Java数据结构与算法（十二）：图

布满荆棘的人生 2022-12-26 12:29 173阅读 0赞

## 1. 图 基本介绍 ##

### 1.1 为什么要有图 ###

*  线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系；
 *  树也只能有一个直接前驱也就是父结点；
 *  当我们需要表示多对多的关系时，就需要用到图；

### 1.2 图的举例说明 ###

图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。结点也可以称为顶点。如图：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2hvdXdhbmxl_size_16_color_FFFFFF_t_70]

### 1.3 图的常用概念 ###

*  顶点
 *  边
 *  路径
 *  无向图  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2hvdXdhbmxl_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]
 *  有向图
 *  带权图  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2hvdXdhbmxl_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

## 2 图的表示方式 ##

图的表示方式有两种：二维数组表示（领接矩阵）、链表表示（领接表）。

### 2.1 领接矩阵 ###

领接矩阵是表示图形中顶点之间相领关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是row和col表示的 1…n个点。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2hvdXdhbmxl_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

### 2.2 领接表 ###

*  领接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在，会造成空间的一定损失；
 *  领接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，领接表由数组+链表组成。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2hvdXdhbmxl_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

## 3. 图的遍历方式 ##

所谓图的遍历，即是对结点的访问。一般有两种遍历方式：

*  深度优先遍历
 *  广度优先遍历

### 3.1 深度优先遍历基本思想 ###

*  深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点，可以这样理解：每次访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点；
 *  我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问；
 *  深度优先搜索是一个递归的过程；

### 3.2 深度优先遍历算法步骤 ###

*  访问初始结点v，并标记结点v为已访问；
 *  查找结点v的第一个邻接结点w；
 *  若w存在，则继续执行，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续；
 *  若w未被访问过，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤1,2,3）；
 *  查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3；  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2hvdXdhbmxl_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]

### 3.3 广度优先遍历基本思想 ###

*  类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点；

### 3.4 广度优先遍历算法步骤 ###

*  访问初始节点v并标记结点v为已访问；
 *  结点v入队列；
 *  当队列非空时，继续执行，否则算法结束；
 *  出队列，取得队头结点u；
 *  查找结点u的第一个邻接结点w；
 *  若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环以下三个步骤：
    
     *  若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问；
     *  结点w入队列；
     *  查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6；

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2hvdXdhbmxl_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]  
**完整代码**

package com.lele.graph;
    
    import java.util.ArrayList;
    import java.util.Arrays;
    import java.util.LinkedList;
    
    /**
     * author: hwl
     * date: 2020/12/5 18:52
     * version: 1.0.0
     * modified by:
     * description: 图
     */
    public class Graph {
        
    
        private ArrayList<String> vertexList; // 存储顶点集合
        private int[][] edges; // 存储图对应的领接矩阵
        private int numOfEdges; // 表示边的数目
        // 定义给数组boolean[],记录某个节点是否被访问
        private boolean[] isVisited;
    
        public static void main(String[] args) {
        
            // 测试图是否创建ok
            int n = 8;// 结点的个数
    //        String Vertexs[] = {"A","B","C","D","E"};
            String Vertexs[] = {
        "1","2","3","4","5","6","7","8"};
            // 创建图对象
            Graph graph = new Graph(n);
            // 循环的添加顶点
            for (String vertex : Vertexs) {
        
                graph.insertVertex(vertex);
            }
    
            // 添加边
            // A-B A-C  B-C B-D B-E
    //        graph.insertEdge(0,1,1);
    //        graph.insertEdge(0,2,1);
    //        graph.insertEdge(1,2,1);
    //        graph.insertEdge(1,3,1);
    //        graph.insertEdge(1,4,1);
    
    
            graph.insertEdge(0,1,1);
            graph.insertEdge(0,2,1);
            graph.insertEdge(1,3,1);
            graph.insertEdge(1,4,1);
            graph.insertEdge(3,7,1);
            graph.insertEdge(4,7,1);
            graph.insertEdge(2,5,1);
            graph.insertEdge(2,6,1);
            graph.insertEdge(5,6,1);
    
            // 显示领接矩阵
            graph.showGraph();
    
            // 测试dfs
            System.out.println("深度遍历");
            graph.dfs();
            System.out.println();
            // 测试广度优先
            System.out.println("广度优先！");
            graph.bfs();
        }
    
        // 构造器
        public Graph(int n) {
        
            // 初始化矩阵和vertexList
            edges = new int[n][n];
            vertexList = new ArrayList<String>(n);
            numOfEdges = 0;
        }
    
