[转]一文解释PyTorch求导相关 (backward, autograd.grad)

àì夳堔傛蜴生んèń 2023-01-18 14:26 268阅读 0赞

PyTorch是动态图，即计算图的搭建和运算是同时的，随时可以输出结果；而TensorFlow是静态图。

在pytorch的计算图里只有两种元素：数据（tensor）和 运算（operation）

运算包括了：加减乘除、开方、幂指对、三角函数等可求导运算

数据可分为：叶子节点（leaf node）和非叶子节点；叶子节点是用户创建的节点，不依赖其它节点；它们表现出来的区别在于反向传播结束之后，非叶子节点的梯度会被释放掉，只保留叶子节点的梯度，这样就节省了内存。如果想要保留非叶子节点的梯度，可以使用retain\_grad()方法。

torch.tensor 具有如下属性：

*  查看 是否可以求导 requires\_grad
 *  查看 运算名称 grad\_fn
 *  查看 是否为叶子节点 is\_leaf
 *  查看 导数值 grad

> 针对requires\_grad属性，自己定义的叶子节点默认为False，而非叶子节点默认为True，神经网络中的权重默认为True。判断哪些节点是True/False的一个原则就是从你需要求导的叶子节点到loss节点之间是一条可求导的通路。

当我们想要对某个Tensor变量求梯度时，需要先指定requires\_grad属性为True，指定方式主要有两种：

x = torch.tensor(1.).requires_grad_() # 第一种
    
    x = torch.tensor(1., requires_grad=True) # 第二种

PyTorch提供两种求梯度的方法：backward() and torch.autograd.grad() ，他们的区别在于前者是给叶子节点填充.grad字段，而后者是直接返回梯度给你，我会在后面举例说明。还需要知道y.backward()其实等同于torch.autograd.backward(y)

一个简单的求导例子是： y = ( x + 1 ) ∗ ( x + 2 ) y=(x+1)\*(x+2) y=(x\+1)∗(x\+2)，计算  ∂ y / ∂ x \\partial y /\\partial x ∂y/∂x ，假设给定  x = 2 x=2 x=2, 先画出计算图:  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3ZpbmNlbnRfZHVhbg_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
手算的话，  
 ∂ y ∂ x = ∂ y ∂ a ∂ a ∂ x + ∂ y ∂ b ∂ b ∂ x = x + 2 + x + 1 = 7 \\frac\{\\partial y\}\{\\partial x\}=\\frac\{\\partial y\}\{\\partial a\} \\frac\{\\partial a\}\{\\partial x\} + \\frac\{\\partial y\}\{\\partial b\}\\frac\{\\partial b\}\{\\partial x\} = x+2+x+1=7 ∂x∂y=∂a∂y∂x∂a\+∂b∂y∂x∂b=x\+2\+x\+1=7

# 使用backward() #

x = torch.tensor(2., requires_grad=True)
    
    a = torch.add(x, 1)
    b = torch.add(x, 2)
    y = torch.mul(a, b)
    
    y.backward()
    print(x.grad)
    >>>tensor(7.)

看一下这几个tensor的属性:

print("requires_grad: ", x.requires_grad, a.requires_grad, b.requires_grad, y.requires_grad)
    print("is_leaf: ", x.is_leaf, a.is_leaf, b.is_leaf, y.is_leaf)
    print("grad: ", x.grad, a.grad, b.grad, y.grad)
    
    >>>requires_grad:  True True True True
    >>>is_leaf:  True False False False
    >>>grad:  tensor(7.) None None None

使用backward()函数反向传播计算tensor的梯度时，并不计算所有tensor的梯度，而是只计算满足这几个条件的tensor的梯度：

1.  类型为叶子节点、
2.  requires\_grad=True
3.  依赖该tensor的所有tensor的requires\_grad=True。

所有满足条件的变量梯度会自动保存到对应的grad属性里。

# 使用autograd.grad() #

x = torch.tensor(2., requires_grad=True)
    
    a = torch.add(x, 1)
    b = torch.add(x, 2)
    y = torch.mul(a, b)
    
    grad = torch.autograd.grad(outputs=y, inputs=x)
    print(grad[0])
    >>>tensor(7.)

