三角函数基本公式

Love The Way You Lie 2022-12-14 03:58 243阅读 0赞

# 基本三角函数值 #

# 三角函数的基本关系式 #

### （1）倒数关系 ###

t a n α ⋅ c o t α = 1 tanα·cotα=1 tanα⋅cotα=1  
 s i n α ⋅ c s c α = 1 sinα·cscα=1 sinα⋅cscα=1  
 c o s α ⋅ s e c α = 1 cosα·secα=1 cosα⋅secα=1

### （2）商的关系 ###

t a n α = s i n α / c o s α = s e c α / c s c α tanα=sinα/cosα=secα/cscα tanα=sinα/cosα=secα/cscα  
 c o t α = c o s α / s i n α = c s c α / s e c α cotα=cosα/sinα=cscα/secα cotα=cosα/sinα=cscα/secα

### （3）平方关系 ###

s i n 2 α + c o s 2 α = 1 sin^2α+cos^2α=1 sin2α\+cos2α=1  
 1 + t a n 2 α = s e c 2 α 1+tan^2α=sec^2α 1\+tan2α=sec2α  
 1 + c o t 2 α = c s c 2 α 1+cot^2α=csc^2α 1\+cot2α=csc2α

# 诱导公式 #

# 两角和与差的三角函数公式与万能公式 #

### （1）两角和与差的三角函数公式 ###

s i n ( α + β ) = s i n α c o s β + c o s α s i n β sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α\+β)=sinαcosβ\+cosαsinβ  
 s i n ( α − β ) = s i n α c o s β − c o s α s i n β sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ  
 c o s ( α + β ) = c o s α c o s β − s i n α s i n β cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ cos(α\+β)=cosαcosβ−sinαsinβ  
 c o s ( α − β ) = c o s α c o s β + s i n α s i n β cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ cos(α−β)=cosαcosβ\+sinαsinβ  
 t a n ( α + β ) = t a n α + t a n β 1 − t a n α ⋅ t a n β tan(α+β)=\\frac\{tanα+tanβ\}\{1-tanα·tanβ\} tan(α\+β)=1−tanα⋅tanβtanα\+tanβ  
 t a n ( α − β ) = t a n α − t a n β 1 + t a n α ⋅ t a n β tan(α-β)=\\frac\{tanα-tanβ\}\{1+tanα·tanβ\} tan(α−β)=1\+tanα⋅tanβtanα−tanβ

### （2）万能公式 ###

s i n α = 2 t a n ( α / 2 ) 1 + t a n 2 ( α / 2 ) sinα=\\frac\{2tan(α/2)\}\{1+tan^2(α/2)\} sinα=1\+tan2(α/2)2tan(α/2)  
 c o s α = 1 − t a n 2 ( α / 2 ) 1 + t a n 2 ( α / 2 ) cosα=\\frac\{1-tan^2(α/2)\}\{1+tan^2(α/2)\} cosα=1\+tan2(α/2)1−tan2(α/2)  
 t a n α = 2 t a n ( α / 2 ) 1 − t a n 2 ( α / 2 ) tanα=\\frac\{2tan(α/2)\}\{1-tan^2(α/2)\} tanα=1−tan2(α/2)2tan(α/2)

# 半角的正弦、余弦和正切公式与三角函数的降幂公式 #

### （1）半角的正弦、余弦和正切公式 ###

s i n α 2 = ± 1 − c o s α 2 sin\\frac\{α\}\{2\}=±\\sqrt\{\\frac\{1-cosα\}\{2\}\} sin2α=±21−cosα  
 c o s α 2 = ± 1 + c o s α 2 cos\\frac\{α\}\{2\}=±\\sqrt\{\\frac\{1+cosα\}\{2\}\} cos2α=±21\+cosα  
 t a n α 2 = ± 1 − c o s α 1 + c o s α = 1 − c o s α s i n α = s i n α 1 + c o s α tan\\frac\{α\}\{2\}=±\\sqrt\{\\frac\{1-cosα\}\{1+cosα\}\}=\\frac\{1-cosα\}\{sinα\}=\\frac\{sinα\}\{1+cosα\} tan2α=±1\+cosα1−cosα=sinα1−cosα=1\+cosαsinα

### （2）三角函数的降幂公式 ###

s i n 2 α = 1 − c o s 2 α 2 sin^2α=\\frac\{1-cos2α\}\{2\} sin2α=21−cos2α  
 c o s 2 α = 1 + c o s 2 α 2 cos^2α=\\frac\{1+cos2α\}\{2\} cos2α=21\+cos2α

