B-样条曲线(B-spline Curve)总结

系统管理员 2022-12-20 05:36 515阅读 0赞

## 概述 ##

B-样条曲线，是B-样条基函数的线性组合，是[贝塞尔曲线][Link 1]的一般化。  
给定n+1个控制点，P0,P1, ..., Pn以及一个节点向量U = \{ u0,u1, ..., um \}, p 次B-样条曲线由这些控制点和节点向量U 定义，其公式为：

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B-样条曲线公式

在上式中, N*i,p*(u)是 p次B-样条基函数。

## B-样条基函数 ##

### 节点向量 ###

设U 是m + 1个非递减数的集合，u0 <=u1 <= u2 <= ... <= um。ui称为节点（knots）, 集合U 称为节点向量（knot vector）, 半开区间\[ui, ui+1) 是第i个节点区间（knot span）。注意某些ui可能相等，某些节点区间会不存在。如果一个节点ui出现 k 次 (即，ui = ui+1 = ... = ui+k-1), 其中 k > 1, ui 是一个重复度（multiplicity）为k 的多重节点，写为 ui(k)。 否则，如果ui只出现一次，它是一个简单节点。如果节点等间距(即， ui+1 - ui 是一个常数，对 0 <= i <= m - 1)，节点向量或节点序列称为均匀的；否则它是非均匀的。**一般情况下**，我们经常使用 u0 = 0和 um = 1，所以定义域是闭区间\[0,1\]。

### 基函数定义 ###

为了定义B-样条基函数，我们还需要一个参数，基函数的次数（degree）p，第i个p次B-样条基函数，写为Ni,p(u)，递归定义如下：

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B-样条基函数定义

上述公式通常称为**Cox-de Boor**递归公式。  
为了理解计算Ni,p(u)的方法，我们使用三角计算格式:

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基函数计算格式

### 重要性质 ###

1.  Ni,p(u)是一个在u上的p次多项式；
2.  非负性，对于所有的i,p和u，Ni,p(u)是非负的；
3.  局部支撑(Local Support)，Ni,p(u)是在\[ui,ui+p+1\]上的非零多项式；
4.  在任意区间\[ui,ui+1)，最多有p+1个p次基函数非零，即Ni-p,p(u)，Ni-p+1,p(u)，Ni-p+2,p(u)，……，Ni,p(u)；
5.  单位分解(Partition of Unity)，所有的非零的p次基函数在区间\[ui,ui+1)上的和为1；
6.  如果节点数是m+1，基函数的次数是p，而p次基函数的数目是n+1，则m=n+p+1；
7.  基函数Ni,p(u)是p次多项式的复合曲线，连接点在\[ui,ui+p+1\]上的节点处；
8.  在一个有重复度k的节点处，基函数Ni,p(u)是Cp-k连续的。

### 多重节点的影响 ###

1.  每个重复度 k 的节点减小最多k-1 个基函数的非零定义域；
2.  在每个重复度*k*的内部节点，非零基函数的数目最多*p - k* \+ 1, 其中 *p* 是基函数的次数。

## B-样条曲线 ##

### 曲线类别 ###

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B-样条曲线种类示意

### 开曲线 ###

**对于open(B-样条曲线)，定义域是\[up,um-p\]**  
考虑一个由14个控制点（即，n = 13)定义的 6次 (即，p = 6) B-样条曲线。其节点的数目是 21 (即， m = n + p + 1 = 20)。如果节点向量是均匀的, 节点是0, 0.05, 0.10, 0.15, ..., 0.90, 0.95 和 1.0。 开（open）曲线定义在\[up, um-p\] = \[u6, u14\] = \[0.3, 0.7\]上且与第一边和最后一边不相切。下面上图显示了曲线而下图给出了B-样条基函数。

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B-样条曲线

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B-样条基函数

### 闭曲线 ###

有许多方法来产生闭曲线。简单的一种就是或者wrapping控制点或者wrapping节点向量。

wrapping控制点

假设我们想构建一个p次闭（closed）B-样条曲线C(u)，由n+1 控制点P0,P1, ..., Pn.定义。节点数目是m+1, 其中 m = n + p + 1. 这儿是构建过程：

1.  设计一个均匀 *m*\+1 个节点的节点序列：*u*0 = 0, *u*1 = 1/*m*, *u*1 = 2/*m*, ..., *um* = 1。注意曲线的定义域是 \[*up*, *um-p*\].  
    2.Wrap头p 个和最后p 个控制点。更准确地，设*P*0 = *P*n-p+1, *P*1=*P*n-p+2, ..., *P*p-2 = *P*n-1 and *P*p-1 = *P*n. 如下图所示。
    
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wrapping节点

假设我们想要构建一个由n+1个控制点*P*0, *P*1, ..., *P*n定义的p次闭B-样条曲线C(u) 。构建过程如下：

1.  增加一个新控制点 *P*n+1 =*P*0.因此，控制点的数目是 n+2；
2.  找到一个合适的有 n+1节点的节点序列*u*0, *u*1, ..., *u*n 。这些节点不必要是均匀的，*an advantage over the method discussed above*；
3.  增加 p+2 个节点并 wrap 头 p+2个节点： *u*n+1 = *u*0, *u*n+2 = *u*1, ..., *u*n+p = *u*p-1, *u*n+p+1 = *u*p, *u*n+p+2= *u*p+1，如下图所示。这样，我们有n+p+2 = (n+1)+p+1 个节点；
4.  定义在上述构建的 n+1个控制点和n+p+2 个节点上的 p次开B-样条曲线C(u)是一个闭曲线，在连接点处C(*u*0) = C(*u*n+1)有*C*p-1 连续性。注意闭曲线的定义域是 \[*u*0, *u*n+1\]。
    
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    Wrapping节点

### 重要性质 ###

1.  B-样条曲线是个逐段曲线，每个分量是p次曲线；
2.  等式m=n+p+1必须满足；
3.  Clamped B-样条曲线C(u)通过首尾两个控制点 *P*0 和*P*n ；
4.  样条曲线包含在控制折线(ployline)的凸包内。更特别地，如果u 在节点区间\[*u*i,*u*i+1)里，那么C(u)在控制点*P*i-p, *P*i-p+1, ...,*P*i的凸包里；
5.  *P*i 只影响在区间\[*u*i,*u*i+p+1)上的曲线 C(u)；
6.  C(u) 在重复度 k 的节点上是Cp-k 连续的 ；
7.  变分减小性质对B-样条曲线也成立。如果曲线在平面(resp., 空间)上，这意味着没有直线(resp., 平面) 与 B-样条曲线相交的次数多于它与曲线控制折线（polyline）相交的次数；
8.  贝塞尔曲线是B-样条曲线的特例；
9.  仿射不变性。

## 链接 ##

本文旨在加深对B-样条曲线的理解，主要是对下述教程的总结，具体内容可以参考如下教程：  
[B-样条曲线教程][B-]

作者：手写的以后  
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来源：简书  
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