看一遍就理解：动态规划详解

以你之姓@ 2023-01-20 09:51 1阅读 0赞

前言  
我们刷[leetcode][]的时候，经常会遇到动态规划类型题目。动态规划问题非常非常经典，也很有技巧性，一般大厂都非常喜欢问。今天跟大家一起来学习动态规划的套路，文章如果有不正确的地方，欢迎大家指出哈，感谢感谢~

[什么是动态规划？][leetcode]  
动态规划的核心思想  
一个例子走进动态规划  
动态规划的解题套路  
leetcode案例分析  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MjIxNDM2_size_16_color_FFFFFF_t_70]

公众号：码农素材

什么是动态规划？  
动态规划（英语：Dynamic programming，简称 DP），是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

★dynamic programming is a method for solving a complex problem by breaking it down into a collection of simpler subproblems.”  
以上定义来自维基百科，看定义感觉还是有点抽象。简单来说，动态规划其实就是，给定一个问题，我们把它拆成一个个子问题，直到子问题可以直接解决。然后呢，把子问题答案保存起来，以减少重复计算。再根据子问题答案反推，得出原问题解的一种方法。

★一般这些子问题很相似，可以通过函数关系式递推出来。然后呢，动态规划就致力于解决每个子问题一次，减少重复计算,比如斐波那契数列就可以看做入门级的经典动态规划问题。”  
动态规划核心思想  
动态规划最核心的思想，就在于拆分子问题，记住过往，减少重复计算。  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MjIxNDM2_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

动态规划在于记住过往  
我们来看下，网上比较流行的一个例子：

★  
A ：“1+1+1+1+1+1+1+1 =？”  
A ：“上面等式的值是多少”  
B ：计算 “8”  
A : 在上面等式的左边写上 “1+” 呢？  
A : “此时等式的值为多少”  
B : 很快得出答案 “9”  
A : “你怎么这么快就知道答案了”  
A : “只要在8的基础上加1就行了”  
A : “所以你不用重新计算，因为你记住了第一个等式的值为8!动态规划算法也可以说是 ‘记住求过的解来节省时间’”  
”  
一个例子带你走进动态规划 – 青蛙跳阶问题  
暴力递归  
★leetcode原题：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 10 级的台阶总共有多少种跳法。”  
有些小伙伴第一次见这个题的时候，可能会有点蒙圈，不知道怎么解决。其实可以试想：

★  
要想跳到第10级台阶，要么是先跳到第9级，然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第8级，然后一次迈2级台阶上去。  
同理，要想跳到第9级台阶，要么是先跳到第8级，然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第7级，然后一次迈2级台阶上去。  
要想跳到第8级台阶，要么是先跳到第7级，然后再跳1级台阶上去;要么是先跳到第6级，然后一次迈2级台阶上去。  
”  
假设跳到第n级台阶的跳数我们定义为f(n)，很显然就可以得出以下公式：

f（10） = f（9）+f(8)  
f (9) = f(8) + f(7)  
f (8) = f(7) + f(6)  
…  
f(3) = f(2) + f(1)

即通用公式为: f(n) = f(n-1) + f(n-2)  
那f(2) 或者 f(1) 等于多少呢？

当只有2级台阶时，有两种跳法，第一种是直接跳两级，第二种是先跳一级，然后再跳一级。即f(2) = 2;  
当只有1级台阶时，只有一种跳法，即f（1）= 1；  
因此可以用递归去解决这个问题：

class Solution \{  
public int numWays(int n) \{  
if(n == 1)\{  
return 1;  
\}  
if(n == 2)\{  
return 2;  
\}  
return numWays(n-1) + numWays(n-2);  
\}  
\}  
去leetcode提交一下，发现有问题，超出时间限制了

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MjIxNDM2_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

为什么超时了呢？递归耗时在哪里呢？先画出递归树看看：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MjIxNDM2_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

要计算原问题 f(10)，就需要先计算出子问题 f(9) 和 f(8)  
然后要计算 f(9)，又要先算出子问题 f(8) 和 f(7)，以此类推。  
一直到 f(2) 和 f(1），递归树才终止。  
我们先来看看这个递归的时间复杂度吧：

递归时间复杂度 = 解决一个子问题时间\*子问题个数  
一个子问题时间 = f（n-1）+f（n-2），也就是一个加法的操作，所以复杂度是 O(1)；  
问题个数 = 递归树节点的总数，递归树的总节点 = 2n-1，所以是复杂度O(2n)。  
因此，青蛙跳阶，递归解法的时间复杂度 = O(1) \* O(2^n) = O(2^n)，就是指数级别的，爆炸增长的，如果n比较大的话，超时很正常的了。

回过头来，你仔细观察这颗递归树，你会发现存在大量重复计算，比如f（8）被计算了两次，f（7）被重复计算了3次…所以这个递归算法低效的原因，就是存在大量的重复计算！