# 二倍角的正弦、余弦和正切公式与三倍角的正弦、余弦和正切公式 #

### （1）二倍角的正弦、余弦和正切公式 ###

s i n 2 α = 2 s i n α c o s α sin2α=2sinαcosα sin2α=2sinαcosα  
 c o s 2 α = c o s 2 α − s i n 2 α = 2 c o s 2 α − 1 = 1 − 2 s i n 2 α cos2α=cos^2α-sin^2α=2cos^2α-1=1-2sin^2α cos2α=cos2α−sin2α=2cos2α−1=1−2sin2α  
 t a n 2 α = 2 t a n α 1 − t a n 2 α tan2α=\\frac\{2tanα\}\{1-tan^2α\} tan2α=1−tan2α2tanα

### （2）三倍角的正弦、余弦和正切公式 ###

s i n 3 α = 3 s i n α − 4 s i n 3 α sin3α=3sinα-4sin^3α sin3α=3sinα−4sin3α  
 c o s 3 α = 4 c o s 3 α − 3 c o s α cos3α=4cos^3α-3cosα cos3α=4cos3α−3cosα  
 t a n 3 α = 3 t a n α − t a n 3 α 1 − 3 t a n 2 α tan3α=\\frac\{3tanα-tan^3α\}\{1-3tan^2α\} tan3α=1−3tan2α3tanα−tan3α

# 三角函数的和差化积公式与三角函数的积化和差公式 #

### （1）三角函数的和差化积公式 ###

s i n α + s i n β = 2 s i n α + β 2 ⋅ c o s α − β 2 sinα+sinβ=2sin\\frac\{α+β\}\{2\}·cos\\frac\{α-β\}\{2\} sinα\+sinβ=2sin2α\+β⋅cos2α−β  
 s i n α − s i n β = 2 c o s α + β 2 ⋅ s i n α − β 2 sinα-sinβ=2cos\\frac\{α+β\}\{2\}·sin\\frac\{α-β\}\{2\} sinα−sinβ=2cos2α\+β⋅sin2α−β  
 c o s α + c o s β = 2 c o s α + β 2 ⋅ c o s α − β 2 cosα+cosβ=2cos\\frac\{α+β\}\{2\}·cos\\frac\{α-β\}\{2\} cosα\+cosβ=2cos2α\+β⋅cos2α−β  
 c o s α − c o s β = − 2 s i n α + β 2 ⋅ s i n α − β 2 cosα-cosβ=-2sin\\frac\{α+β\}\{2\}·sin\\frac\{α-β\}\{2\} cosα−cosβ=−2sin2α\+β⋅sin2α−β

### （2）三角函数的积化和差公式 ###

s i n α ⋅ c o s β = 1 2 \[ s i n ( α + β ) + s i n ( α − β ) \] sinα·cosβ=\\frac\{1\}\{2\}\[sin(α+β)+sin(α-β)\] sinα⋅cosβ=21\[sin(α\+β)\+sin(α−β)\]  
 c o s α ⋅ s i n β = 1 2 \[ s i n ( α + β ) − s i n ( α − β ) \] cosα·sinβ=\\frac\{1\}\{2\}\[sin(α+β)-sin(α-β)\] cosα⋅sinβ=21\[sin(α\+β)−sin(α−β)\]  
 c o s α ⋅ c o s β = 1 2 \[ c o s ( α + β ) + c o s ( α − β ) \] cosα·cosβ=\\frac\{1\}\{2\}\[cos(α+β)+cos(α-β)\] cosα⋅cosβ=21\[cos(α\+β)\+cos(α−β)\]  
 s i n α ⋅ s i n β = − 1 2 \[ c o s ( α + β ) − c o s ( α − β ) \] sinα·sinβ=-\\frac\{1\}\{2\}\[cos(α+β)-cos(α-β)\] sinα⋅sinβ=−21\[cos(α\+β)−cos(α−β)\]

# 辅助角公式 #

a s i n x ± b c o s x = a 2 + b 2 s i n ( x ± φ ) （ 其 中 φ 角 所 在 象 限 由 a 、 b 的 符 号 确 定 ， φ 角 的 值 由 t a n φ = b a 确 定 ） asinx±bcosx=\\sqrt\{a^2+b^2\}sin(x±φ)（其中φ角所在象限由a、b的符号确定，φ角的值由tanφ=\\frac\{b\}\{a\}确定） asinx±bcosx=a2\+b2sin(x±φ)（其中φ角所在象限由a、b的符号确定，φ角的值由tanφ=ab确定）