matlab曼德勃罗集,YaK与您一起欣赏BBC纪录片：''''神秘的混沌理论''''

柔情只为你懂 2023-01-16 09:30 79阅读 0赞

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我学理工和计算机，多年的学习产生了这样的认知：

迭代为自然的国王，递归为自然的皇后。这就是我对这个混沌世界的直观的理解。

而自然界最神奇的分形也诞生于迭代与递归.

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这两个优美的图形，只需要10行 的Java代码就可以生成出来，这就是分形的力量。也是整个视频的主题和核心.

可以在youtube 理解一些更美妙的世界

https://www.youtube.com/watch?v=yUM7e0tIFi0

让我们感受下老子的智慧, 道德经第二十五章：“有物混成，先天地生。寂兮寥兮，独立而不改，周行而不殆，可以为天下母。吾不知其名，字之曰”道“，强为之名曰”太“。太曰逝，逝曰远，远曰反。

我们最终可以从中得出什么样的结论呢？那就是宇宙中所有的复杂性，及其无尽魅力，都来源于毋庸思索的简单规则的不断重复。请记住，尽管这个过程十分强大，却依然是不可预知的。虽然我可以自信地告诉你，未来是令人惊叹的，但我也可以说，就算有了科学确定性，我依然不清楚未来的样子。

视频开始的解说词：自然界真的是一片混乱，充满各种奇怪的形态和纹理，毫无规律可循。没什么是完全重复的。有人认为，这些混乱的背后，隐藏着一些数学规则，而且我们可以计算出这种规则。这种观点与我们的直觉背道而驰。所以毫不奇怪，首位担此重任，尝试发现自然界的神秘数学规律之人，有着卓而不群的头脑。他是位伟大的科学家，也是位悲情英雄，他就是阿兰图灵，1912年生于伦敦。阿兰 图灵才华出众，他是有史以来最伟大的数学家之一，支撑现代计算机技术的很多基本概念都是他发现的。

世界是复杂的，认为世界简洁的观点是很不靠谱的，它的复杂性源自于各种简单性的耦合，而各种简单性又不断地反馈和耦合，形成相互制衡的平均化世界，科学一直在做的事就是从耦合中剥离出简单性，得到更一般的规则，但我们始终在耦合的非线性系统中，得到的理论只是队简单性的近似，这也解释了我们现行的科学理论需要不断的进化。当我们得到了简单性，那我们要做的就是利用简单性利用不同的规则耦合出新兴事物，在现行进化体制下Metamaterial在自然界中不存在，就是因为耦合是事物平均化了，而人工的超材料却能以另一种形态产生各种电磁响应。

self-organization 彻底颠覆了牛顿把宇宙看作是可预测的机械系统的理论范式。认为万物皆由极为简单的数据方程和规则形成，不断的重复导致复杂，但同时又包含着有序。即使没有外力的干预，也能产生难以预测的结果。蝴蝶效应即是混沌理论的典型例子之一，但只是高深的混沌理论的一个方面。片中用摄像机做的反馈实验令人激动地展现了混沌与秩序的共同存在。

工具赋予人类力量解释世界

答案隐藏在不同的角度中

语言在故事性的描述中而生动

数学构造性地解释了宇宙

我们想要描绘的都是图画，是这个世界的图景

探索世界的行动一直在进行

感性挚爱着混沌

理性守护着规则

混沌托付给演变

规则逃离不了目的

混沌与规则相系，便是进化

混沌促成创造，规则为创造指出方向

事物在螺旋上升发展的中沉淀

哲学也是一种公式

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方程的本质形式是   z=f(z)

f(z)可以是z的微分形式或者是偏微形式，或者是普遍形式(如z=z+1)

该形式以初始值增长的角度来看就是，每一次都在原先生成的系统的基础上持续增长，也就是影片中提到的自组织。并进一步提到f(z)很简单，但持续增长后的z会越来越复杂，f(z)就是简单的pattern,z就是复杂的结果。

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影片以上帝的指纹，树枝，河流的形状等等来表明：大自然不断地在重复简单的pattern,最终变得很复杂。

曼德勃罗特集是人类有史以来做出的最奇异,最瑰丽的几何图形.曾被称为“上帝的指纹”。

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这个点集均出自公式:Zn+1=(Zn)^2+C,这是一个迭代公式,式中的变量都是复数.这是一个大千世界,从他出发可以产生无穷无尽美丽图案,他是曼德勃罗特教授在二十世纪七十年代发现的.你看上图中,有的地方象日冕,有的地方象燃烧的