        /**
         * 得到第一个邻接结点的下标 w
         * @param index
         * @return  如果存在对应的下标，否则返回-1
         */
        public int getFirstNeighbor(int index) {
        
            for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
        
                if (edges[index][j] > 0) {
        
                    return j;
                }
            }
            return -1;
        }
    
        /**
         * 根据前一个邻接结点的下标来获取下一个邻接结点
         * @param v1
         * @param v2
         * @return
         */
        public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
        
            for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
        
                if (edges[v1][j] > 0) {
        
                    return j;
                }
            }
            return -1;
        }
    
        /**
         * 深度优先遍历算法
         * i 第一次就是0
         */
        public void dfs(boolean[] isVisited, int i) {
        
            // 首先我们访问该结点，输出
            System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
            // 将该结点设置为已经访问
            isVisited[i] = true;
            // 查找结点i的第一个邻接结点w
            int w = getFirstNeighbor(i);
            while(w != -1) {
        //说明有
                if (!isVisited[w]) {
        
                    dfs(isVisited, w);
                }
                // 如果w结点已经被访问过
                w = getNextNeighbor(i, w);
            }
        }
    
        /**
         * 对dfs进行一个重载，遍历我们所有的结点，并进行dfs
         */
        public void dfs() {
        
            isVisited = new boolean[vertexList.size()];
            // 遍历所有的结点，进行dfs[回溯]
            for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
        
                if (!isVisited[i]) {
        
                    dfs(isVisited, i);
                }
            }
        }
    
        /**
         * 对一个结点进行广度优先遍历的方法
         * @param isVisited
         * @param i
         */
        private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
        
            int u; // 表示队列的头结点对应的下标
            int w; // 邻接结点
            // 队列，记录结点访问的顺序
            LinkedList queue = new LinkedList();
            // 访问结点，输出结点信息
            System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
            // 标记为已访问
            isVisited[i] = true;
            // 将结点加入队列
            queue.addLast(i);
    
            while(!queue.isEmpty()) {
        
                // 取出队列的头结点下标
                u = (Integer)queue.removeFirst();
                // 获得第一个邻接结点的下标 w
                w = getFirstNeighbor(u);
                while(w != -1) {
        // 找到
                    // 是否访问过
                    if (!isVisited[w]) {
        
                        System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
                        // 标记已经访问
                        isVisited[w] = true;
                        // 入队
                        queue.addLast(w);
                    }
                    // 以u 为前驱点，找w后面的下一个邻接结点
                    w = getNextNeighbor(u, w);// 体现出 广度优先
                }
            }
        }
    
        /**
         * 遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
         */
        public void bfs() {
        
            isVisited = new boolean[vertexList.size()];
            for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
        
                if (!isVisited[i]) {
        
                    bfs(isVisited, i);
                }
            }
        }
    
        /** 图中 常用的方法 **/
        /**
         * 获取结点的个数
         * @return
         */
        public int getNumOfVertex() {
        
            return vertexList.size();
        }
    
        /**
         * 显示图对应的矩阵
         */
        public void showGraph() {
        
            for (int[] link : edges) {
        
                System.out.println(Arrays.toString(link));
            }
        }
    
        /**
         * 获得边的数目
         * @return
         */
        public int getNumOfEdges() {
        
            return numOfEdges;
        }
    
        /**
         * 返回结点i（下标）对应的数据 0->"A"  1-> "B"  2->"C"
         * @param i
         * @return
         */
        public String getValueByIndex(int i) {
        
            return vertexList.get(i);
        }
    
        /**
         * 返回v1和v2的权值
         * @param v1
         * @param v2
         * @return
         */
        public int getWeight(int v1, int v2) {
        
            return edges[v1][v2];
        }
    
        /**
         * 插入结点
         * @param vertex
         */
        public void insertVertex(String vertex) {
        
            vertexList.add(vertex);
        }
    
        /**
         * 添加边
         * @param v1 表示点的下标 即第几个顶点 "A"-"B", "A"->0  "B"->1
         * @param v2 第二个顶点的下标
         * @param weight 表示
         */
        public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
        
            edges[v1][v2] = weight;
            edges[v2][v1] = weight;
            numOfEdges++;
        }
    }

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2hvdXdhbmxl_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20221120/fc5db4631b1d45d791588f670ff6e7fd.png
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[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2hvdXdhbmxl_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: /images/20221120/f059f495310849fbb7c340dbe2e2daae.png
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