量 #####

*  当自变量 x → x 0 x→x\_0 x→x0（或 x → ∞ x→∞ x→∞）时，函数 f ( x ) f(x) f(x)的绝对值无限增大，则称当 x → x 0 x→x\_0 x→x0（或 x → ∞ x→∞ x→∞）时，函数 f ( x ) f(x) f(x)为无穷大量，简称无穷大，记作：
    
     lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = ∞            ( 或 lim ⁡ x → ∞ f ( x ) = ∞ ) \\lim \\limits\_\{x→x\_0\}f(x) = ∞\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ (或\\lim \\limits\_\{x→∞\}f(x) = ∞) x→x0limf(x)=∞          (或x→∞limf(x)=∞)

> 在同一变化过程中，如果 f ( x ) f(x) f(x)为无穷大量，则 1 f ( x ) \\frac\{1\}\{f(x)\} f(x)1为无穷小量；反之，如果 f ( x ) f(x) f(x)为无穷小量，且 f ( x ) ≠ 0 f(x)≠0 f(x)=0，则 1 f ( x ) \\frac\{1\}\{f(x)\} f(x)1为无穷大量。

##### （3）数列极限的性质 #####

> 唯一性：若数列 \{ x n \} \\\{x\_n\\\} \{ xn\}收敛，则其极限值必定唯一。

> 有界性：若数列 \{ x n \} \\\{x\_n\\\} \{ xn\}收敛，则它必定有界。

> 夹逼性：若数列 \{ x n \} \\\{x\_n\\\} \{ xn\}， \{ y n \} \\\{y\_n\\\} \{ yn\}， \{ z n \} \\\{z\_n\\\} \{ zn\}满足不等式   x n ≤ y n ≤ z n \\ x\_n \\leq y\_n \\leq z\_n  xn≤yn≤zn，且 lim ⁡ n → ∞ x n = lim ⁡ n → ∞ z n = A \\lim \\limits\_\{n→∞\}x\_n=\\lim \\limits\_\{n→∞\}z\_n=A n→∞limxn=n→∞limzn=A，则 lim ⁡ n → ∞ y n = A \\lim \\limits\_\{n→∞\}y\_n=A n→∞limyn=A。

> 收敛准则：单调有界数列必有极限。

> 四则运算性质：设有数列 \{ x n \} \\\{x\_n\\\} \{ xn\}， \{ y n \} \\\{y\_n\\\} \{ yn\}，如果 lim ⁡ n → ∞ x n = A \\lim \\limits\_\{n→∞\}x\_n=A n→∞limxn=A， lim ⁡ n → ∞ y n = B \\lim \\limits\_\{n→∞\}y\_n=B n→∞limyn=B，则  
>  ① lim ⁡ n → ∞ ( x n ± y n ) = lim ⁡ n → ∞ x n ± lim ⁡ n → ∞ y n = A ± B ①\\lim \\limits\_\{n→∞\}(x\_n±y\_n)=\\lim \\limits\_\{n→∞\}x\_n±\\lim \\limits\_\{n→∞\}y\_n=A±B ①n→∞lim(xn±yn)=n→∞limxn±n→∞limyn=A±B  
>   
>  ② lim ⁡ n → ∞ ( x n ⋅ y n ) = lim ⁡ n → ∞ x n ⋅ lim ⁡ n → ∞ y n = A ⋅ B ②\\lim \\limits\_\{n→∞\}(x\_n·y\_n)=\\lim \\limits\_\{n→∞\}x\_n·\\lim \\limits\_\{n→∞\}y\_n=A·B ②n→∞lim(xn⋅yn)=n→∞limxn⋅n→∞limyn=A⋅B  
>   
>  ③ 当 B ≠ 0 时 ， lim ⁡ n → ∞ x n y n = lim ⁡ n → ∞ x n lim ⁡ n → ∞ y n = A B ③当B≠0时，\\lim \\limits\_\{n→∞\}\\frac\{x\_n\}\{y\_n\}=\\frac\{\\lim \\limits\_\{n→∞\}x\_n\}\{\\lim \\limits\_\{n→∞\}y\_n\}=\\frac\{A\}\{B\} ③当B=0时，n→∞limynxn=n→∞limynn→∞limxn=BA