因为指定了输出y，输入x，所以返回值就是 ∂ y / ∂ x \\partial y/\\partial x ∂y/∂x这一梯度，完整的返回值其实是一个元组，保留第一个元素就行，后面元素是`?`

再举一个复杂一点且高阶求导的例子： z = x 2 y z=x^2y z=x2y，计算  ∂ z / ∂ x , ∂ z / ∂ y , ∂ 2 z / ∂ x 2 \\partial z/\\partial x,\\partial z/\\partial y,\\partial^2z/\\partial x^2 ∂z/∂x,∂z/∂y,∂2z/∂x2 ，假设给定 x = 2 , y = 3 x=2, y=3 x=2,y=3

手算的话：  
 ∂ z ∂ x = 2 x y → 12 , ∂ z ∂ y = x 2 → 4 , ∂ 2 z ∂ x 2 = 2 y → 6 \\frac\{\\partial z\}\{\\partial x\}=2xy \\to12,\\frac\{\\partial z\}\{\\partial y\}=x^2 \\to 4,\\frac\{\\partial^2z\}\{\\partial x^2\}=2y \\to 6 ∂x∂z=2xy→12,∂y∂z=x2→4,∂x2∂2z=2y→6  
求一阶导可以用backward().

x = torch.tensor(2., requires_grad=True)
    y = torch.tensor(3., requires_grad=True)
    
    z = x * x * y
    
    z.backward()
    print(x.grad, y.grad)
    >>>tensor(12.) tensor(4.)

也可以用`autograd.grad()`

x = torch.tensor(2.).requires_grad_()
    y = torch.tensor(3.).requires_grad_()
    
    z = x * x * y
    
    grad_x = torch.autograd.grad(outputs=z, inputs=x)
    print(grad_x[0])
    # grad_y = torch.autograd.grad(outputs=z, inputs=y) 无法对y进行求导了
    >>>tensor(12.)

为什么不在这里面同时也求对y的导数呢？因为无论是`backward`还是`autograd.grad`在计算一次梯度后图就被释放了，如果想要保留，需要添加`retain_graph=True`

x = torch.tensor(2.).requires_grad_()
    y = torch.tensor(3.).requires_grad_()
    
    z = x * x * y
    
    grad_x = torch.autograd.grad(outputs=z, inputs=x, retain_graph=True)
    grad_y = torch.autograd.grad(outputs=z, inputs=y)
    
    print(grad_x[0], grad_y[0])
    >>>tensor(12.) tensor(4.)

再来看如何求高阶导，理论上其实是上面的`grad_x`再对`x`求梯度，试一下看：

x = torch.tensor(2.).requires_grad_()
    y = torch.tensor(3.).requires_grad_()
    
    z = x * x * y
    
    grad_x = torch.autograd.grad(outputs=z, inputs=x, retain_graph=True)
    grad_xx = torch.autograd.grad(outputs=grad_x, inputs=x)
    
    print(grad_xx[0])
    >>>RuntimeError: element 0 of tensors does not require grad and does not have a grad_fn

报错了，虽然`retain_graph=True`保留了计算图和中间变量梯度， 但没有保存`grad_x`的运算方式，需要使用`creat_graph=True`在保留原图的基础上再建立额外的求导计算图，也就是会把 ∂ z / ∂ x = 2 x y \\partial z/\\partial x=2xy ∂z/∂x=2xy这样的运算存下来。

grad\_xx这里也可以直接用backward()，相当于直接从 ∂ z / ∂ x = 2 x y \\partial z/\\partial x=2xy ∂z/∂x=2xy开始回传：

# autograd.grad() + backward()
    x = torch.tensor(2.).requires_grad_()
    y = torch.tensor(3.).requires_grad_()
    
    z = x * x * y
    
    grad = torch.autograd.grad(outputs=z, inputs=x, create_graph=True)
    grad[0].backward()
    
    print(x.grad)
    >>>tensor(6.)

