参数估计(二)

本是古典何须时尚 2023-01-02 06:25 200阅读 0赞

1.距估计步骤  
已知

> α 1 = E ( X ) α 2 = D ( X ) + \[ E ( X ) \] 2 \{ \\alpha \}\_\{ 1 \}=E(X)\\\\ \{ \\alpha \}\_\{ 2 \}=D(X)+\{ \[E(X)\] \}^\{ 2 \}α1=E(X)α2=D(X)+\[E(X)\]2  
> A 1 = X ‾ A 2 = 1 n ∑ i = 1 n X i 2 \{ A \}\_\{ 1 \}=\\overline\{X\} \\\\ \{ A \}\_\{ 2 \}=\\frac \{ 1 \}\{ n \} \\sum \_\{ i=1 \}^\{ n \}\{ \{ X \}\_\{ i \}^\{ 2 \} \}A1=XA2=n1∑i=1nXi2

例子:求总体均值μ = E ( X ) \\mu=E(X)μ=E(X)与方差σ 2 = D ( X ) \{\\sigma\}^\{2\}=D(X)σ2=D(X)的矩估计量

> (1)列出总体的前m阶原点矩  
> α 1 = E ( X ) = μ \{\\alpha\}\_\{1\}=E(X)=\\muα1=E(X)=μ  
> α 2 = E ( X 2 ) = D ( X ) + \[ E ( X ) \] 2 = σ 2 + μ 2 \{\\alpha\}\_\{2\}=E(\{X\}^\{2\})=D(X)+\{ \[E(X)\] \}^\{ 2 \}=\{ \\sigma \}^\{ 2 \} + \{ \\mu \}^\{ 2 \}α2=E(X2)=D(X)+\[E(X)\]2=σ2+μ2  
> (2)把需要求的参数用总体距表示出来:  
> μ = α 1 \\mu=\{\\alpha\}\_\{1\}μ=α1  
> σ 2 = α 2 − α 1 2 \{ \\sigma \}^\{ 2 \}=\{\\alpha\}\_\{2\}-\{ \{\\alpha\}\_\{1\}\}^\{2\}σ2=α2−α12  
> (3)用样本的各阶原点矩代替总体原点矩  
> μ ^ = A 1 = X ˉ σ ^ 2 = A 2 − A 1 2 = 1 n ∑ i = 1 n X i 2 − X ˉ 2 = S ∗ 2 \\hat \{ \\mu \} =\{ A \}\_\{ 1 \}=\\bar \{ X \} \\\\ \{ \\hat \{ \\sigma \} \}^\{ 2 \}=\{ A \}\_\{ 2 \}-\{ \{ A \}\_\{ 1 \} \}^\{ 2 \}=\\frac \{ 1 \}\{ n \} \\sum \_\{ i=1 \}^\{ n \}\{ \{ X \}\_\{ i \}^\{ 2 \} \}-\{ \\bar \{ X \} \}^\{ 2 \}=\{ S \}^\{ \*2 \}μ^=A1=Xˉσ^2=A2−A12=n1∑i=1nXi2−Xˉ2=S∗2