既然存在大量重复计算，那么我们可以先把计算好的答案存下来，即造一个备忘录，等到下次需要的话，先去备忘录查一下，如果有，就直接取就好了，备忘录没有才开始计算，那就可以省去重新重复计算的耗时啦！这就是带备忘录的解法。

带备忘录的递归解法（自顶向下）  
一般使用一个数组或者一个哈希map充当这个备忘录。

第一步，f（10）= f(9) + f(8)，f(9) 和f（8）都需要计算出来，然后再加到备忘录中，如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MjIxNDM2_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

第二步， f(9) = f（8）+ f（7），f（8）= f（7）+ f(6), 因为 f(8) 已经在备忘录中啦，所以可以省掉，f(7),f（6）都需要计算出来，加到备忘录中~  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MjIxNDM2_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]

第三步， f(8) = f（7）+ f(6),发现f(8)，f(7),f（6）全部都在备忘录上了，所以都可以剪掉。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MjIxNDM2_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]

所以呢，用了备忘录递归算法，递归树变成光秃秃的树干咯，如下：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MjIxNDM2_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]

带备忘录的递归算法，子问题个数=树节点数=n，解决一个子问题还是O(1),所以带备忘录的递归算法的时间复杂度是O(n)。接下来呢，我们用带备忘录的递归算法去撸代码，解决这个青蛙跳阶问题的超时问题咯~，代码如下：

public class Solution \{  
//使用哈希map，充当备忘录的作用  
Map<Integer, Integer> tempMap = new HashMap();  
public int numWays(int n) \{  
// n = 也算1种  
if (n == ) \{  
return 1;  
\}  
if (n <= 2) \{  
return n;  
\}  
//先判断有没计算过，即看看备忘录有没有  
if (tempMap.containsKey(n)) \{  
//备忘录有，即计算过，直接返回  
return tempMap.get(n);  
\} else \{  
// 备忘录没有，即没有计算过，执行递归计算,并且把结果保存到备忘录map中，对1000000007取余（这个是leetcode题目规定的）  
tempMap.put(n, (numWays(n - 1) + numWays(n - 2)) % 1000000007);  
return tempMap.get(n);  
\}  
\}  
\}  
去leetcode提交一下，如图，稳了：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MjIxNDM2_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]

其实，还可以用动态规划解决这道题。

自底向上的动态规划  
动态规划跟带备忘录的递归解法基本思想是一致的，都是减少重复计算，时间复杂度也都是差不多。但是呢：

带备忘录的递归，是从f(10)往f(1）方向延伸求解的，所以也称为自顶向下的解法。  
动态规划从较小问题的解，由交叠性质，逐步决策出较大问题的解，它是从f(1)往f(10）方向，往上推求解，所以称为自底向上的解法。  
动态规划有几个典型特征，最优子结构、状态转移方程、边界、重叠子问题。在青蛙跳阶问题中：

f(n-1)和f(n-2) 称为 f(n) 的最优子结构  
f(n)= f（n-1）+f（n-2）就称为状态转移方程  
f(1) = 1, f(2) = 2 就是边界啦  
比如f(10)= f(9)+f(8),f(9) = f(8) + f(7) ,f(8)就是重叠子问题。  
我们来看下自底向上的解法，从f(1)往f(10）方向，想想是不是直接一个for循环就可以解决啦，如下：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MjIxNDM2_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]

带备忘录的递归解法，空间复杂度是O(n)，但是呢，仔细观察上图，可以发现，f（n）只依赖前面两个数，所以只需要两个变量a和b来存储，就可以满足需求了，因此空间复杂度是O(1)就可以啦

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MjIxNDM2_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]

动态规划实现代码如下：

public class Solution \{  
public int numWays(int n) \{  
if (n<= 1) \{  
return 1;  
\}  
if (n == 2) \{  
return 2;  
\}  
int a = 1;  
int b = 2;  
int temp = ;  
for (int i = 3; i <= n; i++) \{  
temp = (a + b)% 1000000007;  
a = b;  
b = temp;  
\}  
return temp;  
\}  
\}  
动态规划的解题套路  
什么样的问题可以考虑使用动态规划解决呢？  
★如果一个问题，可以把所有可能的答案穷举出来，并且穷举出来后，发现存在重叠子问题，就可以考虑使用动态规划。”  
比如一些求最值的场景，如最长递增子序列、最小编辑距离、背包问题、凑零钱问题等等，都是动态规划的经典应用场景。

动态规划的解题思路  
动态规划的核心思想就是拆分子问题，记住过往，减少重复计算。 并且动态规划一般都是自底向上的，因此到这里，基于青蛙跳阶问题，我总结了一下我做动态规划的思路：