也可以先用`backward()`然后对`x.grad`这个一阶导继续求导：

# backward() + autograd.grad()
    x = torch.tensor(2.).requires_grad_()
    y = torch.tensor(3.).requires_grad_()
    
    z = x * x * y
    
    z.backward(create_graph=True)
    grad_xx = torch.autograd.grad(outputs=x.grad, inputs=x)
    
    print(grad_xx[0])
    >>>tensor(6.)

那是不是也可以直接用两次`backward()`呢？第二次直接`x.grad`从开始回传，我们试一下：

# backward() + backward()
    x = torch.tensor(2.).requires_grad_()
    y = torch.tensor(3.).requires_grad_()
    
    z = x * x * y
    
    z.backward(create_graph=True) # x.grad = 12
    x.grad.backward()
    
    print(x.grad)
    >>>tensor(18., grad_fn=<CopyBackwards>)

发现了问题，结果不是6，而是18，发现第一次回传时输出`x`梯度是12。这是因为PyTorch使用`backward()`时默认会累加梯度，也就是`12+6=18`，需要手动把前一次的梯度清零：

x = torch.tensor(2.).requires_grad_()
    y = torch.tensor(3.).requires_grad_()
    
    z = x * x * y
    
    z.backward(create_graph=True)
    x.grad.data.zero_()
    x.grad.backward()
    
    print(x.grad)
    >>>tensor(6., grad_fn=<CopyBackwards>)

# 有没有发现前面都是对标量求导，如果不是标量会怎么样呢？ #

x = torch.tensor([1.,2.]).requires_grad_()
    y=x+1
    y.backward()
    print(x.grad)
    >>>RuntimeError: grad can be implicitly created only for scalar outputs

报错了，因为只能标量对标量，标量对向量求梯度， x x x可以是标量或者向量，但 y y y只能是标量；所以只需要先将$$y转变为标量，对分别求导没影响的就是求和。

此时，  
 x = \[ x 1 , x 2 \] ， y = \[ x 1 2 , x 2 2 \] ， y ′ = y . s u m ( ) = x 1 2 + x 2 2 , ∂ y ′ ∂ x 1 = 2 x 1 → 2 ， ∂ y ′ ∂ x 2 = 2 x 2 → 4 x=\[x\_1,x\_2\]，y=\[x\_1^2, x\_2^2\]，y\\prime=y.sum()=x\_1^2+x\_2^2, \\\\ \\frac\{\\partial y\\prime\}\{\\partial x\_1\}=2x\_1 \\to 2，\\frac\{\\partial y\\prime\}\{\\partial x\_2\}=2x\_2 \\to 4 x=\[x1,x2\]，y=\[x12,x22\]，y′=y.sum()=x12\+x22,∂x1∂y′=2x1→2，∂x2∂y′=2x2→4

x = torch.tensor([1., 2.]).requires_grad_()
    y = x * x
    
    y.sum().backward()
    print(x.grad)
    >>>tensor([2., 4.])