##### （4）函数极限的性质 #####

> 唯一性：如果 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = A \\lim \\limits\_\{x→x\_0\}f(x)=A x→x0limf(x)=A存在，则其极限值必定唯一。

> 夹逼性：设函数 f ( x ) f(x) f(x)， g ( x ) g(x) g(x)， h ( x ) h(x) h(x)在点 x 0 x\_0 x0的某个领域内（点 x 0 x\_0 x0可除外）满足条件   f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x ) \\ f(x) \\leq g(x) \\leq h(x)  f(x)≤g(x)≤h(x)，且 lim ⁡ x → x 0 f ( x ) = lim ⁡ x → x 0 h ( x ) = A \\lim \\limits\_\{x→x\_0\}f(x)=\\lim \\limits\_\{x→x\_0\}h(x)=A x→x0limf(x)=x→x0limh(x)=A，则 lim ⁡ x → x 0 g ( x ) = A \\lim \\limits\_\{x→x\_0\}g(x)=A x→x0limg(x)=A  
> 注：该结论对 x → ∞ x→∞ x→∞的情况也成立。

> 四则运算性质：如果有 lim ⁡ x → ∞ f ( x ) = A \\lim \\limits\_\{x→∞\}f(x)=A x→∞limf(x)=A， lim ⁡ x → ∞ g ( x ) = B \\lim \\limits\_\{x→∞\}g(x)=B x→∞limg(x)=B，则  
>  ① lim ⁡ x → ∞ ( f ( x ) ± g ( x ) ) = lim ⁡ x → ∞ f ( x ) ± lim ⁡ x → ∞ g ( x ) = A ± B ①\\lim \\limits\_\{x→∞\}(f(x)±g(x))=\\lim \\limits\_\{x→∞\}f(x)±\\lim \\limits\_\{x→∞\}g(x)=A±B ①x→∞lim(f(x)±g(x))=x→∞limf(x)±x→∞limg(x)=A±B  
>   
>  ② lim ⁡ x → ∞ ( f ( x ) ⋅ g ( x ) ) = lim ⁡ x → ∞ f ( x ) ⋅ lim ⁡ x → ∞ g ( x ) = A ⋅ B ②\\lim \\limits\_\{x→∞\}(f(x)·g(x))=\\lim \\limits\_\{x→∞\}f(x)·\\lim \\limits\_\{x→∞\}g(x)=A·B ②x→∞lim(f(x)⋅g(x))=x→∞limf(x)⋅x→∞limg(x)=A⋅B  
>   
>  ③ 当 B ≠ 0 时 ， lim ⁡ x → ∞ f ( x ) g ( x ) = lim ⁡ x → ∞ f ( x ) lim ⁡ x → ∞ g ( x ) = A B ③当B≠0时，\\lim \\limits\_\{x→∞\}\\frac\{f(x)\}\{g(x)\}=\\frac\{\\lim \\limits\_\{x→∞\}f(x)\}\{\\lim \\limits\_\{x→∞\}g(x)\}=\\frac\{A\}\{B\} ③当B=0时，x→∞limg(x)f(x)=x→∞limg(x)x→∞limf(x)=BA  
> 注：可将法则中 x → ∞ x→∞ x→∞换成 x → x 0 x→x\_0 x→x0， x → x 0 − x→x\_0^- x→x0−， x → x 0 + x→x\_0^+ x→x0\+， x → + ∞ x→+∞ x→\+∞， x → − ∞ x→-∞ x→−∞等任意一种自变量变化趋势，性质仍成立。