当给出概率密度函数的时候  
总体的均值=\[x\*(概率密度函数)\]的积分

离散型的  
总体的均值=(各点值✖️各点概率)相加

2.极大似然估计步骤  
离散型  
各个实验结果对应的概率相乘即为似然函数  
连续型

> (1)写出似然函数  
> L ( θ ) = \{ ∏ i = 1 n f ( x i ; θ 1 , θ 2 , . . . , θ m ) , 连 续 总 体 ∏ i = 1 n P ( X i = x i ; θ 1 , θ 2 , . . . , θ m ) , 离 散 总 体 L(\\theta )=
> 
> \{∏ni=1f(xi;θ1,θ2,...,θm),连续总体∏ni=1P(Xi=xi;θ1,θ2,...,θm),离散总体\{∏i=1nf(xi;θ1,θ2,...,θm),连续总体∏i=1nP(Xi=xi;θ1,θ2,...,θm),离散总体
> 
> L(θ)=\{∏i=1nf(xi;θ1,θ2,...,θm),连续总体∏i=1nP(Xi=xi;θ1,θ2,...,θm),离散总体  
> (2)对似然函数取对数  
> l n L ( θ ) = \{ ∏ i = 1 n l n f ( x i ; θ 1 , θ 2 , . . . , θ m ) , 连 续 总 体 ∏ i = 1 n l n P ( X i = x i ; θ 1 , θ 2 , . . . , θ m ) , 离 散 总 体 lnL(\\theta )=
> 
> \{∏ni=1lnf(xi;θ1,θ2,...,θm),连续总体∏ni=1lnP(Xi=xi;θ1,θ2,...,θm),离散总体\{∏i=1nlnf(xi;θ1,θ2,...,θm),连续总体∏i=1nlnP(Xi=xi;θ1,θ2,...,θm),离散总体
> 
> lnL(θ)=\{∏i=1nlnf(xi;θ1,θ2,...,θm),连续总体∏i=1nlnP(Xi=xi;θ1,θ2,...,θm),离散总体  
> (3)建立似然方程,对m个θ \\thetaθ求偏导  
> ∂ l n L ( θ 1 , θ 2 , . . . , θ m ) ∂ θ j = 0 , j = 1 , . . , m \\frac \{ \\partial lnL(\{\\theta\}\_\{1\},\{\\theta\}\_\{2\},...,\{\\theta\}\_\{m\}) \}\{ \\partial \{ \\theta \}\_\{ j \} \} =0,j=1,..,m∂θj∂lnL(θ1,θ2,...,θm)=0,j=1,..,m  
> (4)解出似然方程,求出最大的θ \\thetaθ,若不可微分,用其他方法.

## 鉴定估计的标准 ##

无偏性  
样本k阶原点距是总体k阶原点矩的无偏估计吗

> E ( A k ) = 1 n ∑ i = 1 n X i k = E ( X i k ) = E ( X k ) = α k E(\{ A \}\_\{ k \})=\\frac \{ 1 \}\{ n \} \\sum \_\{ i=1 \}^\{ n \}\{ \{ X \}\_\{ i \}^\{ k \} \} =E(\{ X \}\_\{ i \}^\{ k \})=E(\{ X \}^\{ k \})=\{ \\alpha \}\_\{ k \}E(Ak)=n1∑i=1nXik=E(Xik)=E(Xk)=αk

有效性

> 比较无偏性后,比较方差,  
> 1.先算出两个估计量的方差

相合性  
有效估计的均方误差准则

## 区间估计公式 ##

(1)μ 的 区 间 估 计 \\mu的区间估计μ的区间估计

> ( X ˉ − σ n μ α 2 , X ˉ + σ n μ α 2 ) (\\bar \{ X \} -\\frac \{ \\sigma \}\{ \\sqrt \{ n \} \} \{ \\mu \}\_\{ \\frac \{ \\alpha \}\{ 2 \} \},\\bar \{ X \} +\\frac \{ \\sigma \}\{ \\sqrt \{ n \} \} \{ \\mu \}\_\{ \\frac \{ \\alpha \}\{ 2 \} \})(Xˉ−nσμ2α,Xˉ+nσμ2α)

σ 2 未 知 时 μ 的 区 间 估 计 \{\\sigma\}^\{2\}未知时\\mu的区间估计σ2未知时μ的区间估计

> ( X ˉ − S ∗ n t α 2 ( n − 1 ) , X ˉ + S ∗ n t α 2 ( n − 1 ) ) (\\bar \{ X \} -\\frac \{ \{ S \}^\{ \* \} \}\{ \\sqrt \{ n \} \} \{ t \}\_\{ \\frac \{ \\alpha \}\{ 2 \} \}(n-1),\\bar \{ X \} +\\frac \{ \{ S \}^\{ \* \} \}\{ \\sqrt \{ n \} \} \{ t \}\_\{ \\frac \{ \\alpha \}\{ 2 \} \}(n-1))(Xˉ−nS∗t2α(n−1),Xˉ+nS∗t2α(n−1))

σ 2 \{\\sigma\}^\{2\}σ2的区间估计

> ( ( n − 1 ) S ∗ 2 χ α 2 2 ( n − 1 ) , ( n − 1 ) S ∗ 2 χ 1 − α 2 2 ( n − 1 ) ) (\\frac \{ (n-1)\{ \{ S \}^\{ \* \} \}^\{ 2 \} \}\{ \{ \\chi \}\_\{ \\frac \{ \\alpha \}\{ 2 \} \}^\{ 2 \}(n-1) \} ,\\frac \{ (n-1)\{ \{ S \}^\{ \* \} \}^\{ 2 \} \}\{ \{ \\chi \}\_\{ 1-\\frac \{ \\alpha \}\{ 2 \} \}^\{ 2 \}(n-1) \} )(χ2α2(n−1)(n−1)S∗2,χ1−2α2(n−1)(n−1)S∗2)

