matlab 特征波_反馈控制系统的性能和matlab指令计算

àì夳堔傛蜴生んèń 2023-01-01 08:57 158阅读 0赞

**零阶段\*收获**

（1）理解控制系统中常用的重要测试信号，掌握二阶系统对这些测试信号的瞬态响应特性；

（2）掌握二阶系统的极点位置与瞬态响应特性之间的直接关系；

（3）熟悉二阶系统的几点位置与系统性能指标，如超调量、调节时间、上升时间、峰值时间等之间的关系式；

（4）理解零点和第三个极点对二阶系统响应的影响；

（5）理解基于综合性能指标的最优控制概念。

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**一. 基本概念**

1.  **瞬态响应和稳态响应**

反馈控制系统的一个显著优点是能够方便地调节系统的瞬态和稳态性能。由于控制系统本质上是动态的，因此通常需要从瞬态响应和稳态响应两个方面来衡量其性能。

**瞬态响应**：指系统响应中随着时间的推移会消失的部分；

**稳态响应**：指在输入信号激励之后，系统响应中将长期存在的部分。

**2. 系统的测试输入信号**

首先，必须确定系统是否稳定（稳定性的分析在后续）；

假定系统是稳定的，那么就可以用多个性能指标来衡量系统对特定输入信号的响应。然而，系统的实际输入信号通常是未知的，因此需要选用**标准测试输入信号**。利用标准测试输入信号，还可以比较不同设计方案的优劣，而且幸运的是，许多控制系统的实际输入信号与标准测试信号非常类似。

常用的标准测试信号有单位脉冲函数、阶跃信号、斜坡信号和抛物线信号等。斜坡信号是节约信号的积分，而抛物线信号时斜坡信号的积分。单位脉冲函数

![Image 1][] 定义为：

![Image 1][]

**3. 超调量P.O.**

超调量的定义为

![Image 1][]

其中

![Image 1][] 为时间响应的峰值，

![Image 1][] 为时间响应的终值。通常情况下，

![Image 1][]会与输入信号有相等的幅值（但也有很多系统，其终值与预期输入的幅值存在很大的差异）。即表现为单位阶跃响应的终值等于参考输入的幅值，即

![Image 1][]=1.

**4. 综合性能指标**

综合性能指标是对系统性能的定量描述，应该能够综合反映各项重要的具体性能指标。

**最优控制系统**是通过调整系统参数，使综合性能指标达到极值（通常为极小值）的系统。通常选用的有误差平方积分、误差绝对值积分等等。

**5. 线性系统的简化**

利用低阶近似模型研究具有高阶传递函数的复杂系统，是一种行之有效的处理方式。

**6. 卷积公式**

![Image 1][]

则利用卷积公式，可以知道，如果是使用单位脉冲函数作为输入，则得到的响应就是系统本身的特征。

**7. 调整时间**

调整时间

![Image 1][] 指的是系统响应达到并维持在稳态值的某个误差百分比

![Image 1][] 范围内所需要的时间。

![Image 1][] ，调整时间可以定义为与特征方程主导根对应的时间常数（

![Image 1][] ）的4倍。

**8. 主导极点**

10倍的关系

**9. 型数与稳态误差**

对于开环传递函数

![Image 1][] ，分母积分器的个数，称为系统的型数。

控制系统的误差常数

![Image 1][] 、

![Image 1][] 和

![Image 1][]

![Image 1][] ,位置误差常系数

![Image 1][] 斜坡误差常系数

![Image 1][] ，加速度误差常系数

稳态误差

![Image 1][]

**二. 知识回顾**

1.  **阶跃信号**

由于阶跃信号最容易产生，也最容易分析计算，所以常被选用来作为性能测试输入信号。同时，也易于分析稳态误差，例如

![Image 1][] ，则稳态误差为0.1

**2. 二阶系统的性能**

一个典型的二阶闭环反馈控制系统，其输入输出关系为

![Image 1][] ，

![Image 1][] ,代入可以得到：

![Image 1][] ，如果是单位阶跃信号时，可以得到系统的动态响应输出为

![Image 1][]

其中

![Image 1][] ,

![Image 1][] ，

![Image 1][] ,稳态响应为

![Image 1][] .

