运算均值方差_关于统计量中样本方差为俢正方差而保持均值不变性的通俗解释...

水深无声 2023-01-06 15:51 123阅读 0赞

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引     语 辩证法告诉我们，一切从实际出发，具体问题具体分析，在矛盾普遍性原理的指导下，即系统构成要素较多的任一较大系统的某一可量化属性的未知集中趋势或一般水平(如一个地区的所有居民的平均身高)和波动或离散程度可用所有相互独立的子系统的相同属性的已知集中趋势或一般水平和波动或离散程度去推断，且简单随机抽选的子系统越多或子系统的要素越多，准确度越高，找出并分析矛盾的特殊性，即根据所考察对象的全体数量指标值——总体数据，从中简单随机抽取一部分个体作为样本(即简单随机样本)并测出样本数据(如为了解一个地区居民的平均身高，从该地区中简单随机抽取一部分居民作为试验对象，把测出的各个身高值作为样本数据)，经过一次或多次简单随机抽取，用所得样本数据的平均值(集中趋势或一般水平)去估计总体数据的均值，用样本方差或标准差(波动或离散程度)去估计总体数据的未知方差或标准差，且抽取的样本个数越多或样本容量(样本中个体数目)越大，就越能反映总体数据情况，精确度就越高，并发挥个人主观能动性，才能顺利解决矛盾(问题)。

# **样本均值在运算结构上具有不变性** #

我在文章《数学科学是最广大世界的最重要组成部分之一，不能算是自然科学》里写过：“数学在本质上就是一种关于数字(人为定义的反映事物量化指标和事物之间数量关系的一种特殊符号，其中的字母即不确定或尚未确定的数字，其中的变量即描述指定事物某个运动过程的不断变化的数字)、图形的特殊符号的运算和实证科学，这些符号之间有着较严密的逻辑关系。如式子“1+1=2”就表明:在自然数的发展过程中，先有符号“1”，才有符号“2”，且规定“2=1+1”，又如:平面四边形符号就是人类对现实世界某一侧面可近似看成平面四边形的物体的直观表达，而“平面四边形的内角和是三角形的两倍”就表明:两个等底三角形可拼成一个平面四边形。这些符号还代表事物的较精确的尺寸、范围、程度、大小、空间位置关系等，即量化的和逻辑严密的符号。比如:一个人身高1.90米，就比用文字语言“这个人长得很高”精确得多；用数字、运算符号和少量文字结合空间直角坐标系内球面与平面的具体位置精确表达它们的位置关系时，就比光用数字、运算符号和少量文字表达得既直观又准确。”所以，按照经典观点，对于任意一组总体数据y1、y2……yN，N≤+∞，简单随机抽取(逐个不放回抽取，且每个个体数据被抽到的概率都一样)部分个体组成任一样本后，其观测值ⅹ1、x2……x n的平均值x av=(ⅹ1+x2+…+x n)/n，n﹤N，这是因为:设总体均值(客观存在，往往因总体容量较大而不可知)为μ，由于在随机抽取任一样本之前，样本观测值不能确定，所以样本数据在抽样观测前是一组随机变量X1、Ⅹ2……Xn，其均值Xav表达式为Xav=(X1+X2+…+Xn)/n，它是样本随机变量的函数，所以Xav是统计量，也是随机变量，并设简单随机抽取m个容量为n的样本后，总体数据恰好被抽完，即mn=N，所以，样本均值的数学期望值E(Xav)=1/mΣ(ⅰ=1，m) ⅹ avⅰ，ⅹ avⅰ=1/n(ⅹ1i+x2i+…+x nⅰ)，而这m个样本的所有数据之和就是总体数据之和mnμ，所以，E(Xav)=1/m·1/n·mnμ=μ，即总体数据的所有样本均值的数学期望值恰好是总体均值μ，也即是对总体均值μ的无偏估计，这说明样本均值都是在总体均值μ周围上下波动。 由样本均值表达通式Xav=(X1+X2+…+Xn)/n可知，当n增大时，数据总值也随着n变化。设M=X1+X2+…+Xn，并设样本容量增大后的数据个数为n+Δn，Δn>0，数据总值为M+ΔM，ΔM=X1′+X2′+…+Xn′，则变化后的统计量Xav′=(M+ΔM)/(n+Δn)，所以，Xav-Xav′=M/n-(M+ΔM)/(n+Δn)=(MΔn-nΔM)/\[n(n+Δn)\]，所以，当MΔn-nΔM>0(即M/n>ΔM/Δn时，Xav>Xav′，即当样本数据总值的平均增长率小于原始样本均值时，新样本均值随着容量的增加而减小；同理，当样本数据总值的平均增长率大于原始样本均值时，新样本均值随着容量的增加而减大，当它们相等时，样本均值不变。因此，用样本均值估计总体均值时,随着样本容量的增加，均值有三种走势,它由样本数据总值的平均增长率决定，且容量越大，总体均值被估计得越精确。 由此可以推出，在一场简单随机抽样调查中，设抽样次数为x′，样本容量为y′，y′简单随机抽取的样本个数越多，其等价样本均值也越接近乃至等于总体均值μ ，即总体均值也被估计得越精确。