(2)μ 1 − μ 2 \{\\mu\}\_\{1\}-\{\\mu\}\_\{2\}μ1−μ2的区间估计

> \{ ( X ˉ − Y ˉ ) ∓ μ α 2 σ 1 2 n 1 + σ 2 2 n 2 \} \\left\\\{ (\\bar \{ X \} -\\bar \{ Y \} )\\mp \{ \\mu \}\_\{ \\frac \{ \\alpha \}\{ 2 \} \}\\sqrt \{ \\frac \{ \{ \\sigma \}\_\{ 1 \}^\{ 2 \} \}\{ \{ n \}\_\{ 1 \} \} +\\frac \{ \{ \\sigma \}\_\{ 2 \}^\{ 2 \} \}\{ \{ n \}\_\{ 2 \} \} \} \\right\\\}\{(Xˉ−Yˉ)∓μ2αn1σ12+n2σ22\}

σ 1 2 = σ 2 2 = σ 2 但 σ 2 未 知 \{ \\sigma \}\_\{ 1 \}^\{ 2 \}=\{ \\sigma \}\_\{ 2 \}^\{ 2 \}=\{ \\sigma \}^\{ 2 \}但\{ \\sigma \}^\{ 2 \}未知σ12=σ22=σ2但σ2未知

> \{ ( X ˉ − Y ˉ ) ∓ t α 2 ( n 1 + n 2 − 2 ) S w 1 n 1 + 1 n 2 \} \\left\\\{ (\\bar \{ X \} -\\bar \{ Y \} )\\mp \{ t \}\_\{ \\frac \{ \\alpha \}\{ 2 \} \}(\{ n \}\_\{ 1 \}+\{ n \}\_\{ 2 \}-2)\{ S \}\_\{ w \}\\sqrt \{ \\frac \{ 1 \}\{ \{ n \}\_\{ 1 \} \} +\\frac \{ 1 \}\{ \{ n \}\_\{ 2 \} \} \} \\right\\\}\{(Xˉ−Yˉ)∓t2α(n1+n2−2)Swn11+n21\}  
> 其中S w = ( n 1 − 1 ) S 1 ∗ n 1 2 + ( n 2 − 1 ) S 2 ∗ 2 n 2 n 1 + n 2 − 2 \{ S \}\_\{ w \}=\\sqrt \{ \\frac \{ (\{ n \}\_\{ 1 \}-1)\{ \{ S \}\_\{ 1 \}^\{ \* \} \}\_\{ \{ n \}\_\{ 1 \} \}^\{ 2 \}+(\{ n \}\_\{ 2 \}-1)\{ \{ S \}\_\{ 2 \}^\{ \*2 \} \}\_\{ \{ n \}\_\{ 2 \} \} \}\{ \{ n \}\_\{ 1 \}+\{ n \}\_\{ 2 \}-2 \} \}Sw=n1+n2−2(n1−1)S1∗n12+(n2−1)S2∗2n2

σ 1 2 和 σ 2 2 均 未 知 , 但 n 1 = n 2 = n \{ \\sigma \}\_\{ 1 \}^\{ 2 \}和\{ \\sigma \}\_\{ 2 \}^\{ 2 \}均未知,但\{n\}\_\{1\}=\{n\}\_\{2\}=nσ12和σ22均未知,但n1=n2=n

> \{ Z ˉ − S Z ∗ n t α 2 ( n − 1 ) , Z ˉ + S Z ∗ n t α 2 ( n − 1 ) \} \\left\\\{ \\bar \{ Z \} -\\frac \{ \{ S \}\_\{ Z \}^\{ \* \} \}\{ \\sqrt \{ n \} \} \{ t \}\_\{ \\frac \{ \\alpha \}\{ 2 \} \}(n-1),\\bar \{ Z \} +\\frac \{ \{ S \}\_\{ Z \}^\{ \* \} \}\{ \\sqrt \{ n \} \} \{ t \}\_\{ \\frac \{ \\alpha \}\{ 2 \} \}(n-1) \\right\\\}\{Zˉ−nSZ∗t2α(n−1),Zˉ+nSZ∗t2α(n−1)\}  
> 其中Z ˉ = X ˉ − Y ˉ , S Z ∗ = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( Z i − Z ˉ ) 2 \\bar \{ Z \} =\\bar \{ X \} -\\bar \{ Y \},\{ S \}\_\{ Z \}^\{ \* \}=\\sqrt \{ \\frac \{ 1 \}\{ n-1 \} \\sum \_\{ i=1 \}^\{ n \}\{ \{ (\{ Z \}\_\{ i \}-\\bar \{ Z \} ) \}^\{ 2 \} \} \}Zˉ=Xˉ−Yˉ,SZ∗=n−11∑i=1n(Zi−Zˉ)2