![114972755\_6\_20171031061624741][114972755_6_20171031061624741]

曼德勃罗想知道是否有种独一无二的东西，能够定义自然界中这些不规则的形状。云朵蓬松的表面、树的枝干、河的支流，蜿蜒的海岸线，它们是否拥有共同的数学特征呢？的确是有的！隐含有自然界所有形状下，有一数学原理，称为自相似性，它描述的是相同形状不断在越来越小的水平上复制。最明显的一个例子就是树的枝干，它们不停的在越来越小的水平下，重复分叉这一简单过程。同样的分枝原理也适应于我们的肺部结构，以及血管遍布全身的分布方式。甚至可以描述江河支流的产生。自然界就是这样重复着各种图形。

看这颗罗马花椰菜，它的整个结构由一系列圆锥在越来越小的水平上重复而组成。曼德勃罗意识到了自相似性是一种全新几何学的基础，甚至给它命名为分形体。这观察起来着实简洁，但如果你能将这一自然性质用数学表示呢？如果你能将其本质绘成图，那这图看起来是什么样的呢？你能够用一组简单的数学规则画出不像人工合成的图像吗？曼德勃罗给出了答案。20世纪50年代的后期，他在IBM工作，利用大量的电脑辅助，追求着自己迷恋的自然数学。在一种新的超级计算机的帮助下，他开始研究一个个分外奇妙，却相当简单的方程式。根据此方程式可以画出极不寻常的图形。

我将要讲述的，是至今发现的最著名的数学图形之一，史诗并没有公平对待它。这就是曼德勃罗集，曾被誉为上帝的指纹。当我们深入探索后，就会明白这赞誉是名至实归的。就像观察树木或甘蓝，靠得越近，就能看到越多的细节。集合里的每个图形，都包含了无限多个更小的图形，子曼德勃罗集们会无限循环下去。它有一个非常重要的性质，就是反馈到自身，类似于那个循环摄像，每一步的输出是下一步的输入。这种反馈意味着一个极其简单的数学公式可以产生无限复杂的图片。真正神奇的地方在于曼德勃罗集不只是一个数学奇观，它在所有水平上相似的分形的性质，反映了自然界一个基本的次序原理。图灵的图案，别洛乌索夫的反应和曼德勃罗的分形体，都是指向深层次自然原理的路标。

曼德勃罗集火焰,只要你计算的点足够多,不管你把图案放大多少倍,都能显示出更加复杂的局部.这些局部既与整体不同,又有某种相似的地方,好像着梦幻般 的图案具有无穷无尽的细节和自相似性.曼德勃罗特教授称此为'魔鬼的聚合物'.为此,曼德勃罗特在1988年获得了'科学为艺术大奖'.

图形是由美国数学家曼徳勃罗特教授于1975年夏天一个寂静的夜晚，在冥思苦想之余翻看儿子的拉丁文字典是想到的，起拉丁文的原意是“产生无规则的碎片”

z(0) = z,    z(n+1) = z(n)\*z(n) + z,    n=0,1,2, ...

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Matlab: 代码解读

x = -2:0.01:2; y = -2:0.01:2; \[x, y\] = meshgrid(x,y); n = zeros(size(x));a = 2，b = -3for k=1:length(x) for m=1:length(y) c = x(k,m) + i\*y(k,m); z=0; for itr = 1:50 w=a\*real(z)+b\*sin(real(z)); z=imag(z)+w+((w-real(z))\*i)+c; if abs(z) > 64 n(k,m) = itr; break end end \[k,m,n(k,m)\]

end imagesc(n)drawnow

JavaScript 代码解读：

Mandelbrot Set

f(z) = z^2 + c

c = a + bi

z sub 0 = 0 => z1 = z^2 + c = c

z2 = c^2 + c

c^2 = (a^2 - b^2) + 2abi

z3 = (c^2 + c)^2

\*/

for (var x = 0; x < width;="" x++)="">

for (var y = 0; y < height;="" y++)="">

var a = map(x, 0, width, minSlider.value(),  maxSlider.value());

var b = map(y, 0, height, minSlider.value(), maxSlider.value());

// Complex component to be added later

var ca = a;

var cb = b;

// a^2 - b^2 + 2abi

var n = 0;

while (n < maxiterations)="">

var aa = a \* a - b \* b; // (a^2 - b^2)

var bb = 2 \* a \* b; //  (2abi)

a = aa + ca;

b = bb + cb;

if (abs(a + b) > 16) \{

break;

n++;

var bright = map(n, 0, maxIterations, 0, 1);

bright = map(sqrt(bright), 0, 1, 0, 255);