#### 常用解题方法 ####

###### 第一种：因式分解 ######

> 因式分解后消去零因子，此种方法多用于分子分母都为多项式的情况。

例： lim ⁡ x → 1 x 4 − 1 x 3 − 1 \\lim \\limits\_\{x→1\}\\frac\{x^4-1\}\{x^3-1\} x→1limx3−1x4−1

当  x x x 无限趋近与一个确定的常数，首先考虑代入，通过代入发现分母 x 3 − 1 = 0 x^3-1=0 x3−1=0，因此不可取；分子 x 4 − 1 x^4-1 x4−1可通过平方差得到 ( x 2 + 1 ) ( x 2 − 1 ) (x^2+1)(x^2-1) (x2\+1)(x2−1)，分母 x 3 − 1 x^3-1 x3−1可通过立方差得到 ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) (x-1)(x^2+x+1) (x−1)(x2\+x\+1)，如下：

lim ⁡ x → 1 x 4 − 1 x 3 − 1 = lim ⁡ x → 1 ( x 2 + 1 ) ( x 2 − 1 ) ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) \\lim \\limits\_\{x→1\}\\frac\{x^4-1\}\{x^3-1\}=\\lim \\limits\_\{x→1\}\\frac\{(x^2+1)(x^2-1)\}\{(x-1)(x^2+x+1)\} x→1limx3−1x4−1=x→1lim(x−1)(x2\+x\+1)(x2\+1)(x2−1)

再把 x = 1 x=1 x=1代入发现分母 ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) = 0 (x-1)(x^2+x+1)=0 (x−1)(x2\+x\+1)=0，因此仍然不可取；分子 ( x 2 + 1 ) ( x 2 − 1 ) (x^2+1)(x^2-1) (x2\+1)(x2−1)右边的乘数还可通过平方差得到 ( x 2 + 1 ) ( x + 1 ) ( x − 1 ) (x^2+1)(x+1)(x-1) (x2\+1)(x\+1)(x−1)，这时的分子分母同时存在乘数 ( x − 1 ) (x-1) (x−1)，约掉如下：

lim ⁡ x → 1 ( x 2 + 1 ) ( x 2 − 1 ) ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) = lim ⁡ x → 1 ( x 2 + 1 ) ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) = lim ⁡ x → 1 ( x 2 + 1 ) ( x + 1 ) x 2 + x + 1 \\lim \\limits\_\{x→1\}\\frac\{(x^2+1)(x^2-1)\}\{(x-1)(x^2+x+1)\}=\\lim \\limits\_\{x→1\}\\frac\{(x^2+1)(x+1)(x-1)\}\{(x-1)(x^2+x+1)\}=\\lim \\limits\_\{x→1\}\\frac\{(x^2+1)(x+1)\}\{x^2+x+1\} x→1lim(x−1)(x2\+x\+1)(x2\+1)(x2−1)=x→1lim(x−1)(x2\+x\+1)(x2\+1)(x\+1)(x−1)=x→1limx2\+x\+1(x2\+1)(x\+1)

再把 x = 1 x=1 x=1代入发现分母 x 2 + x + 1 ≠ 0 x^2+x+1≠0 x2\+x\+1=0，最后得到结果 4 3 \\frac\{4\}\{3\} 34，如下：

lim ⁡ x → 1 ( x 2 + 1 ) ( x + 1 ) x 2 + x + 1 = ( 1 + 1 ) × ( 1 + 1 ) 1 + 1 + 1 = 4 3 \\lim \\limits\_\{x→1\}\\frac\{(x^2+1)(x+1)\}\{x^2+x+1\}=\\frac\{(1+1)\\times(1+1)\}\{1+1+1\}=\\frac\{4\}\{3\} x→1limx2\+x\+1(x2\+1)(x\+1)=1\+1\+1(1\+1)×(1\+1)=34

###### 第二种：有理化 ######

> 若待求极限的函数中含有形如  a ± b a±\\sqrt b a±b 或  a ± b \\sqrt a±\\sqrt b a±b 的式子，可考虑有理化，以达到消去零因子的目的。

