复旦大学961-数据结构-第五章-图（一）图的基本概念；图的存储结构,邻接矩阵,邻接表

刺骨的言语ヽ痛彻心扉 2022-12-13 14:05 126阅读 0赞

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### 文章目录 ###

*  图的基本概念
 *   *  图的定义
     *  图的分类
     *   *  1. 有向图
         *  2.无向图
         *  3. 简单图
         *  4. 多重图
         *  5. 完全图（也称为简单完全图）
         *  6. 子图
         *  7. 连通、连通图和连通分量
         *  8.强连通图、强连通分量
         *  9. 生成树、生成森林
         *  10. 顶点的度、入度和出度
         *  11. 边的权和网
         *  12. 稠密图和稀疏图
         *  13.路径、路径长度和回路
         *  14. 简单路径、简单回路
         *  15. 距离
         *  16. 有向树
 *  图的存储结构
 *   *  图的ADT
 *  图的表示方法
 *   *  邻接矩阵
     *   *  无向图的Java实现
     *  邻接表

# 图的基本概念 #

## 图的定义 ##

图的定义：**图G**是由**顶点集V**和**边集E**组成，记为**G=(V,E)**，其中V(G)表示图G中顶点的**有限非空集**（就是G中的顶点，**图不可以是空图**）。E(G)表示图G中的顶点之间的关系（边）集合。**|V|** 表示图G顶点的个数，也称图G的**阶**，E=\{(u,v)|u∈V, v∈V\}，用 **|E|** 表示图G中边的条数。图不可以是空图，可以没有边，但不能没有顶点

## 图的分类 ##

### 1. 有向图 ###

若图中的边是**有向边**（也称为**弧**）时，该图称为有向图。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9ob25nZmVpXzM1OA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
有向边(弧)记为 **<v,w>** (v，w是顶点，表示从v->w)，v称为**弧尾**，w称为**弧头**，<v,w>称为从顶点v到顶点w的弧，也称v邻接到w，或w邻接自v。如图所示，使用符号语言表示，则为  
 G = ( V , E ) V = \{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 \} E = \{ < 1 , 2 > , < 1 , 3 > , < 1 , 4 > , < 2 , 4 > , ⋯   \} G=(V,E) \\\\ V = \\\{1,2,3,4,5,6,7\\\} \\\\ E=\\\{ <1,2>, <1,3>,<1,4>, <2,4>,\\cdots \\\} G=(V,E)V=\{ 1,2,3,4,5,6,7\}E=\{ <1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,4>,⋯\}

### 2.无向图 ###

图中的边没有方向，则图称为**无向图**，边称为**无向边**。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9ob25nZmVpXzM1OA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]  
此时，边记为 **(v,w)**，v，w为顶点，其中 (v,w) = (w,v)。如图所示，用符号语言表示则为：  
 G = ( V , E ) V = \{ A , B , C , D , E \} E = \{ ( A , B ) , ( A , D ) , ( A , E ) , ( B , D ) , ( B , C ) , ( C , E ) , ( D , C ) \} G = (V,E) \\\\ V =\\\{ A,B,C,D,E \\\} \\\\ E = \\\{ (A,B),(A,D),(A,E),(B,D),(B,C),(C,E),(D,C) \\\} G=(V,E)V=\{ A,B,C,D,E\}E=\{ (A,B),(A,D),(A,E),(B,D),(B,C),(C,E),(D,C)\}

### 3. 简单图 ###

一个图中，若满足两个条件：

1.  不存在重复边
2.  不存在顶点到自身的边

则该图称为**简单图**。数据结构中仅讨论简单图

### 4. 多重图 ###

如果一个图不是简单图，那么它就是多重图。

### 5. 完全图（也称为简单完全图） ###

完全图，首先要是一个简单图。第二，能有边的地方一定要有边，那么这个图就成为**完全图**。完全图又分为**无向完全图**和**有向完全图**。无向完全图就是每两个顶点之间一定有一条无向边。而有向完全图是每两个顶点之间一定都有两条方向不同的有向边。