**阻尼比**

**![Image 1][] 越小，闭环特征根就越接近虚轴，而系统瞬态响应的振荡就越厉害。**

**3. 基本性能指标**

通常会根据系统的阶跃响应来定义系统的基本性能指标。首先定义上升时间

![Image 1][] 和峰值时间

![Image 1][] ，以便度量系统响应的快速性。

系统的瞬态响应性能主要体现在以下两个方面，通常是彼此冲突的，必须**折中处理**。

（1）响应的快速性，由上升时间和峰值时间表征；

（2）实际响应对预期响应的逼近程度，由超调量和调节时间表征。

上升时间的近似

![Image 1][]

峰值时间

![Image 1][]

超调量

![Image 1][]

对于给定的阻尼比

![Image 1][] ，当

![Image 1][] 增加时，系统响应变快；

当

![Image 1][]给定时，阻尼比

![Image 1][]越小，系统的响应速度越快。

**4. 零点和第三个极点对二阶系统响应的影响**

当主导极点实部绝对值仅仅是第三个根实部绝对值的1/10，甚至更小时，可以用由主导根决定的二阶系统的响应来近似三阶系统的响应。零点约靠近哪一个极点，则该极点的作用就会减弱。

**5. s平面上特征根的位置与系统的瞬态响应**

闭环反馈控制系统的瞬态响应特征可以用传递函数极点（即特征根）的位置分布来表征。如果响应是稳定的，则阶跃响应应该有界，所有特征值的实部均位于s平面的左半部分。

（1）第一象限和正实轴：第一象限为振荡地放大；正实轴为单调上升；

（2）零点：响应为恒定值，不变

（3）正虚轴部分：临界阻尼状态；

（4）第二象限和负实轴：第二象限为欠阻尼状态（振荡衰减）；负实轴为过阻尼状态（单调递减）

**6. 线性系统的简化**

方法1：直接忽略非主导极点的影响

传递函数

![Image 1][] ,忽略s=-30的影响，同时要维持系统稳态响应性能，即保持开环增益，可以化简为

![Image 1][]

方法2：近似方法

例如，考虑三阶系统

![Image 1][] 并打算用二阶模型

![Image 1][] 来近似

于是有

![Image 1][] ，

![Image 1][]

故有

![Image 1][] ，且有

![Image 1][]

求导得

![Image 1][] ，且有

![Image 1][]

利用等式

![Image 1][] ,其中

![Image 1][] ,q=0,1,2

最后可以得到

![Image 1][]

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**三. 使用matlab来分析系统性能**

使用软件来 分析系统的时域性能指标。函数**impluse**与**lism**一起运用，可以对线性系统进行仿真。通常情况下，我们无法确知系统的实际输入信号，因此经常采用的是标准测试输入信号。阶跃信号和脉冲信号。

对于二阶系统

![Image 1][] ，分析时设定自然频率

![Image 1][] =1

1.  **使用阶跃函数测试**

%    Compute step response for a second-order system   
    
    %    Duplicate Figure 5.5 (a)
    
    %
    
    t=[0:0.1:12]; num=[1];  
    
    zeta1=0.1; den1=[1 2*zeta1  1]; sys1=tf(num,den1);
    
    zeta2=0.2; den2=[1 2*zeta2  1]; sys2=tf(num,den2);
    
    zeta3=0.4; den3=[1 2*zeta3  1]; sys3=tf(num,den3);
    
    zeta4=0.7; den4=[1 2*zeta4  1]; sys4=tf(num,den4);
    
    zeta5=1.0; den5=[1 2*zeta5  1]; sys5=tf(num,den5);
    
    zeta6=2.0; den6=[1 2*zeta6  1]; sys6=tf(num,den6);
    
    %
    
    [y1,T1]=step(sys1,t); [y2,T2]=step(sys2,t);
    
    [y3,T3]=step(sys3,t); [y4,T4]=step(sys4,t);
    
    [y5,T5]=step(sys5,t); [y6,T6]=step(sys6,t);
    
    %
    
    plot(T1,y1,T2,y2,T3,y3,T4,y4,T5,y5,T6,y6)
    
    xlabel('omega_n t'), ylabel('y(t)')
    
    title('zeta = 0.1, 0.2, 0.4, 0.7, 1.0, 2.0'), grid

![985fabd0ad6d7547bd359879d84eccdf.png][]

阻尼比

![Image 1][] 越小时，系统的超调量越大，当

![Image 1][]>1时，则不会出现超调。

**2. 脉冲响应**

%    Compute impulse response for a second-order system  
    
    %    Duplicate Figure 5.6
    
    %
    
    
    
    t=[0:0.1:10]; num=[1];  
    
    zeta1=0.1;  den1=[1 2*zeta1 1]; sys1=tf(num,den1);
    
    zeta2=0.25; den2=[1 2*zeta2 1]; sys2=tf(num,den2);
    
    zeta3=0.5;  den3=[1 2*zeta3 1]; sys3=tf(num,den3);
    
    zeta4=1.0;  den4=[1 2*zeta4 1]; sys4=tf(num,den4);
    
    %
    
    [y1,T1]=impulse(sys1,t); 
    
    [y2,T2]=impulse(sys2,t);
    
    [y3,T3]=impulse(sys3,t); 
    
    [y4,T4]=impulse(sys4,t);
    
    %
    
    plot(t,y1,t,y2,t,y3,t,y4)
    
    xlabel('omega_n t'), ylabel('y(t)/omega_n')
    
    title('zeta = 0.1, 0.25, 0.5,1.0'), grid

![8ef34a7add1f0d6a98ce0b0eedf7b0cc.png][]

**3.求解任意输入下的动态响应**

曾使用函数lsim来求解状态空间模型的时间响应，在此使用该函数来求解传递函数的时间响应。使用锯齿波信号，求解其响应。

%    Compute the response of the Mobile Robot Control
    
    %    System to a triangular wave input.
    
