matlab弹簧振子的阻尼振动,MATLAB计算方法和技巧6_2阻尼振动

女爷i 2023-01-16 04:56 40阅读 0赞

e i θ = cos θ + isin θ，e -i θ

= cos θ - isin θ，

可得

i -i 1cos (e

e

)2θ

θ

θ=

\+，i -i 1sin (e

e

)2i

θ

θ

θ=

\-，

由(6.2.8)式可得

i i e

\[(i )e

(i )e

\]2i t

t

t

A x βωωωβωβω

\--=

\++-，

即 e (c o s s i n )

t x A t t ββωωω

\-=+， (6.2.10) 或 0e

c o s ()t

x A t βωω?ω

\-=+， (6.2.11)

其中arctan

β

?ω

\-=。这就是欠阻尼的情况，物体可作准周期性运动，ω是其角频率，振幅

按指数规律衰减。物体作阻尼运动的周期为

2π

T ω

=

=

， (6.2.12)

![55dccbdbbf4989c2b788326ebb2c5e1f.png][]

可见：阻尼因子越大，周期越长。或者说：阻尼使振动变慢了。

④当β = 0时，则α = i ω0，可得

000\[e

e

\]cos 2i t

i t

A x A t ωωω-=

\+=，

可见：在不计阻尼的情况下，物体作简谐振动。

由于MA TLAB 能够进行复数运算，不论是过阻尼、临界阻尼，还是欠阻尼的情况，位移都可以用(6.2.8)式或(6.2.10)式计算。(6.2.8)式可用双曲函数表示

e (cosh sinh )t

x A t t ββααα

\-=+。 (6.2.13)

利用欧拉公式可以证明：coshi θ = cos θ，sinhi θ = isin θ，因此，(6.2.10)式和(6.2.13)式是完全相同的。

由(6.2.10)式可得物体运动的速度为

2

0e

sin t

v A

t βωωω

\-=-。 (6.2.14)

\[算法\]方法一：用解析解。取A 为坐标的单位。取ω0的倒数为时间单位，则约化时间为t \* = ω0t ；取约化阻尼因子为β\* = β/ω0，则约化阻尼角频率为

\*

![77d64bebe1dc2e61eb174be02ed30761.png][]

![76f6c02c291ea9f0915b190d1b1c5133.png][]

ωωωω=

=

=，

物体的坐标可表示为

\*\*\*\*\*\*

\*\*

\*

exp()(cos sin )x t t t ββωωω

=-+

， (6.2.10\*)

其中，x \* = x /A 。可见：阻尼因子β\* = β/ω0决定了物体的位移曲线。取v 0 = ω0A 为速度单位，物体的速度可表示为

[55dccbdbbf4989c2b788326ebb2c5e1f.png]: /images/20221022/902d88ca08a54205903e708ffdd32bbd.png
[77d64bebe1dc2e61eb174be02ed30761.png]: /images/20221022/c43b6b6874554dde93aeea3980c64e76.png
[76f6c02c291ea9f0915b190d1b1c5133.png]: /images/20221022/5e094257a2b5440f9f75b1376a72dc64.png

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