σ 1 2 / σ 2 2 \{ \\sigma \}\_\{ 1 \}^\{ 2 \}/\{ \\sigma \}\_\{ 2 \}^\{ 2 \}σ12/σ22的区间估计

> \{ F 1 − α 2 ( n 2 − 1 , n 1 − 1 ) S 1 ∗ n 1 2 S 2 ∗ n 2 2 , F α 2 ( n 2 − 1 , n 1 − 1 ) S 1 ∗ n 1 2 S 2 ∗ n 2 2 \} \\left\\\{ \{ F \}\_\{ 1-\\frac \{ \\alpha \}\{ 2 \} \}(\{ n \}\_\{ 2 \}-1,\{ n \}\_\{ 1 \}-1)\\frac \{ \{ \{ S \}\_\{ 1 \}^\{ \* \} \}\_\{ \{ n \}\_\{ 1 \} \}^\{ 2 \} \}\{ \{ \{ S \}\_\{ 2 \}^\{ \* \} \}\_\{ \{ n \}\_\{ 2 \} \}^\{ 2 \} \} ,\{ F \}\_\{ \\frac \{ \\alpha \}\{ 2 \} \}(\{ n \}\_\{ 2 \}-1,\{ n \}\_\{ 1 \}-1)\\frac \{ \{ \{ S \}\_\{ 1 \}^\{ \* \} \}\_\{ \{ n \}\_\{ 1 \} \}^\{ 2 \} \}\{ \{ \{ S \}\_\{ 2 \}^\{ \* \} \}\_\{ \{ n \}\_\{ 2 \} \}^\{ 2 \} \} \\right\\\}\{F1−2α(n2−1,n1−1)S2∗n22S1∗n12,F2α(n2−1,n1−1)S2∗n22S1∗n12\}

## 非正态总体的区间估计 ##

指数分布λ的区间估计

> \{ χ 1 − α 2 2 ( 2 n ) 2 n X ˉ , χ α 2 2 ( 2 n ) 2 n X ˉ \} \\left\\\{ \\frac \{ \{ \\chi \}\_\{ 1-\\frac \{ \\alpha \}\{ 2 \} \}^\{ 2 \}(2n) \}\{ 2n\\bar \{ X \} \} ,\\frac \{ \{ \\chi \}\_\{ \\frac \{ \\alpha \}\{ 2 \} \}^\{ 2 \}(2n) \}\{ 2n\\bar \{ X \} \} \\right\\\}\{2nXˉχ1−2α2(2n),2nXˉχ2α2(2n)\}

0-1分布的p区间估计

> \{ 1 2 a ( b − b 2 − 4 a c ) , 1 2 a ( b + b 2 − 4 a c ) \} \\left\\\{ \\frac \{ 1 \}\{ 2a \} (b-\\sqrt \{ \{ b \}^\{ 2 \}-4ac \} ),\\frac \{ 1 \}\{ 2a \} (b+\\sqrt \{ \{ b \}^\{ 2 \}-4ac \} ) \\right\\\}\{2a1(b−b2−4ac),2a1(b+b2−4ac)\}

## 单侧区间估计 ##

μ \\muμ的具有单侧置信区间下限的区间估计

> ( X ˉ − S ∗ n t α ( n − 1 ) , + ∞ ) (\\bar \{ X \} -\\frac \{ \{ S \}^\{ \* \} \}\{ \\sqrt \{ n \} \} \{ t \}\_\{ \\alpha \}(n-1),+\\infty )(Xˉ−nS∗tα(n−1),+∞)

μ \\muμ的具有单侧置信区间上限的区间估计

> ( − ∞ , X ˉ + S ∗ n t α ( n − 1 ) ) (-\\infty,\\bar \{ X \} +\\frac \{ \{ S \}^\{ \* \} \}\{ \\sqrt \{ n \} \} \{ t \}\_\{ \\alpha \}(n-1))(−∞,Xˉ+nS∗tα(n−1))