LeetCode - Hard - 4. Median of Two Sorted Arrays

r囧r小猫 2022-12-31 04:23 108阅读 0赞

Topic

  • Array
  • Binary Search
  • Divide and Conquer

Description

https://leetcode.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/

Given two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively, return the median of the two sorted arrays.

Follow up: The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

Example 1:

  1. Input: nums1 = [1,3], nums2 = [2]
  2. Output: 2.00000
  3. Explanation: merged array = [1,2,3] and median is 2.

Example 2:

  1. Input: nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
  2. Output: 2.50000
  3. Explanation: merged array = [1,2,3,4] and median is (2 + 3) / 2 = 2.5.

Example 3:

  1. Input: nums1 = [0,0], nums2 = [0,0]
  2. Output: 0.00000

Example 4:

  1. Input: nums1 = [], nums2 = [1]
  2. Output: 1.00000

Example 5:

  1. Input: nums1 = [2], nums2 = []
  2. Output: 2.00000

Constraints:

  • nums1.length == m
  • nums2.length == n
  • 0 <= m <= 1000
  • 0 <= n <= 1000
  • 1 <= m + n <= 2000
  • -10⁶ <= nums1[i], nums2[i] <= 10⁶

Analysis

概述

解答来源：知乎 - LeetCode#4. 寻找两个有序数组的中位数

要解决这个问题，我们需要先理解“中位数有什么用？”。在统计学中，中位数用于将集合划分为两个相等长度的子集，一个子集总是大于另一个子集。如果我们理解了中位数对集合的划分，我们就非常接近答案了。

原理

首先，在一个随机的位置 aCut 将集合 A 划分为两部分。

  1. left_A             |           right_A
  2. _0 A[0] _1 A[1] ... A[aCut-1] _aCut A[aCut] _aCut+1 A[aCut+1] ... A[aLength-1] _aLength

由于A有aLength个元素，所以就有aLength+1 种分法（i=0~aLength）（在元素之间划分，包括头尾位置，也就是上面带下划线的位置）。由此可知： len(left_A) = aCut, len(right_A) = aLength - aCut。注意：当aCut = 0时，left_A为空，而当aCut = aLength时，right_A为空。

类似的，在位置 bCut 将集合 B 划分为两部分。：

  1. left_B              |           right_B
  2. _0 B[0] _1 B[1] ... B[bCut-1] _bCut B[bCut] _bCut+1 B[bCut+1] ... B[bLength-1] _bLength

将 left_A 和 left_B 放入同一个集合，将 right_A 和 right_B 放入另外一个集合。 分别称他们为 left_part 和 right_part ：

  1. left_part          |        right_part
  2. A[0], A[1], ..., A[aCut-1]  |  A[aCut], A[aCut+1], ..., A[aLength-1]
  3. B[0], B[1], ..., B[bCut-1]  |  B[bCut], B[bCut+1], ..., B[bLength-1]

如果我们能达成这两个条件：

  1. len(left_part) == len(right_part)
  2. max(left_part) <= min(right_part)

我们就能将 {A, B} 中所有元素分成两个长度相等的部分，并且其中一个部分总是大于另外一个部分。那么中位数就是 median = (max(left_part) + min(right_part))/2。

为了达成这两个条件，我们只需要确保：

  1. aCut + bCut == aLength - aCut + bLength - bCut (or: aLength - aCut + bLength - bCut + 1) 即让左半边元素数量等于与右半边。对于 aLength <= bLength 的情况，我们只需要让 : aCut = 0 ~ aLength, bCut = (aLength + bLength + 1) / 2 - aCut。（如果aLength > bLength为真怎么办？就把两个数组对换）
  2. B[bCut-1] <= A[aCut] 并且 A[aCut-1] <= B[bCut] 即让左边最大元素小于右边最小元素。

PS.