无向完全图边的数量：n(n-1)/2  
有向完全图边的数量：n(n-1)

### 6. 子图 ###

将图G，删除一部分边和一部分顶点得到的图G’，称为图G的**子图**。类似树中子树的概念。若只删除部分边而不删除顶点，则G’称为G的**生成子图**。

### 7. 连通、连通图和连通分量 ###

如果图中的两个顶点之间存在路径，则称两个顶点是**连通**的。比如 A->B->C，这种的，A和C就是连通的。若图中的任意两个顶点都是连通的，则该图称为**连通图**。无向图中的极大连通图称为**连通分量**。

**极大连通子图**：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9ob25nZmVpXzM1OA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]  
如图所示，橙色部分是一个图。它可以分为三个极大连通子图，即白色区域的。极大连通分量要求子图必须连通，且包含其所有的顶点和边。

**极小连通子图**：  
极小连通子图既要保持连通，又要使得边数最少的子图。

### 8.强连通图、强连通分量 ###

这两个概念是针对有向图的。如果有向图中，任意两个顶点之间都有路径，则称该图为**强连通图**。有向图中的极大强连通子图称为有向图的**强连通分量**。

**极大强连通子图**：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9ob25nZmVpXzM1OA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 3]

### 9. 生成树、生成森林 ###

将一个图砍去一些边，然后把它变成一颗树，那这棵树就称为它的**生成树**。若一个图存在多个连通分量，把所有的连通分量都给弄成树，组成一个森林。这个森林就称为这个图的**生成森林**

### 10. 顶点的度、入度和出度 ###

度的概念类似于树中度的概念。

对于无向图，**度**是依附于该节点边的数量。

对于有向图，**入度**就是有多少边指向该节点。**出度**是指从这个节点出去多少边。

### 11. 边的权和网 ###

为图的每一条附一个**权值**，则该图称为**带权图**，也称为**网**。

### 12. 稠密图和稀疏图 ###

边很多的图称为**稠密图**，边很少的图称为**稀疏图**。一般认为当 |E| < |V| log|V|时，将G视为稀疏图。

### 13.路径、路径长度和回路 ###

**路径**是指一个顶点到另一个顶点都经过了哪些顶点。比如 A->B->C。那么A到C的路径就是A,B,C。其中经过的边的数量称为**路径长度**。若是第一个顶点和最后一个顶点相同（自身到自身），则该路径称为**回路**或**环**。若一个图的顶点数为n, 边数大于 n-1，则该图一定存在回路。

### 14. 简单路径、简单回路 ###

若一个路径中，不存在重复的路径（顶点），则该路径称为**简单路径**。若除第一个和最后一个外，不存在重复的路径（顶点）的回路，称为**简单回路**。

### 15. 距离 ###

两个节点之间最短的那个路径的长度，称为两个节点之间的**距离**。若两个节点之间不存在路径，则距离为无穷。

### 16. 有向树 ###

一个顶点的入度为0，其余节点的入度均为1的有向图，称为**有向树**。

# 图的存储结构 #

## 图的ADT ##

public interface Graph<VertexType> { 
    
        VertexType[] neighbors(VertexType x); // 返回图中节点x邻近的顶点，<x,y1>,<x,y2>...中的y1,y2
    
        void insertVertex(VertexType x); // 插入顶点x
    
        void addEdge(VertexType x, VertexType y); // 插入边 <x,y> 或 (x,y)
    
        int getVertexNumber(); // 获取顶点的数量
    
        VertexType getVertexByIndex(int i);  // 根据下标获取节点 
    }

# 图的表示方法 #

## 邻接矩阵 ##

使用一个二维数组来表示整个图。arr\[n\]\[n\] ,其中n为顶点数量。a\[i\]\[j\] 表示顶点i和顶点j之间是否有边，一般1代表有边，0代表无边。