穷举分析  
确定边界  
找出规律，确定最优子结构  
写出状态转移方程

1.  穷举分析  
    当台阶数是1的时候，有一种跳法，f（1） =1  
    当只有2级台阶时，有两种跳法，第一种是直接跳两级，第二种是先跳一级，然后再跳一级。即f(2) = 2;  
    当台阶是3级时，想跳到第3级台阶，要么是先跳到第2级，然后再跳1级台阶上去，要么是先跳到第 1级，然后一次迈 2 级台阶上去。所以f(3) = f(2) + f(1) =3  
    当台阶是4级时，想跳到第3级台阶，要么是先跳到第3级，然后再跳1级台阶上去，要么是先跳到第 2级，然后一次迈 2 级台阶上去。所以f(4) = f(3) + f(2) =5  
    当台阶是5级时…  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MjIxNDM2_size_16_color_FFFFFF_t_70 11]

自底向上的动态规划  
2. 确定边界  
通过穷举分析，我们发现，当台阶数是1的时候或者2的时候，可以明确知道青蛙跳法。f（1） =1，f(2) = 2，当台阶n>=3时，已经呈现出规律f(3) = f(2) + f(1) =3，因此f（1） =1，f(2) = 2就是青蛙跳阶的边界。

1.  找规律，确定最优子结构  
    n>=3时，已经呈现出规律 f(n) = f(n-1) + f(n-2) ，因此，f(n-1)和f(n-2) 称为 f(n) 的最优子结构。什么是最优子结构？有这么一个解释：

★一道动态规划问题，其实就是一个递推问题。假设当前决策结果是f(n),则最优子结构就是要让 f(n-k) 最优,最优子结构性质就是能让转移到n的状态是最优的,并且与后面的决策没有关系,即让后面的决策安心地使用前面的局部最优解的一种性质”  
4， 写出状态转移方程  
通过前面3步，穷举分析，确定边界，最优子结构，我们就可以得出状态转移方程啦：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MjIxNDM2_size_16_color_FFFFFF_t_70 12]

1.  代码实现  
    我们实现代码的时候，一般注意从底往上遍历哈，然后关注下边界情况，空间复杂度，也就差不多啦。动态规划有个框架的，大家实现的时候，可以考虑适当参考一下：

dp\[\]\[\]\[…\] = 边界值  
for(状态1 ：所有状态1的值)\{  
for(状态2 ：所有状态2的值)\{  
for(…)\{  
//状态转移方程  
dp\[状态1\]\[状态2\]\[…\] = 求最值  
\}  
\}  
\}  
leetcode案例分析  
我们一起来分析一道经典leetcode题目吧

★给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。”  
示例 1：

输入：nums = \[10,9,2,5,3,7,101,18\]  
输出：4  
解释：最长递增子序列是 \[2,3,7,101\]，因此长度为 4 。  
示例 2：

输入：nums = \[0,1,0,3,2,3\]  
输出：4  
我们按照以上动态规划的解题思路，

穷举分析  
确定边界  
找规律，确定最优子结构  
状态转移方程  
1.穷举分析  
因为动态规划，核心思想包括拆分子问题，记住过往，减少重复计算。 所以我们在思考原问题：数组num\[i\]的最长递增子序列长度时，可以思考下相关子问题，比如原问题是否跟子问题num\[i-1\]的最长递增子序列长度有关呢？

自底向上的穷举  
这里观察规律，显然是有关系的，我们还是遵循动态规划自底向上的原则，基于示例1的数据，从数组只有一个元素开始分析。

当nums只有一个元素10时，最长递增子序列是\[10\],长度是1.  
当nums需要加入一个元素9时，最长递增子序列是\[10\]或者\[9\],长度是1。  
当nums再加入一个元素2时，最长递增子序列是\[10\]或者\[9\]或者\[2\],长度是1。  
当nums再加入一个元素5时，最长递增子序列是\[2,5\],长度是2。  
当nums再加入一个元素3时，最长递增子序列是\[2,5\]或者\[2,3\],长度是2。  
当nums再加入一个元素7时，,最长递增子序列是\[2,5,7\]或者\[2,3,7\],长度是3。  
当nums再加入一个元素101时，最长递增子序列是\[2,5,7,101\]或者\[2,3,7,101\],长度是4。  
当nums再加入一个元素18时，最长递增子序列是\[2,5,7,101\]或者\[2,3,7,101\]或者\[2,5,7,18\]或者\[2,3,7,18\],长度是4。  
当nums再加入一个元素7时,最长递增子序列是\[2,5,7,101\]或者\[2,3,7,101\]或者\[2,5,7,18\]或者\[2,3,7,18\],长度是4.  
分析找规律，拆分子问题  
通过上面分析，我们可以发现一个规律：