例： lim ⁡ x → 0 x + 1 − 1 x + 1 3 − 1 \\lim \\limits\_\{x→0\}\\frac\{\\sqrt\{x+1\}-1\}\{\\sqrt\[3\]\{x+1\}-1\} x→0lim3x\+1−1x\+1−1

首先考虑代入，通过代入发现分母 x + 1 3 − 1 = 0 \\sqrt\[3\]\{x+1\}-1=0 3x\+1−1=0，因此不可取；分子 x + 1 − 1 \\sqrt\{x+1\}-1 x\+1−1可乘以 x + 1 + 1 \\sqrt\{x+1\}+1 x\+1\+1再通过平方差得到 x x x，如下：

lim ⁡ x → 0 x + 1 − 1 x + 1 3 − 1 = lim ⁡ x → 0 ( x + 1 − 1 ) ( x + 1 + 1 ) ( x + 1 3 − 1 ) ( x + 1 + 1 ) = lim ⁡ x → 0 ( x + 1 ) 2 − 1 2 ( x + 1 3 − 1 ) ( x + 1 + 1 ) = lim ⁡ x → 0 x ( x + 1 3 − 1 ) ( x + 1 + 1 ) \\lim \\limits\_\{x→0\}\\frac\{\\sqrt\{x+1\}-1\}\{\\sqrt\[3\]\{x+1\}-1\}=\\lim \\limits\_\{x→0\}\\frac\{(\\sqrt\{x+1\}-1)(\\sqrt\{x+1\}+1)\}\{(\\sqrt\[3\]\{x+1\}-1)(\\sqrt\{x+1\}+1)\}=\\lim \\limits\_\{x→0\}\\frac\{(\\sqrt\{x+1\})^2-1^2\}\{(\\sqrt\[3\]\{x+1\}-1)(\\sqrt\{x+1\}+1)\}=\\lim \\limits\_\{x→0\}\\frac\{x\}\{(\\sqrt\[3\]\{x+1\}-1)(\\sqrt\{x+1\}+1)\} x→0lim3x\+1−1x\+1−1=x→0lim(3x\+1−1)(x\+1\+1)(x\+1−1)(x\+1\+1)=x→0lim(3x\+1−1)(x\+1\+1)(x\+1)2−12=x→0lim(3x\+1−1)(x\+1\+1)x

再把 x = 0 x=0 x=0代入发现分母 ( x + 1 3 − 1 ) ( x + 1 − 1 ) = 0 (\\sqrt\[3\]\{x+1\}-1)(\\sqrt\{x+1\}-1)=0 (3x\+1−1)(x\+1−1)=0，因此仍然不可取；分母 ( x + 1 3 − 1 ) ( x + 1 − 1 ) (\\sqrt\[3\]\{x+1\}-1)(\\sqrt\{x+1\}-1) (3x\+1−1)(x\+1−1)右边的乘数可通过乘以 \[ ( x + 1 ) 2 3 + x + 1 3 + 1 \] \[\\sqrt\[3\]\{(x+1)^2\}+\\sqrt\[3\]\{x+1\}+1\] \[3(x\+1)2\+3x\+1\+1\]得到 x x x，这时的分子分母同时存在 x x x，约掉如下：