对于无向图，矩阵是一个对称矩阵。如图：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9ob25nZmVpXzM1OA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 4]  
对于有向图，若i->j有边，则arr\[i\]\[j\] = 1,若j->i，无边，则arr\[j\]\[i\] =0 ，所以有向图不一定是一个对称矩阵  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9ob25nZmVpXzM1OA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 5]

邻接矩阵的特点：

1.  是对称矩阵（无向图）
2.  适合稠密图
3.  可以采用压缩矩阵优化空间
4.  空间复杂度为O(n2)，n为图的节点数|V|

### 无向图的Java实现 ###

// 邻接矩阵实现无向图
    public class AdjacencyMatrixUndirectedGraph<VertexType> implements Graph<VertexType> { 
    
        VertexType[] vertexes;  // 节点表
        int[][] edges;  // 边表
        int vertexNumber; // 当前节点数
    
        public AdjacencyMatrixUndirectedGraph(int maxVertexNum) { 
            // 初始化
            vertexes = (VertexType[]) new Object[maxVertexNum];
            edges = new int[maxVertexNum][maxVertexNum];
        }
    
        // 找出顶点x在表中的位置
        private int findIndex(VertexType x) { 
            for (int i = 0; i < vertexes.length; i++) { 
                if (x == vertexes[i]) { 
                    return i;
                }
            }
            throw new RuntimeException("图中不包含顶点");
        }
    
        @Override
        public VertexType[] neighbors(VertexType x) { 
            ArrayList<VertexType> result = new ArrayList<>();
            int[] edges = this.edges[findIndex(x)];
            for (int i = 0; i < edges.length; i++) { 
                if (edges[i] == 1) { 
                    result.add(vertexes[i]);
                }
            }
            return (VertexType[]) result.toArray();
        }
    
        @Override
        public void insertVertex(VertexType x) { 
            if (vertexNumber >= vertexes.length) { 
                throw new RuntimeException("容量已满"); // 或进行扩容
            }
            vertexes[vertexNumber] = x; // 将x插入到顶点表的末尾
            vertexNumber++; // 顶点数量+1
        }
    
        @Override
        public void addEdge(VertexType x, VertexType y) { 
            int xIndex = findIndex(x);
            int yIndex = findIndex(y);
            edges[xIndex][yIndex] = 1;  // 因为是无向图，所以 (x,y)和(y,x)都要复制为1
            edges[yIndex][xIndex] = 1;
        }
    
        @Override
        public int getVertexNumber() { 
            return vertexNumber;
        }
    
        @Override
        public VertexType getVertexByIndex(int i) { 
            return vertexes[i];
        }
    
        public void printGraph() { 
            System.out.print("\t");
            for (int i = 0; i < vertexNumber; i++) { 
                System.out.print(vertexes[i] + "\t");
            }
            System.out.println();
    
            for (int i = 0; i < vertexNumber; i++) { 
                System.out.print(vertexes[i] + "\t");
                for (int j = 0; j < vertexNumber; j++) { 
                    System.out.print(edges[i][j] + "\t");
                }
                System.out.println();
            }
        }
    }

## 邻接表 ##

如果图是稀疏图，若使用邻接矩阵法，则会有大量的0，显然会很浪费空间。所以引入了邻接表法。邻接表是顺序存储+链式存储实现的，如图所示：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9ob25nZmVpXzM1OA_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 6]  
数组中存储的是各个顶点，以及顶点的路径。如图，A顶点有三条路径，分别指向BCD，其下标分别为1,2,3。而1,2,3这三条数据又用一个链表进行存储。1,2,3的顺序没有要求，只是为了表示A节点与BCD节点之间存在边。

若为有向图，原理类似。

[961]: https://blog.csdn.net/zhaohongfei_358/article/details/111414370
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