    %
    
    numg=[10 20]; deng=[1 10 0]; sysg=tf(numg,deng);
    
    sys=feedback(sysg,[1]);
    
    t=[0:0.1:8.2]';
    
    v1=[0:0.1:2]';v2=[2:-0.1:-2]';v3=[-2:0.1:0]';
    
    u=[v1;v2;v3];
    
    [y,T]=lsim(sys,u,t);
    
    plot(T,y,t,u,'--'), 
    
    xlabel('Time (sec)'), ylabel('theta (rad)'), grid

![a4fe533f916c51e032a7803f73aaa1f6.png][]

由此可以看到锯齿波的输入和在该信号下的输出。

**4. 模型降阶之后的系统响应**

原传递函数

![Image 1][]

降阶之后的传递函数

![Image 1][]

%    Compare step response for second-order approximation
    
    %
    
    num1=[6]; den1=[1 6 11 6]; sys1=tf(num1,den1);
    
    num2=[1.6]; den2=[1 2.584 1.6]; sys2=tf(num2,den2);
    
    t=[0:0.1:8];
    
    [y1,T1]=step(sys1,t);
    
    [y2,T2]=step(sys2,t);
    
    plot(T1,y1,T2,y2,'--'), grid
    
    xlabel('Time (sec)'), ylabel('Step Response')

![c5e7538808f20924c32c4dc356417a8b.png][]

5. 循序渐进设计实例

考虑电机和负载的二阶控制系统的系统模型

![Image 1][]

当

![Image 1][] 时的单位阶跃响应

%    Ka=30 is currently selected.  You can select Ka=60 and re-run.
    
    %
    
    Ka=30;
    
    t=[0:0.01:1];
    
    nc=[Ka*5];dc=[1]; sysc=tf(nc,dc);
    
    ng=[1];dg=[1 20 0]; sysg=tf(ng,dg);
    
    sys1=series(sysc,sysg);
    
    sys=feedback(sys1,[1]);
    
    [y,T]=step(sys,t);
    
    plot(T,y), grid
    
    xlabel('Time (sec)')
    
    ylabel('y(t)')

![423838f87a08d12a01b4fea4bd8dde2c.png][]

Ka=30

![0ee8fabf34e21b2df3b22db3e5b4d8d9.png][]

Ka=60

**系统对单位干扰**

**![Image 1][] 的响应**

%    Ka=30 is currently selected.  You can select Ka=60 and re-run.
    
    %
    
    Ka=30;
    
    t=[0:0.01:1];
    
    nc=[Ka*5];dc=[1]; sysc=tf(nc,dc);
    
    ng=[1];dg=[1 20 0]; sysg=tf(ng,dg);
    
    sys=feedback(sysg,sysc);
    
    sys=-sys;
    
    step(sys,t);
    
    xlabel('Time (sec)'), ylabel('y(t)')

![07aa7d7e883c60c91a265aba37bf9745.png][]

Ka=30

![4d6c4f40c43fab1b47e980f7901a1294.png][]

Ka=60

当Ka从30增大到60时，干扰作用的影响已经降低了一半。与此同时，当Ka增大时，系统对单位阶跃输入信号的超调量也随之增大。因此，为了使系统性能满足设计要求，必须折中选择合适的增益Ka，此处最后选择Ka=40.

[Image 1]: 
[985fabd0ad6d7547bd359879d84eccdf.png]: /images/20221120/3de77c7927174391afd349fe7c1f1d4d.png
[8ef34a7add1f0d6a98ce0b0eedf7b0cc.png]: /images/20221120/96349438a48c42e7ba72896755b7514f.png
[a4fe533f916c51e032a7803f73aaa1f6.png]: /images/20221120/83196a3f6ef348ed95ac83c5fa3da1c5.png
[c5e7538808f20924c32c4dc356417a8b.png]: /images/20221120/c6aaa2463c54467f9566cbe290aa2c98.png
[423838f87a08d12a01b4fea4bd8dde2c.png]: /images/20221120/fb5906c0b49445eb8e5e1860ffeed1d0.png
[0ee8fabf34e21b2df3b22db3e5b4d8d9.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/0ee8fabf34e21b2df3b22db3e5b4d8d9.png
[07aa7d7e883c60c91a265aba37bf9745.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/07aa7d7e883c60c91a265aba37bf9745.png
[4d6c4f40c43fab1b47e980f7901a1294.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/4d6c4f40c43fab1b47e980f7901a1294.png