lim ⁡ x → 0 x ( x + 1 3 − 1 ) ( x + 1 + 1 ) = lim ⁡ x → 0 x \[ ( x + 1 ) 2 3 + x + 1 3 + 1 \] ( x + 1 3 − 1 ) \[ ( x + 1 ) 2 3 + x + 1 3 + 1 \] ( x + 1 + 1 ) = lim ⁡ x → 0 x \[ ( x + 1 ) 2 3 + x + 1 3 + 1 \] x ( x + 1 + 1 ) = lim ⁡ x → 0 ( x + 1 ) 2 3 + x + 1 3 + 1 x + 1 + 1 \\lim \\limits\_\{x→0\}\\frac\{x\}\{(\\sqrt\[3\]\{x+1\}-1)(\\sqrt\{x+1\}+1)\}=\\lim \\limits\_\{x→0\}\\frac\{x\[\\sqrt\[3\]\{(x+1)^2\}+\\sqrt\[3\]\{x+1\}+1\]\}\{(\\sqrt\[3\]\{x+1\}-1)\[\\sqrt\[3\]\{(x+1)^2\}+\\sqrt\[3\]\{x+1\}+1\](\\sqrt\{x+1\}+1)\}=\\lim \\limits\_\{x→0\}\\frac\{x\[\\sqrt\[3\]\{(x+1)^2\}+\\sqrt\[3\]\{x+1\}+1\]\}\{x(\\sqrt\{x+1\}+1)\}=\\lim \\limits\_\{x→0\}\\frac\{\\sqrt\[3\]\{(x+1)^2\}+\\sqrt\[3\]\{x+1\}+1\}\{\\sqrt\{x+1\}+1\} x→0lim(3x\+1−1)(x\+1\+1)x=x→0lim(3x\+1−1)\[3(x\+1)2\+3x\+1\+1\](x\+1\+1)x\[3(x\+1)2\+3x\+1\+1\]=x→0limx(x\+1\+1)x\[3(x\+1)2\+3x\+1\+1\]=x→0limx\+1\+13(x\+1)2\+3x\+1\+1

再把 x = 0 x=0 x=0代入发现分母 x + 1 + 1 ≠ 0 \\sqrt\{x+1\}+1≠0 x\+1\+1=0，最后得到结果 3 2 \\frac\{3\}\{2\} 23，如下：

lim ⁡ x → 0 ( x + 1 ) 2 3 + x + 1 3 + 1 x + 1 + 1 = ( 0 + 1 ) 2 3 + 0 + 1 3 + 1 0 + 1 + 1 = 3 2 \\lim \\limits\_\{x→0\}\\frac\{\\sqrt\[3\]\{(x+1)^2\}+\\sqrt\[3\]\{x+1\}+1\}\{\\sqrt\{x+1\}+1\}=\\frac\{\\sqrt\[3\]\{(0+1)^2\}+\\sqrt\[3\]\{0+1\}+1\}\{\\sqrt\{0+1\}+1\}=\\frac\{3\}\{2\} x→0limx\+1\+13(x\+1)2\+3x\+1\+1=0\+1\+13(0\+1)2\+30\+1\+1=23

> 由于 x → 0 x→0 x→0，根据  ( 1 + x ) μ − 1 (1+x)^μ-1 (1\+x)μ−1 ~  μ x μx μx 可得到  x + 1 − 1 = ( x + 1 ) 1 2 − 1 \\sqrt\{x+1\}-1=(x+1)^\{\\frac\{1\}\{2\}\}-1 x\+1−1=(x\+1)21−1 ~  1 2 x \\frac\{1\}\{2\}x 21x， x + 1 3 − 1 = ( x + 1 ) 1 3 − 1 \\sqrt\[3\]\{x+1\}-1=(x+1)^\{\\frac\{1\}\{3\}\}-1 3x\+1−1=(x\+1)31−1 ~  1 3 x \\frac\{1\}\{3\}x 31x；也可通过无穷小代换求极限。

lim ⁡ x → 0 x + 1 − 1 x + 1 3 − 1 = lim ⁡ x → 0 ( x + 1 ) 1 2 − 1 ( x + 1 ) 1 3 − 1 = 1 2 x 1 3 x = 3 2 \\lim \\limits\_\{x→0\}\\frac\{\\sqrt\{x+1\}-1\}\{\\sqrt\[3\]\{x+1\}-1\}=\\lim \\limits\_\{x→0\}\\frac\{(x+1)^\{\\frac\{1\}\{2\}\}-1\}\{(x+1)^\{\\frac\{1\}\{3\}\}-1\}=\\frac\{\\frac\{1\}\{2\}x\}\{\\frac\{1\}\{3\}x\}=\\frac\{3\}\{2\} x→0lim3x\+1−1x\+1−1=x→0lim(x\+1)31−1(x\+1)21−1=31x21x=23

