二叉搜索树知识点总结

ゝ一纸荒年。 2022-12-31 02:20 175阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  一、 二叉搜索树概念
 *  二、二叉搜索树操作
 *   *  2.1 查找
     *  2.2 插入
     *  2.3 删除
     *  2.4 验证
 *  三、 二叉搜索树的应用
 *  四、二叉搜索树的性能分析

# 一、 二叉搜索树概念 #

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

1.  若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
2.  若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
3.  它的左右子树也分别为二叉搜索树

例如：

int a [] = {
        5,3,4,1,7,8,2,6,0,9};

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9fbGVpbGVp_size_16_color_FFFFFF_t_70]

# 二、二叉搜索树操作 #

## 2.1 查找 ##

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9fbGVpbGVp_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

Node* Find(const T& data)
    {
        
    	Node* cur = root;
    	while(cur)
    	{
        
    		if (data == cur->data)
    			return cur;//查找key==根节点key
    		else if (data < cur->data)
    			cur = cur->left;//查找key<根节点key
    		else
    			cur = cur->right;//查找key>根节点key
    	}
    
    	return nullptr;
    }

## 2.2 插入 ##

**树为空，则直接插入**  
![在这里插入图片描述][20201227195943819.png]  
**树不空，按二叉搜索树性质查找插入位置，插入新节点**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9fbGVpbGVp_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

bool Insert(const T& data)
    {
        
    	if (nullptr == root)
    	{
        
    		root = new Node(data);
    		return true;
    	}
    
    	// BSTree非空
    	// 1. 找待插入节点在树中的位置,并且需要记录其parent的位置
    
    	Node* cur = root;
    	Node* parent = nullptr;
    	while (cur)
    	{
        
    		parent = cur;
    		if (data == cur->data)
    			return false;
    	    else if (data < cur->data)
    			cur = cur->left;
    		else
    			cur = cur->right;
    	}
    
    	//2.插入新节点
    	cur = new Node(data);
    	if (data < parent->data)
    		parent->left = cur;
    	else
    		parent->right = cur;
    
    	return true;
    }

## 2.3 删除 ##

首先查找元素是否在二叉搜索树中，如果不存在，则返回, 否则要删除的结点可能分下面四种情况：

1.  要删除的结点无孩子结点
2.  要删除的结点只有左孩子结点
3.  要删除的结点只有右孩子结点
4.  要删除的结点有左、右孩子结点

1和2、3可以合并起来，所以只有三种情况：

1.  结点只有左孩子，可以直接删除，让其双亲结点指向被删除结点的左孩子结点
2.  结点只有右孩子，可以直接删除，让其双亲结点指向被删除结点的右孩子结点
3.  左右孩子均存在，删除比较麻烦。方法是找代替结点：左子树中，找左子树中最大（最右侧）结点；右子树中，找右子树最小（最左侧）结点，**如下图所示**：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9fbGVpbGVp_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

bool Erase(const T& data)
    {
        
    	if (nullptr == root)
    	{
        
    		return false;
    	}
    
    	// BSTree非空
    	// 1. 找待删除节点在BSTree中的位置，并保存其双亲
    	Node* parent = nullptr;
    	Node* cur = root;
    	while (cur)
    	{
        
    		if (data == cur->data)
    			break;
    		else if (data < cur->data)
    		{
        
    			parent = cur;
    			cur = cur->left;
    		}
    		else
    		{
        
    			parent = cur;
    			cur = cur->right;
    		}
    	}
    
    	// 值为data的节点不存在
    	if (nullptr == cur)
    	{
        
    		return false;
    	}
    
    	// 2. 删除节点
    	// cur如果只有右孩子 或者 叶子节点
    	if (nullptr == cur->left)
    	{
        
    		if (nullptr == parent)
    		{
        
    			root = cur->right;
    		}
    		else
    		{
        
    			if (cur == parent->left)
    				parent->left = cur->right;
    			else
    				parent->right = cur->right;
    		}
    	}
    	else if (nullptr == cur->right)
    	{
        
    		//cur只有左孩子
    		if (nullptr == parent)
    		{
        
    			root = cur->left;
    		}
    		else
    		{
        
    			if (cur == parent->left)
    				parent->left = cur->left;
    			else
    				parent->right = cur->left;
    		}
    	}
    	else
    	{
        
    		// cur左右孩子均存在
    		// 找替代节点--->假设：在右子树中替代节点
    		Node* del = cur->right;
    		parent = cur;
    		while (del->left)
    		{
        
    			parent = del;
    			del = del->left;
    		}
    		// 将替代节点中的值域交给之前要删除的cur
    		cur->data = del->data;
    
    		//相当于变成要删除del
    		if (del == parent->left)
    			parent->left = del->right;
    		else
    			parent->right = del->right;
    
    		cur = del;
    	}
    
    	delete cur;
    	return true;
    }

## 2.4 验证 ##

二叉搜索树的特点符合中序遍历，可以用中序遍历来验证。

void _InOrder(Node* pRoot)
    {
        
    	if (pRoot)
    	{
        
    		_InOrder(pRoot->left);
    		cout << pRoot->data << " ";
    		_InOrder(pRoot->right);
    	}
    }

# 三、 二叉搜索树的应用 #

1.  K模型：K模型即只有key作为关键码，结构中只需要存储Key即可，关键码即为需要搜索到的值。  
    比如：给一个单词word，判断该单词是否拼写正确，具体方式如下：  
    以单词集合中的每个单词作为key，构建一棵二叉搜索树在二叉搜索树中检索该单词是否存在，存在则拼写正确，不存在则拼写错误。
2.  KV模型：每一个关键码key，都有与之对应的值Value，即<Key, Value>的键值对。该种方式在现实生活中非常常见：比如英汉词典就是英文与中文的对应关系，通过英文可以快速找到与其对应的中文，英文单词与其对应的中文<word, chinese>就构成一种键值对；再比如统计单词次数，统计成功后，给定单词就可快速找到其出现的次数，单词与其出现次数就是<word, count>就构成一种键值对。

# 四、二叉搜索树的性能分析 #

插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9fbGVpbGVp_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]  
因此，二叉搜索树查找效率按最差的情况算：O(N）

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9fbGVpbGVp_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20221120/3a5c1c0e0c0e491bb5655cc40546faf9.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9fbGVpbGVp_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20221120/adc3e80b590d4fe79e0b95523f47a31c.png
[20201227195943819.png]: /images/20221120/6cb8d2ba9dfc4d6792b797783b6485da.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9fbGVpbGVp_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: /images/20221120/e813a55a2b034c31b435f56983e5e681.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9fbGVpbGVp_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]: /images/20221120/996738665def4edc882391713f1fcc77.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3poYW9fbGVpbGVp_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]: /images/20221120/f4d0b7e5ec0e4471835628a85f1fc00f.png