和整数相乘_1-5 整数的乘法

ゝ一纸荒年。 2023-01-07 04:57 106阅读 0赞

![94302c23cff271e8d32abecd6f37a73f.png][]

### **前言** ###

9的第99个后继是多少？对于学完加法的我们，已经不需要一个一个从9一直数到108，而是可以直接说出9+99=108，加法合并了这些后继操作。

那么当99个99相加时，有没有什么新的方法来合并这些加法操作呢？乘法自然而然地就产生了。

### **自然数乘法的定义** ###

当我们把3个4相加时，我们也可以说是4乘3，即用加法来定义乘法：

![Image 1][]

我们很容易就能验证，任何数和1的乘积都等于这个数本身。

而乘法是比加法更高一层的运算法则，因此我们规定在同一个式子中，先算乘法再算加减法，除非有括号。

练习：计算

![Image 1][] 。

### **自然数乘法的意义** ###

乘法除了可以在一维直线上进行计算，也能够计算二维平面：

![0151985e6a0bbc241e0bd13df936b681.png][]

上图中左边的图形有多少个格子？很显然是6个，但我们也可以不用数数的方式，用乘法来计算每行3个，总共2行，即3x2=6。

练习：用乘法计算右边的图中有几个格子。

探索：乘法和加法有什么区别？3堆苹果，每堆5个，和5堆苹果，每堆3个，真的是一样的吗？（对象不同的二元运算，映射的复合）

### **交换律、结合律和分配律** ###

我们可以验证，3乘4和4乘3是相等的，同时2乘3再乘4，和3乘4再乘2是相等的，即：

![Image 1][]

和加法类似，乘法同样拥有交换律和结合律。

现在我们能够对0的乘法进行规定了，为了保持数学的统一美，数学家们让乘法对于0也满足乘法交换律，0乘4等于4乘0，即4个0相加，结果为0。

因此规定，0乘任何数都是0，包括0乘0。

练习：计算

![Image 1][] 。

探索：怎么证明乘法交换律和乘法结合律对所有自然数有效？（皮亚诺公理）

而乘法除了交换律和结合律，还能和加法结合产生新的性质。2加3再乘5，与2和3单独乘5再相加，结果是一样的，即：

![Image 1][]

这被叫做乘法分配律。

练习：计算

![Image 1][] 。

探索：怎么证明乘法分配律对所有自然数有效？（皮亚诺公理）

探索：两个数相加和另外两个数相加的乘积该如何使用分配律？很多个呢？（代数式的乘法）

### **整数乘法的定义** ###

知道了自然数的乘法之后，我们接下来要考虑整数。

如果是一个正数和负数相乘，例如2乘-3，我们依旧可以利用加法计算：

![Image 1][]

即正数和负数相乘，得到的是负数，结果为绝对值相乘的相反数。

但负数乘负数应该是多少？比如-1乘-1？

简单来说，负数乘负数没有实际意义，所以只是一种规定，数学家们定义：

两个负数相乘等于正数，结果是绝对值相乘。

为什么这么定义，因为这样的乘法可以满足分配律，而且满足分配律的乘法只有这一种：

![Image 1][]

这就是所谓的负负得正，两个负数相乘等于正数。

练习：计算

![Image 1][] 。

探索：满足分配律的负数乘法有什么优势？（负数乘法的应用，交换环）

### **尾声** ###

乘法提供了比加法更高一层的运算，而更高一层的运算也往往会产生新的数学，例如乘法分配律。

同时，负数乘法的引入，打破了数学和实际事物的联系，在理解上是困难的。-1乘-1的问题中，我们进入了人为规定的抽象世界，这是由具体数学向形式数学的重要转折。

探索：比乘法再高一层的运算是什么样的？再高很多层呢？（乘方，葛立恒数，康威链）

探索：小数该怎么计算乘法？（实数的运算）

预习：就像加法对应减法一样，乘法有没有对应的逆运算？这种运算能够一直在整数上成立吗？

[94302c23cff271e8d32abecd6f37a73f.png]: /images/20221119/274e65db6c8543dd952fbf6c5b1db7f9.png
[Image 1]: 
[0151985e6a0bbc241e0bd13df936b681.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/0151985e6a0bbc241e0bd13df936b681.png

发表评论取消回复

表情：

评论列表（有 0 条评论，106人围观）

还没有评论，来说两句吧...

相关阅读

相关正整数的阶乘

阶乘是基斯顿·卡曼（Christian Kramp，1760～1826）于 1808 年发明的运算符号，是[数学术语][Link 1]。一个正整数的阶乘（factorial

系统管理员/ 2024年02月17日 08:44/ 0 赞/ 40 阅读

相关 64位整数乘法(大整数乘法)

给定大整数a, b 求a \ b % p import java.io.; import java.math.; import java.util.

雨点打透心脏的1/2处/ 2023年01月16日 03:22/ 0 赞/ 134 阅读

相关和整数相乘_1-5 整数的乘法

![94302c23cff271e8d32abecd6f37a73f.png][] 前言 9的第99个后继是多少？对于学完加法的我们，已经不需要一个一个从9一直数到10

ゝ一纸荒年。/ 2023年01月07日 04:57/ 0 赞/ 107 阅读

相关整形大整数乘法

include <math.h> include <iostream> using namespace std; int function_mu

川长思鸟来/ 2022年09月30日 13:55/ 0 赞/ 172 阅读

相关大整数乘法原理（JAVA）

在JAVA中int的字长变成了32位，但是对于两个上亿的数来说，让这两个数相乘，就会超出她的范围，有人会说那就用Long型，对于Long型，当两大于10亿数相乘，就会超出她的范

今天药忘吃喽~/ 2022年09月16日 08:50/ 0 赞/ 178 阅读

相关大整数乘法问题

“大整数乘法问题”的Java重写思路：该问题涉及的主要知识点为一维数组，这个知识点Java和C++几乎没有不同之处，而且一维数组比二维数组还要简单；本文主要讨论内容是左老师

布满荆棘的人生/ 2022年07月24日 10:10/ 0 赞/ 168 阅读

相关分治——大整数乘法

问题描述：设X和Y是两个n位的二进制整数，现在要计算它们的乘积XY，传统方法计算每2个1位数乘法或加法都看作一步运算，这样需要O(n2)次位运算，代价太高，现在运用分治法设计一

冷不防/ 2022年06月15日 01:09/ 0 赞/ 229 阅读

相关 Multiply Strings(大整数乘法)

题目 Given two non-negative integers `num1` and `num2` represented as strings, return t

爱被打了一巴掌/ 2022年06月04日 23:14/ 0 赞/ 219 阅读

相关算法-大整数求和|乘法

文章目录大整数加法第一步第二步第三步代码 BigDecimal Deci

ゝ一纸荒年。/ 2022年04月12日 07:20/ 0 赞/ 245 阅读

相关 C语言——大整数乘法

Description 求两个不超过200位的非负整数的积。 Input 输入有两行，每行是一个不超过200位的非负整数，没有多余的前导0。 Output

朴灿烈づ我的快乐病毒、/ 2022年04月12日 04:24/ 0 赞/ 364 阅读