###### 第三种：重要极限 ######

> 函数中含有正弦函数或隐含有正弦函数（即稍作变化可出现正弦函数）时，可考虑使用重要极限 lim ⁡ x → 0 s i n x x = 1 \\lim \\limits\_\{x→0\}\\frac\{sinx\}\{x\}=1 x→0limxsinx=1。

例： lim ⁡ x → π 4 t a n 2 x ⋅ t a n ( π 4 − x ) \\lim \\limits\_\{x→\\frac\{π\}\{4\}\}tan2x·tan(\\frac\{π\}\{4\}-x) x→4πlimtan2x⋅tan(4π−x)

根据 t a n α = s i n α c o s α tanα=\\frac\{sinα\}\{cosα\} tanα=cosαsinα得到 lim ⁡ x → π 4 s i n 2 x c o s 2 x ⋅ s i n ( π 4 − x ) c o s ( π 4 − x ) \\lim \\limits\_\{x→\\frac\{π\}\{4\}\}\\frac\{sin2x\}\{cos2x\}·\\frac\{sin(\\frac\{π\}\{4\}-x)\}\{cos(\\frac\{π\}\{4\}-x)\} x→4πlimcos2xsin2x⋅cos(4π−x)sin(4π−x)，根据四则运算得到 lim ⁡ x → π 4 s i n 2 x lim ⁡ x → π 4 c o s 2 x ⋅ lim ⁡ x → π 4 s i n ( π 4 − x ) lim ⁡ x → π 4 c o s ( π 4 − x ) \\frac\{\\lim \\limits\_\{x→\\frac\{π\}\{4\}\}sin2x\}\{\\lim \\limits\_\{x→\\frac\{π\}\{4\}\}cos2x\}·\\frac\{\\lim \\limits\_\{x→\\frac\{π\}\{4\}\}sin(\\frac\{π\}\{4\}-x)\}\{\\lim \\limits\_\{x→\\frac\{π\}\{4\}\}cos(\\frac\{π\}\{4\}-x)\} x→4πlimcos2xx→4πlimsin2x⋅x→4πlimcos(4π−x)x→4πlimsin(4π−x)，由于 lim ⁡ x → π 4 s i n 2 x = 1 \\lim \\limits\_\{x→\\frac\{π\}\{4\}\}sin2x=1 x→4πlimsin2x=1， lim ⁡ x → π 4 c o s ( π 4 − x ) = 1 \\lim \\limits\_\{x→\\frac\{π\}\{4\}\}cos(\\frac\{π\}\{4\}-x)=1 x→4πlimcos(4π−x)=1，化简得到 lim ⁡ x → π 4 s i n ( π 4 − x ) c o s 2 x \\lim \\limits\_\{x→\\frac\{π\}\{4\}\}\\frac\{sin(\\frac\{π\}\{4\}-x)\}\{cos2x\} x→4πlimcos2xsin(4π−x)，如下：

