算法——动态规划算法（Java代码实现）

谁践踏了优雅 2023-02-13 05:49 4阅读 0赞

动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法  
动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

动态规划与分治法不同的是：

1.  适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。(即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解)
2.  动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

背包问题

有一个背包，背包总承重3斤

要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出，以及装入的物品不能重复。

思路分析：  
背包问题主要是指- 一个给定容量的背包、若干具有-定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是:每种物品都有无限件可用)这里的问题属于01背包，即每个物品最多放-一个。而无限背包可以转化为01背包。

将其进行制表：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQ0OTczMTU5_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
这个时候我们只需要根据原先给出的图用代码进行转换既可以了。  
算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据 w\[i\]和v\[i\]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v\[i\]、 w\[i\]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v\[i\] \[j\] 表示在前个物品中能够装入容量为 j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果:

*  `v [i] [0] = v [0] [j] =0` 表示第一行和第一列都是0
 *  当 `w[i] > j 时，v [i] [j] = v [i-1] [j]` 当准备加入新增的商品的容量大于当前背包的容量 i 时，就直接使用上一个单元格的装入策略
 *  当 `j >= w[i]时，v[i] [j] = max {v[i-1][j]，v[i - 1][j - w[i-1 ]] + v[i]}` 当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量，  
    // 装入的方式:  
    `v[i-1][j]`：就是上一个单元格的装入的最大值  
    `v[i]`：表示当前商品的价值  
    `v[i-1][j-w[i]]`: 装入i-1商品， 到剩余空间 j - w\[i\] 的最大值

代码实现：

package DynamicProgramming;
    
    public class knapsack { 
    	public static void main(String[] args) { 
    		int[] w = {  3, 4, 1 };// 物品的重量
    		int[] value = {  3000, 4000, 2000 }; // 物品的价格
    		int m = 4; // 总容量
    		int n = value.length; // 物品的个数
    		// 使用一个二维数组用于存放搭配方案
    		int[][] path = new int[n + 1][m + 1];
    		// 使用二维数组表示 表格
    		int[][] v = new int[n + 1][m + 1];
    		// 对数组进行初始化
    		for (int i = 0; i < v.length; i++) { 
    			v[i][0] = 0;
    		}
    		for (int i = 0; i < v[0].length; i++) { 
    			v[0][i] = 0;
    		}
    		// 对表格进行处理
    		for (int i = 1; i < v.length; i++) { 
    			for (int j = 1; j < v[0].length; j++) { 
    				if (w[i - 1] > j) { 
    					v[i][j] = v[i - 1][j];
    				} else { 
    					// v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], v[i - 1][j - w[i - 1]] + value[i - 1]);
    					if (v[i - 1][j] < v[i - 1][j - w[i - 1]] + value[i - 1]) { 
    						v[i][j] = v[i - 1][j - w[i - 1]] + value[i - 1];
    						path[i][j] = 1;
    					} else { 
    						v[i][j] = v[i - 1][j];
    					}
    				}
    			}
    		}
    		for (int i = 0; i < v.length; i++) { 
    			for (int j = 0; j < v[i].length; j++) { 
    				System.out.print(v[i][j] + " ");
    			}
    			System.out.println();
    		}
    		//从后往前进行遍历
    		int i = path.length-1;
    		int j = path[0].length-1;
    		while(i>0&&j>0) { 
    			if (path[i][j]==1) { 
    				System.out.printf("第%d个物品放入背包\n",i);
    				j-=w[i-1];
    			}
    			i--;
    		}
    	}
    }

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