  1. 简单起见，我们先假设 A[aCut-1], B[bCut-1], A[aCut], B[bCut] 总是可用的，即使 aCut=0，aCut=aLength，bCut=0，bCut=bLength 。 后面会叙述怎么处理这些边缘情况。
  2. 为何 aLength <= bLength？ 因为我必须确保 bCut 是非负的，因为 0 <= aCut <= aLength 并且 bCut = (aLength + bLength + 1) / 2 - aCut。 如果 aLength > bLength ， 则 bCut 可能是负值， 这将导致错误的结果。（如果真的aLength > bLength怎么办？就把两个数组对换）。

因此，我们需要做的就是：

在 [0, aLength] 中找到一个使下面不等式成立的 aCut :

B[bCut-1] <= A[aCut] and A[aCut-1] <= B[bCut], ( where bCut = (aLength + bLength + 1) / 2 - aCut )

伪代码

我们可以按照下面描述的步骤进行二分查找：

  1. 1. 设 aCutMin = 0, aCutMax = aLength, 然后在这个区间 [aCutMin, aCutMax] 中查找 aCut
  3. 2. 设 aCut = (aCutMin + aCutMax) / 2, bCut = (aLength + bLength + 1) / 2 - aCut
  5. 3. 此时，我们满足了 len(left_part)==len(right_part)， 我们会遇到三种情况：
  7.     a. B[bCut-1] <= A[aCut] and A[aCut-1] <= B[bCut]
  8.         - 说明我们找到了我们需要的aCut，停止搜索。
  10.     b. B[bCut-1] > A[aCut]
  11.         - 意味着 A[aCut] 太小， 那么我们必须调整 aCut 以使 B[bCut-1] <= A[aCut] 仍然成立。
  13.         - 我们可以增大aCut吗？
  14.             - Yes. 因为 aCut 增大时， bCut 将减小。（bCut↓ = (aLength + bLength + 1) / 2 - aCut↑）
  15.             - 所以 B[bCut-1] 跟着减小而 A[aCut] 会增大。B[bCut-1] <= A[aCut]就可能成立。
  17.         - 我们可以减小 aCut 吗？
  18.             - No!  因为 aCut 减小时， bCut 将增大。（bCut↑ = (aLength + bLength + 1) / 2 - aCut↓）
  19.             - 所以 B[bCut-1] 增大而 A[aCut] 减小。B[bCut-1] <= A[aCut] 永远不可能成立。
  21.         - 所以我们必须增加 aCut。也就是将搜索范围调整为[aCut+1, aCutMax]。 所以，设 aCutMin = aCut+1, 然后回到步骤 2。
  23.     c. A[aCut-1] > B[bCut]
  24.         - 意味着 A[aCut-1] 太大。我们必须减小 aCut 以使 `A[aCut-1]<=B[bCut]`.
  26.         - 就是说我们要调整搜索范围为 [aCutMin, aCut-1]。
  28.         - 所以， 设 aCutMax = aCut-1, 然后回到步骤 2。

找到符合条件的 aCut 之后，我们想要的中位数就是：

  • 如果aLength + bLength是奇数，中位数则是max(A[aCut-1], B[bCut-1])。
  • 如果aLength + bLength是偶数，中位数则是(max(A[aCut-1], B[bCut-1]) + min(A[aCut], B[bCut]))/2。

边界问题

现在让我们考虑边缘值aCut=0，aCut=aLength，bCut=0，bCut=bLength，其中A[aCut-1]，B[bCut-1]，A[aCut]，B[bCut]可能不存在。 实际上这种情况比你想象的要容易。

我们需要做的是确保 max(left_part) <= min(right_part)。 所以， 如果 aCut 和 bCut 不是边缘值(意味着A[aCut-1]，B[bCut-1]，A[aCut]，B[bCut] 都存在)， 那么我们必须同时检查 B[bCut-1] <= A[aCut] and A[aCut-1] <= B[bCut]。

但是如果 A[aCut-1]，B[bCut-1]，A[aCut]，B[bCut] 中某些值不存在， 那么我们可以只检查一个条件（甚至都不检查）。例如， 如果 aCut=0， 那么 A[aCut-1] 不存在， 也就意味着我们不用检查 A[aCut-1] <= B[j]。 所以，我们这样做：

  1. 在 [0, aLength] 中找到一个使下面不等式成立的 aCut :
  2.     (bCut == 0 or aCut == aLength or B[bCut-1] <= A[aCut]) and
  3.     (aCut == 0 or bCut == n or A[aCut-1] <= B[bCut])
  4.     where bCut = (aLength + bLength + 1) / 2 - aCut

在搜索循环中，我们只会遇到三种情况：

  1. 1. (bCut == 0 or aCut == aLength or B[bCut-1] <= A[aCut]) and
  2.     (aCut == 0 or bCut == n or A[aCut-1] <= B[bCut])
  3.     说明 i 的值满足要求，停止循环
  5. 2. bCut > 0 and aCut < aLength and B[bCut - 1] > A[aCut]
  6.     说明 aCut 的值太小， 增加它.
  8. 3. aCut > 0 and bCut < bLength and A[aCut - 1] > B[bCut]
  9.     说明 aCut 的值过大， 减小它。