lim ⁡ x → π 4 t a n 2 x ⋅ t a n ( π 4 − x ) = lim ⁡ x → π 4 s i n 2 x c o s 2 x ⋅ s i n ( π 4 − x ) c o s ( π 4 − x ) = lim ⁡ x → π 4 s i n 2 x lim ⁡ x → π 4 c o s 2 x ⋅ lim ⁡ x → π 4 s i n ( π 4 − x ) lim ⁡ x → π 4 c o s ( π 4 − x ) = lim ⁡ x → π 4 s i n ( π 4 − x ) c o s 2 x \\lim \\limits\_\{x→\\frac\{π\}\{4\}\}tan2x·tan(\\frac\{π\}\{4\}-x)=\\lim \\limits\_\{x→\\frac\{π\}\{4\}\}\\frac\{sin2x\}\{cos2x\}·\\frac\{sin(\\frac\{π\}\{4\}-x)\}\{cos(\\frac\{π\}\{4\}-x)\}=\\frac\{\\lim \\limits\_\{x→\\frac\{π\}\{4\}\}sin2x\}\{\\lim \\limits\_\{x→\\frac\{π\}\{4\}\}cos2x\}·\\frac\{\\lim \\limits\_\{x→\\frac\{π\}\{4\}\}sin(\\frac\{π\}\{4\}-x)\}\{\\lim \\limits\_\{x→\\frac\{π\}\{4\}\}cos(\\frac\{π\}\{4\}-x)\}=\\lim \\limits\_\{x→\\frac\{π\}\{4\}\}\\frac\{sin(\\frac\{π\}\{4\}-x)\}\{cos2x\} x→4πlimtan2x⋅tan(4π−x)=x→4πlimcos2xsin2x⋅cos(4π−x)sin(4π−x)=x→4πlimcos2xx→4πlimsin2x⋅x→4πlimcos(4π−x)x→4πlimsin(4π−x)=x→4πlimcos2xsin(4π−x)

根据诱导公式 c o s x = s i n ( π 2 − x ) cosx=sin(\\frac\{π\}\{2\}-x) cosx=sin(2π−x)可得知 c o s 2 x = s i n ( π 2 − 2 x ) cos2x=sin(\\frac\{π\}\{2\}-2x) cos2x=sin(2π−2x)，得到 lim ⁡ x → π 4 s i n ( π 4 − x ) s i n ( π 2 − 2 x ) \\lim \\limits\_\{x→\\frac\{π\}\{4\}\}\\frac\{sin(\\frac\{π\}\{4\}-x)\}\{sin(\\frac\{π\}\{2\}-2x)\} x→4πlimsin(2π−2x)sin(4π−x)，再将分母化简得到 lim ⁡ x → π 4 s i n ( π 4 − x ) s i n 2 ( π 4 − x ) \\lim \\limits\_\{x→\\frac\{π\}\{4\}\}\\frac\{sin(\\frac\{π\}\{4\}-x)\}\{sin2(\\frac\{π\}\{4\}-x)\} x→4πlimsin2(4π−x)sin(4π−x)，如下：

lim ⁡ x → π 4 s i n ( π 4 − x ) c o s 2 x = lim ⁡ x → π 4 s i n ( π 4 − x ) s i n ( π 2 − 2 x ) = lim ⁡ x → π 4 s i n ( π 4 − x ) s i n 2 ( π 4 − x ) \\lim \\limits\_\{x→\\frac\{π\}\{4\}\}\\frac\{sin(\\frac\{π\}\{4\}-x)\}\{cos2x\}=\\lim \\limits\_\{x→\\frac\{π\}\{4\}\}\\frac\{sin(\\frac\{π\}\{4\}-x)\}\{sin(\\frac\{π\}\{2\}-2x)\}=\\lim \\limits\_\{x→\\frac\{π\}\{4\}\}\\frac\{sin(\\frac\{π\}\{4\}-x)\}\{sin2(\\frac\{π\}\{4\}-x)\} x→4πlimcos2xsin(4π−x)=x→4πlimsin(2π−2x)sin(4π−x)=x→4πlimsin2(4π−x)sin(4π−x)