// var bright = 200;

if (n == maxIterations) \{

bright = 0;

var pix = (x + y \* width) \* 4;

pixels\[pix + 0\] = bright;

pixels\[pix + 1\] = bright;

pixels\[pix + 2\] = bright;

pixels\[pix + 3\] = 255;

片中提到了一个算法进化的实验，里面的小人开始有了各种反应和进化，似乎里面的小人学会了思考，这让我突然觉得我们人类会不会就是这样的小人，自以为会思考，只不过是自然算法进化的必然，也就是说我们被设定着，我们认识的一切规律只是经验性的表象规律，并非自然算法的本质，与之类似的有霍金在《大设计》里提到的一个生命游戏，游戏里只有几个简单的规则，但是从游戏中生命体的行为可以推导出动量守恒等等的物理规律，说不定动量守恒这样被当成定律的规律，只是简单规则的表象，这让人诧异。

Torsten Reil在2003年在TED演讲中，通过目前他现在的工作GTA4谈如何运用生物学的研究通过由内而外建立骨骼，肌肉和神经系统等来帮助动画实现真实人物的设计。其实现在很多电影和游戏已经开始运用了这种技术，不得不说明的是，在Reil运用这种技术创造出大量的财富时，没有忘记为了公共事业的贡献，实在是很震撼的。有了软件的支持，人工机器人是不是也快了呢？Maybe。

http://www.ted.com/talks/torsten\_reil\_studies\_biology\_to\_make\_animation

混沌是科学史上最不受欢迎的发现之一。迫使科学界正视它的，是位美国气象学家，爱德华德。洛伦斯。20世纪60年代早期，他试图找到可以预测天气的数学方程，与那个时代的所有人一样，他相信，气象系统原理上与星象仪无异，都是可以用数学描述和预测的机械系统。但事实并非如此，当洛伦斯用看似很简单的数学方程来描述气流运动时，所得结果与实际大相径庭。没有获得任何有用的预测。就好象今日的一缕微风也能(？)决定一个月后是暴雪肆虐还是风和日丽。

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像星象仪一样按钟表工作机理工作的简单系统怎能如此难料呢？这取决于系统的设定，齿轮的衔接，要即定的环境下。初始时，齿轮上哪怕是最微小的差别，小到无法衡量的差别也会在运动中越变越大。随着系统一步步运作，结果会离原来的设想越来越远。洛伦斯在一次颇有影响的演讲中，提出这个激进的想法，一只蝴蝶在巴西轻扇翅膀，会导致德州的龙卷风吗？

那是清晰而富有感召力的一幕，几个月内，一个新有短语诞生了---蝴蝶效应。蝴蝶效应，这个混沌系统的典型，在生活中比比皆是。70年代初，在澳洲有位青年叫罗伯特。梅，想通过一个数学方程，来建立动物种群数量随时间变化的模型(xn+1=rxn(1-xn)),但他不知道，这其中也暗含着令人畏惧的蝴蝶效应。任何一种动物繁殖比例上，细不可测的变化，都可能导致整个种群上数量巨大变化。测算结果变动极大，根本查不到原因。想通过一个数学方程，预测整个系统的变化，这个想法没有出路。(牛津大学勋爵罗伯特。梅教授)某种意义上来说，这也是牛顿学说的终点。当我还是研究生时，大家相信，随着电脑计算能力的不断提升，我们必然能够解出更加复杂的方程。混沌理论认为这种想法不一定对，哪怕是你能想到的最简单的方程式不含任何随机因子，一切可知，只要运行过程中出现一点点偏差，结果也会跟最初的设想大相径庭。历经数个世纪的科学确定性，在短短几年内就被瓦解了。认为宇宙象钟表装置的观点被证明是错的，而某些看似有其逻辑必然性的，可能只是因为对牛顿的盲目崇拜(而被理解为有必然性)，更遭的是，真相一直在我们眼前，因为混乱无处不在。

用计算的力量改变世界是每一个程序员的梦想，而yak正是用计算将教育和科学的结合变成人生的财富。把艺术，算法和数学融入完成全新的表达，用计算模拟的方法重新学习理化生，站在数据的角度重新审视社会科学。从这些角度来看，我们yak能够成为帮助孩子启蒙的启示录，帮助每一个未來數字公民真正理解現代科技剧变对生产力的巨大解放，真正适应未来社会的不确定性。

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