如果新加入一个元素nums\[i\], 最长递增子序列要么是以nums\[i\]结尾的递增子序列，要么就是nums\[i-1\]的最长递增子序列。看到这个，是不是很开心，nums\[i\]的最长递增子序列已经跟子问题 nums\[i-1\]的最长递增子序列有关联了。

原问题数组nums\[i\]的最长递增子序列 = 子问题数组nums\[i-1\]的最长递增子序列/nums\[i\]结尾的最长递增子序列  
是不是感觉成功了一半呢？但是如何把nums\[i\]结尾的递增子序列也转化为对应的子问题呢？要是nums\[i\]结尾的递增子序列也跟nums\[i-1\]的最长递增子序列有关就好了。又或者nums\[i\]结尾的最长递增子序列，跟前面子问题num\[j\]（0=<j<i）结尾的最长递增子序列有关就好了，带着这个想法，我们又回头看看穷举的过程：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MjIxNDM2_size_16_color_FFFFFF_t_70 13]

nums\[i\]的最长递增子序列，不就是从以数组num\[i\]每个元素结尾的最长子序列集合，取元素最多（也就是长度最长）那个嘛，所以原问题，我们转化成求出以数组nums每个元素结尾的最长子序列集合，再取最大值嘛。哈哈，想到这，我们就可以用dp\[i\]表示以num\[i\]这个数结尾的最长递增子序列的长度啦，然后再来看看其中的规律：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MjIxNDM2_size_16_color_FFFFFF_t_70 14]

其实，nums\[i\]结尾的自增子序列，只要找到比nums\[i\]小的子序列，加上nums\[i\] 就可以啦。显然，可能形成多种新的子序列，我们选最长那个，就是dp\[i\]的值啦

★  
nums\[3\]=5,以5结尾的最长子序列就是\[2,5\],因为从数组下标0到3遍历，只找到了子序列\[2\]比5小，所以就是\[2\]+\[5\]啦，即dp\[4\]=2  
nums\[4\]=3,以3结尾的最长子序列就是\[2,3\],因为从数组下标0到4遍历，只找到了子序列\[2\]比3小，所以就是\[2\]+\[3\]啦，即dp\[4\]=2  
nums\[5\]=7，以7结尾的最长子序列就是\[2,5,7\]和\[2,3,7\],因为从数组下标0到5遍历，找到2,5和3都比7小，所以就有\[2,7\],\[5,7\],\[3,7\],\[2,5,7\]和\[2,3,7\]这些子序列，最长子序列就是\[2,5,7\]和\[2,3,7\]，它俩不就是以5结尾和3结尾的最长递增子序列+\[7\]来的嘛！所以，dp\[5\]=3 =dp\[3\]+1=dp\[4\]+1。  
”  
很显然有这个规律：一个以nums\[i\]结尾的数组nums

如果存在j属于区间\[0，i-1\],并且num\[i\]>num\[j\]的话，则有:  
dp(i) =max(dp(j))+1，  
最简单的边界情况  
当nums数组只有一个元素时，最长递增子序列的长度dp(1)=1,当nums数组有两个元素时，dp(2) =2或者1， 因此边界就是dp(1)=1。

确定最优子结构  
从穷举分析，我们可以得出，以下的最优结构：

dp(i) =max(dp(j))+1，存在j属于区间\[，i-1\],并且num\[i\]>num\[j\]。  
max(dp(j)) 就是最优子结构。

状态转移方程  
通过前面分析，我们就可以得出状态转移方程啦：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5MjIxNDM2_size_16_color_FFFFFF_t_70 15]

所以数组nums\[i\]的最长递增子序列就是：

最长递增子序列 =max(dp\[i\])  
代码实现  
class Solution \{  
public int lengthOfLIS(int\[\] nums) \{  
if (nums.length == ) \{  
return ;  
\}  
int\[\] dp = new int\[nums.length\];  
//初始化就是边界情况  
dp\[\] = 1;  
int maxans = 1;  
//自底向上遍历  
for (int i = 1; i < nums.length; i++) \{  
dp\[i\] = 1;  
//从下标到i遍历  
for (int j = ; j < i; j++) \{  
//找到前面比nums\[i\]小的数nums\[j\],即有dp\[i\]= dp\[j\]+1  
if (nums\[j\] < nums\[i\]) \{  
//因为会有多个小于nums\[i\]的数，也就是会存在多种组合了嘛，我们就取最大放到dp\[i\]  
dp\[i\] = Math.max(dp\[i\], dp\[j\] + 1);  
\}  
\}  
//求出dp\[i\]后，dp最大那个就是nums的最长递增子序列啦  
maxans = Math.max(maxans, dp\[i\]);  
\}  
return maxans;  
\}  
\}

原文链接：[http://ym.baisou.ltd/?id=494][http_ym.baisou.ltd_id_494]

[leetcode]: http://github.crmeb.net/u/defu
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