由于 x → π 4 x→\\frac\{π\}\{4\} x→4π，因此 π 4 − x → 0 \\frac\{π\}\{4\}-x→0 4π−x→0、 2 ( π 4 − x ) → 0 2(\\frac\{π\}\{4\}-x)→0 2(4π−x)→0，分子 s i n ( π 4 − x ) sin(\\frac\{π\}\{4\}-x) sin(4π−x)、分母 s i n 2 ( π 4 − x ) sin2(\\frac\{π\}\{4\}-x) sin2(4π−x)都能使用重要极限 lim ⁡ x → 0 s i n x x = 1 ( 0 0 型 ) \\lim \\limits\_\{x→0\}\\frac\{sinx\}\{x\}=1(\\frac\{0\}\{0\}型) x→0limxsinx=1(00型)，得 lim ⁡ x → π 4 π 4 − x 2 ( π 4 − x ) \\lim \\limits\_\{x→\\frac\{π\}\{4\}\}\\frac\{\\frac\{π\}\{4\}-x\}\{2(\\frac\{π\}\{4\}-x)\} x→4πlim2(4π−x)4π−x，最后约分得 1 2 \\frac\{1\}\{2\} 21，如下：

lim ⁡ x → π 4 s i n ( π 4 − x ) s i n 2 ( π 4 − x ) = lim ⁡ x → π 4 π 4 − x 2 ( π 4 − x ) = 1 2 \\lim \\limits\_\{x→\\frac\{π\}\{4\}\}\\frac\{sin(\\frac\{π\}\{4\}-x)\}\{sin2(\\frac\{π\}\{4\}-x)\}=\\lim \\limits\_\{x→\\frac\{π\}\{4\}\}\\frac\{\\frac\{π\}\{4\}-x\}\{2(\\frac\{π\}\{4\}-x)\}=\\frac\{1\}\{2\} x→4πlimsin2(4π−x)sin(4π−x)=x→4πlim2(4π−x)4π−x=21

###### 第四种：等价无穷小代换 ######

> 等价无穷小代换必须是因子时才可进行，另外要灵活运用，注意等价无穷小形式上的变化。

例： lim ⁡ x → 5 1 − x − 4 x − 5 \\lim \\limits\_\{x→5\}\\frac\{1-\\sqrt\{x-4\}\}\{x-5\} x→5limx−51−x−4

分子 1 − x − 4 等 于 1 − ( x − 4 ) 1 2 1-\\sqrt\{x-4\}等于1-(x-4)^\\frac\{1\}\{2\} 1−x−4等于1−(x−4)21，可化为 − \[ ( 1 + x − 5 ) 1 2 − 1 \] -\[(1+x-5)^\\frac\{1\}\{2\}-1\] −\[(1\+x−5)21−1\]，由于 x → 5 x→5 x→5，因此 x − 5 → 0 x-5→0 x−5→0，可通过 ( 1 + x ) μ − 1 (1+x)^μ-1 (1\+x)μ−1 ~  μ x μx μx进行等价无穷小代换得到 − 1 2 ( x − 5 ) -\\frac\{1\}\{2\}(x-5) −21(x−5)，最后约分得到 − 1 2 -\\frac\{1\}\{2\} −21，如下：

lim ⁡ x → 5 1 − x − 4 x − 5 = lim ⁡ x → 5 1 − ( x − 4 ) 1 2 x − 5 = lim ⁡ x → 5 − \[ ( 1 + x − 5 ) 1 2 − 1 \] x − 5 = lim ⁡ x → 5 − 1 2 ( x − 5 ) x − 5 = − 1 2 \\lim \\limits\_\{x→5\}\\frac\{1-\\sqrt\{x-4\}\}\{x-5\}=\\lim \\limits\_\{x→5\}\\frac\{1-(x-4)^\\frac\{1\}\{2\}\}\{x-5\}=\\lim \\limits\_\{x→5\}\\frac\{-\[(1+x-5)^\\frac\{1\}\{2\}-1\]\}\{x-5\}=\\lim \\limits\_\{x→5\}\\frac\{-\\frac\{1\}\{2\}(x-5)\}\{x-5\}=-\\frac\{1\}\{2\} x→5limx−51−x−4=x→5limx−51−(x−4)21=x→5limx−5−\[(1\+x−5)21−1\]=x→5limx−5−21(x−5)=−21