leetcode最大矩形_yiduobo的每日leetcode 84.柱状图中最大的矩形

Myth丶恋晨 2023-01-03 14:18 199阅读 0赞

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祖传的手艺不想丢了，所以按顺序写一个leetcode的题解。计划每日两题，争取不卡题吧。

84.柱状图中最大的矩形https://leetcode-cn.com/problems/largest-rectangle-in-histogram/

很有意思的运用单调性的问题。

首先可以明确的是，答案矩形的高一定就是其中某个柱子的高，且这个柱子是构成答案的柱子中最矮的那一个。

那么对于一个柱子index，如果用它的高h\[index\]作为答案的高，那么其左右边界一定满足

h\[left - 1\] < h\[index\]

h\[left\], h\[left + 1\], h\[left + 2\], ... , h\[index - 1\] >= h\[index\]

h\[right\], h\[right - 1\], h\[right - 2\], ... ,h\[index + 1\] >= h\[index\]

h\[right + 1\] < h\[index\]

于是，问题就变成了对于每个柱子，找到left与right的位置，然后计算最终的答案即可。

这里直接暴力计算，时间复杂度为O(n^2)，当然使用分治可以将其优化到O(nlogn)，但依然不是最优解。

我们可以从左往右开始考虑。

首先第一个柱子，高度为height\[0\]，那么其左边界就是自身，只需要寻找右边界。

接下来对于height\[1\]：

1）如果height\[1\] < height\[0\]，那么此时0的右边界就找到了，可以计算以height\[0\]为高的矩形的面积了。同时，1的左边界就是0，此时问题变成了寻找1的右边界。

2）如果height\[1\] >= height\[0\]，那么1的左边界为其自身，而0与1的右边界都需要继续往后寻找。此时，变成了对一个单调递增的list寻找右边界的问题。实际上，情况1）也可以看作是一个单调的list寻找右边界的问题，只是list中只有一个元素。

于是，我们可以将问题看做一个单调递增的list，其满足

height\[list\[0\]\] < height\[list\[1\]\] < ... < height\[-1\]

然后我们需要寻找list中这些柱子的右边界的问题。

不妨设我们现在探索到了height\[k\]：

1、若height\[k\]大于等于height\[list\[-1\]\]。说明list中的柱子依然没找到右边界，同时还需要再将k加入到这个list中，一起寻找右边界。

2、否则就有height\[k\] < height\[list\[-p\]\] < height\[list\[-p + 1\]\] < ... < height\[list\[-1\]\]，即list中height大于height\[k\]的这些柱子都已经找到了右边界，可以开始逐一计算这些柱子所能形成的矩形的面积。

我们从list\[-1\]开始计算。显然其右边界就是k - 1，然后左边界就是list\[-2\] + 1。当然如果此时不存在list\[-2\]，那么左边界就是0了。计算完list\[-1\]之后，可以将其从list中pop出去，然后用同样的方法计算新的list\[-1\]。

完成上面的计算之后，此时的list要么为空，要么满足height\[list\[-1\]\] <= height\[k\]。此时还是需要将k加入到list中，之后就依然还是寻找list的右边界的问题。

3、当探索到了末尾，list不为空的话，说明list中的这些柱子的右边界就是list\[-1\]。左边界的计算方式与上面相同，设当前柱子为list\[index\]，那么左边界就是list\[index - 1\] + 1。同样，若index为0，那么左边界就是0。此时将list中剩下的柱子所能形成的矩形面积计算出来即可。

由于每个柱子最多进出list一次，因此最终的时间复杂度为O(n)。可以发现，上面所说的list实际上就是一个栈stack。

最后附上python代码：

class Solution(object):
        def largestRectangleArea(self, heights):
            """
            :type heights: List[int]
            :rtype: int
            """
    
            stack = []
            res = 0
            for index, height in enumerate(heights):
                if not stack or heights[stack[-1]] <= height:
                    stack.append(index)
                else:
                    while len(stack) > 0 and heights[stack[-1]] > height:
                        if len(stack) > 1:
                            width = index - stack[-2] - 1
                        else:
                            width = index
                        res = max(res, heights[stack[-1]] * width)
                        stack.pop()
                    stack.append(index)
    
            if stack:
                for index in range(len(stack)):
                    if index == 0:
                        res = max(res, heights[stack[index]] * (stack[-1] + 1))
                    else:
                        res = max(res, heights[stack[index]] * (stack[-1] - stack[index - 1]))
    
            return res

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