其实 aCut < aLength ==> bCut > 0 和 aCut > 0 ==> bCut < bLength . 因为：

  1. aLength <= bLength, aCut < aLength
  2. ==> bCut = (aLength + bLength + 1) / 2 - aCut
  3. > (aLength + bLength + 1) / 2 - aLength
  4. >= (2 * aLength + 1) / 2 - aLength
  5. >= 0
  7. aLength <= bLength, aCut > 0
  8. ==> bCut = (aLength + bLength + 1) / 2 - aCut
  9. < (aLength + bLength + 1) / 2
  10. <= (2 * bLength + 1) / 2
  11. <= bLength

所以对于上述情况2. 和 3.， 我们不需要检查bCut > 0 和 bCut < n是否满足。

Submission

  1. public class MedianOfTwoSortedArrays { 
  2.     public double findMedianSortedArrays(int[] A, int[] B) { 
  3.         if (A.length > B.length) { 
  4.             int[] temp = A;
  5.             A = B;
  6.             B = temp;
  7.         }
  9.         if (B.length == 0)
  10.             throw new IllegalArgumentException();
  12.         int aLength = A.length, bLength = B.length;
  13.         int aCutMin = 0, aCutMax = aLength, //
  14.                 halfLen = (aLength + bLength + 1) / 2;
  16.         while (aCutMin <= aCutMax) { 
  17.             int aCut = (aCutMin + aCutMax) / 2;
  18.             int bCut = halfLen - aCut;
  20.             if (aCut < aLength && B[bCut - 1] > A[aCut]) { 
  21.                 // aCut is too small, must increase it
  22.                 aCutMin = aCut + 1;
  23.             } else if (aCut > 0 && A[aCut - 1] > B[bCut]) { 
  24.                 // aCut is too big, must decrease it
  25.                 aCutMax = aCut - 1;
  26.             } else { 
  27.                 // aCut is perfect
  28.                 int maxOfLeft = 0, minOfRight = 0;
  30.                 if (aCut == 0) { 
  31.                     maxOfLeft = B[bCut - 1];
  32.                 } else if (bCut == 0) { 
  33.                     maxOfLeft = A[aCut - 1];
  34.                 } else { 
  35.                     maxOfLeft = Math.max(A[aCut - 1], B[bCut - 1]);
  36.                 }
  38.                 if ((aLength + bLength) % 2 == 1)
  39.                     return maxOfLeft;
  41.                 if (aCut == aLength) { 
  42.                     minOfRight = B[bCut];
  43.                 } else if (bCut == bLength) { 
  44.                     minOfRight = A[aCut];
  45.                 } else { 
  46.                     minOfRight = Math.min(A[aCut], B[bCut]);
  47.                 }
  49.                 return (maxOfLeft + minOfRight) / 2.0;
  50.             }
  51.         }
  53.         return -1;// this never return
  54.     }
  55. }

Test

  1. import static org.junit.Assert.*;
  2. import org.junit.Test;
  4. public class MedianOfTwoSortedArraysTest { 
  6.     @Test
  7.     public void test() { 
  8.         MedianOfTwoSortedArrays obj = new MedianOfTwoSortedArrays();
  10.         int[][] array1 = { { 1, 3}, { 2}},
  11.                 array2 = { { 1, 2}, { 3, 4}},
  12.                 array3 = { { 0, 0}, { 0, 0}},
  13.                 array4 = { { }, { 1}},
  14.                 array5 = { { 2},{ }};
  16.         double delta = 10e-5;
  18.         assertEquals(2.00000, obj.findMedianSortedArrays(array1[0], array1[1]), delta);
  19.         assertEquals(2.50000, obj.findMedianSortedArrays(array2[0], array2[1]), delta);
  20.         assertEquals(0.00000, obj.findMedianSortedArrays(array3[0], array3[1]), delta);
  21.         assertEquals(1.00000, obj.findMedianSortedArrays(array4[0], array4[1]), delta);
  22.         assertEquals(2.00000, obj.findMedianSortedArrays(array5[0], array5[1]), delta);
  23.     }
  24. }

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