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# **样本方差相对于总体方差，具有无偏修正性** #

如果样本方差按照原始定义，可写成定义通式s^2=\[(x1-x av)^2 +(x2-x av)^2+…+(x n-x av)^2\]/n，s是标准差或均方差观测值，s≥0，即s^2=1/nΣ(ⅰ=1，n) (x ⅰ-x av)^2 =1/nΣ(ⅰ=1，n) \[(x ⅰ-μ)+(μ-x av)\]^2=1/nΣ(ⅰ=1，n) (x ⅰ-μ)^2 +2/nΣ(ⅰ=1，n) (x ⅰ-μ)(μ-x av)+1/nΣ(ⅰ=1，n) (μ-x av)^2=1/nΣ(ⅰ=1，n) (x ⅰ-μ)^2-(μ-x av)^2，x av=(ⅹ1+x2+…+x n)/n，n﹤N，又由于在随机抽取任一样本前，样本观测值不能确定，所以样本数据在抽样观测前是一组随机变量X1、Ⅹ2……Xn，其方差的定义通式为S^2=1/nΣ(ⅰ=1，n) (Xⅰ-Xav)^2，Xav=(X1+X2+…+Xn)/n，它也是样本随机变量的函数，所以样本方差S^2即是统计量，也是随机变量。又设简单随机抽取m个容量为n样本后，总体数据恰好被抽完，即mn=N，可得出样本方差的数学期望值E(S^2)=1/mΣ(ⅰ=1，m) s^2 ⅰ，其中s^2 ⅰ=1/nΣ(j=1，n) (xjⅰ-x avⅰ)^2，ⅹ avi=1/n(ⅹ1i+x2i+…+x nⅰ)。设总体方差为σ^2(σ≥0)，把前面的通用结果代入后，得E(S^2)=1/mΣ(ⅰ=1，m) \[1/nΣ(j=1，n) (x jⅰ-μ)^2-(μ-x avⅰ)^2\]=σ^2-1/mΣ(ⅰ=1，m) (x avⅰ-μ)^2=σ^2-E((Xav-μ)^2)≤σ^2，即用总体的真实未知均值μ代入该公式换算后发现:任一样本的定义方差的期望值往往小于总体方差，低估了总体数据的离散程度。因此，必须对该样本方差公式进行修正，它必须满足条件:对于样本容量相同的所有简单随机样本的方差的期望值必须是σ^2，才是对总体方差的无偏估计。 由上可知，样本均值变量Xav的方差D(Xav)=E((Xav-μ)^2)=1/mΣ(ⅰ=1，m) (x avⅰ-μ)^2，μ=1/m·( x av1+x av2+…+x avm)，且x avⅰ=(ⅹ1i+x2i+…+x nⅰ)/n，σ^2=1/(mn)Σ(ⅰ=1，m)Σ(j=1，n) (x ji-μ)^2=1/(mn)Σ(ⅰ=1，m) \[(x 1i-μ)^2+(x 2i-μ)^2+…+(x ni-μ)^2\]，所以原式=1/(mn^2)·Σ(ⅰ=1，m) (ⅹ1i+x2i+…+x nⅰ-nμ)^2=1/(mn^2)·Σ(ⅰ=1，m) \[(ⅹ1i-μ)^2+(ⅹ2i-μ)^2+…+(ⅹni-μ)^2\]+2/(mn^2)·Σ(ⅰ=1，m) \[(ⅹ1i-μ)(ⅹ2i-μ)+(ⅹ1i-μ)(ⅹ3i-μ)+…+(ⅹ1i-μ)(ⅹni-μ)+(ⅹ2i-μ)(ⅹ3i-μ)+(ⅹ2i-μ)(ⅹ4i-μ)+…(ⅹ2i-μ)(ⅹni-μ)+……+(ⅹ(n-1)i-μ)(ⅹni-μ)\]=(σ^2)/n+2/(mn^2)·Σ(ⅰ=1，m) \[(ⅹ1i-μ)(ⅹ2i-μ)+(ⅹ1i-μ)(ⅹ3i-μ)+…+(ⅹ1i-μ)(ⅹni-μ)+(ⅹ2i-μ)(ⅹ3i-μ)+(ⅹ2i-μ)(ⅹ4i-μ)+…(ⅹ2i-μ)(ⅹni-μ)+……+(ⅹ(n-1)i-μ)(ⅹni-μ)\]，其中μ=1/m·Σ( i=1，m) x avⅰ=1/mnΣ( i=1，m) (ⅹ1i+x2ⅰ+…+xni)，所以，E(S^2)=σ^2-(σ^2)/n=(σ^2)·(n-1)/n。 因此，为了使样本方差的期望值变成σ^2，即E(S′^2)=1/mΣ(ⅰ=1，m) s′^2 ⅰ=σ^2=1/mΣ(ⅰ=1，m) s^2 ⅰ x n/(n-1)=n/(n-1)E(S^2)=E(n S^2 /(n-1))，则样本修正方差S′^2=n S^2 /(n-1)=\[n/(n-1)\]x1/nΣ(ⅰ=1，n) (Xi-Xav)^2=1/(n-1)Σ(ⅰ=1，n) (Xi-Xav)^2，其修正观测值为s′^2=1/(n-1)Σ(ⅰ=1，n) (x i-x av)^2，其中x av=1/nΣ(ⅰ=1，n) ⅹi。显然，当样本容量n较大时，1/n≈1/(n-1)，s′^2≈s^2，两种方差公式都可以用。 当然，如同上面证明的“样本容量越大或样本数目越多，总体均值被估计得越精确″一样，可用同样的方法证明“样本容量越大或样本个数越多，总体方差和标准差被估计得越精确″，这里不必赘述。

# **结   论** #

在总体中简单随机抽取样本时，样本均值公式具有定义上的不变性；样本方差公式通常写成s^2=1/(n-1)Σ(ⅰ=1，n) (x i-x av)^2的形式，当样本容量较大时，也可写成s^2=1/nΣ(ⅰ=1，n) (x i-x av)^2，且对于这两种高频统计量，样本容量越大或样本个数越多，总体对应参数就被估计得越精确。

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