再具体一点来解释，让我们写出求导计算的雅可比矩阵， y = \[ y 1 , y 2 \] \\boldsymbol y=\[y\_1,y\_2\] y=\[y1,y2\]是一个向量，  
 J = \[ ∂ y ∂ x 1 , ∂ y ∂ x 2 \] = \[ ∂ y 1 ∂ x 1 ∂ y 1 ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ x 1 ∂ y 2 ∂ x 2 \] \\boldsymbol J=\[\\frac\{\\partial \\boldsymbol y\}\{\\partial x\_1\},\\frac\{\\partial \\boldsymbol y\}\{\\partial x\_2\}\]=\\begin\{bmatrix\} \\frac\{\\partial y\_1\}\{\\partial x\_1\} & \\frac\{\\partial y\_1\}\{\\partial x\_2\} \\\\ \\frac\{\\partial y\_2\}\{\\partial x\_1\} & \\frac\{\\partial y\_2\}\{\\partial x\_2\} \\end\{bmatrix\} J=\[∂x1∂y,∂x2∂y\]=\[∂x1∂y1∂x1∂y2∂x2∂y1∂x2∂y2\]  
而我们希望最终的求导结果是 \[ ∂ y 1 ∂ x 1 , ∂ y 2 ∂ x 2 \] \[\\frac\{\\partial y\_1\}\{\\partial x\_1\}, \\frac\{\\partial y\_2\}\{\\partial x\_2\}\] \[∂x1∂y1,∂x2∂y2\]，那怎么得到呢？注意 ∂ y 1 ∂ x 2 \\frac\{\\partial y\_1\}\{\\partial x\_2\} ∂x2∂y1和 ∂ y 2 ∂ x 1 \\frac\{\\partial y\_2\}\{\\partial x\_1\} ∂x1∂y2都是0，那是不是  
 \[ ∂ y 1 ∂ x 1 , ∂ y 2 ∂ x 2 \] T = \[ ∂ y 1 ∂ x 1 ∂ y 1 ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ x 1 ∂ y 2 ∂ x 2 \] \[ 1 1 \] \[\\frac\{\\partial y\_1\}\{\\partial x\_1\}, \\frac\{\\partial y\_2\}\{\\partial x\_2\}\]^\\mathsf\{T\}=\\begin\{bmatrix\} \\frac\{\\partial y\_1\}\{\\partial x\_1\} & \\frac\{\\partial y\_1\}\{\\partial x\_2\} \\\\ \\frac\{\\partial y\_2\}\{\\partial x\_1\} & \\frac\{\\partial y\_2\}\{\\partial x\_2\} \\end\{bmatrix\}\\begin\{bmatrix\} 1 \\\\ 1 \\end\{bmatrix\} \[∂x1∂y1,∂x2∂y2\]T=\[∂x1∂y1∂x1∂y2∂x2∂y1∂x2∂y2\]\[11\]  
所以不用`y.sum()`的另一种方式是：

x = torch.tensor([1., 2.]).requires_grad_()
    y = x * x
    
    y.backward(torch.ones_like(x))
    print(x.grad)
    >>>tensor([2., 4.])

也可以使用`autograd`。上面和这里的`torch.ones_like(x)` 位置指的就是雅可比矩阵右乘的那个向量。

x = torch.tensor([1., 2.]).requires_grad_()
    y = x * x
    
    grad_x = torch.autograd.grad(outputs=y, inputs=x, grad_outputs=torch.ones_like(x))
    print(grad_x[0])
    >>>tensor([2., 4.])

或者

x = torch.tensor([1., 2.]).requires_grad_()
    y = x * x
    
    grad_x = torch.autograd.grad(outputs=y.sum(), inputs=x)
    print(grad_x[0])
    >>>tensor([2., 4.])

# 下面是着重强调以及引申的几点 #

*  梯度清零  
    Pytorch 的自动求导梯度不会自动清零，会累积，所以一次反向传播后需要手动清零。  
    `x.grad.zero_()`  
    而在神经网络中，我们只需要执行`optimizer.zero_grad()`
 *  使用detach()切断，不会再往后计算梯度  
    假设有模型A和模型B，我们需要将A的输出作为B的输入，但训练时我们只训练模型B，那么可以这样做`input_B = output_A.detach()`  
    如果还是以前面的为例子，将a切断，将只有b一条通路，且a变为叶子节点。
    
        x = torch.tensor([2.], requires_grad=True)
        
        a = torch.add(x, 1).detach()
        b = torch.add(x, 2)
        y = torch.mul(a, b)
        
        y.backward()
        
        print("requires_grad: ", x.requires_grad, a.requires_grad, b.requires_grad, y.requires_grad)
        print("is_leaf: ", x.is_leaf, a.is_leaf, b.is_leaf, y.is_leaf)
        print("grad: ", x.grad, a.grad, b.grad, y.grad)
        
        >>>requires_grad:  True False True True
        >>>is_leaf:  True True False False
        >>>grad:  tensor([3.]) None None None

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