算法_搜索排序

墨蓝 2023-02-15 15:54 95阅读 0赞

## 搜索 ##

### 顺序查找 ###

顺序查找：在python list中，数据项存储位置称为下标（index），通过下标，我们就可以按照顺序来访问和查找数据项

**无序表的循序排序**

def SequentialSearch(alist, item):
        pos = 0
        found = False
    
        while pos < len(alist) and not found:
            if alist[pos] == item:
                found = True
            else:
                pos += 1
        return found
    
    
    testlist = [1, 2, 32, 8, 17, 19, 42, 13]
    print(SequentialSearch(testlist, 3))

顺序查找的算法复杂度是O(n)

**无序表循序排序搜索的比对**

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>Case</th> 
   <th>Bset Case</th> 
   <th>Worst Case</th> 
   <th>Average Case</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>item is present</td> 
   <td>1</td> 
   <td>n</td> 
   <td>n/2</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>item is not present</td> 
   <td>n</td> 
   <td>n</td> 
   <td>n</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

**有序表的循序排序**

def orderSequentialSearch(alist, item):
        pos = 0
        found = False
        stop = False
    
        while pos < len(alist) and not found and not stop:
            if alist[pos] == item:
                found = True
            else:
                if alist[pos] > item:
                    stop = True
                else:
                    pos += 1
        return found
    
    
    testlist = [0, 1, 2, 8, 13, 17, 19, 32, 42]
    print(orderSequentialSearch(testlist, 3))

顺序查找的算法复杂度是O(n)

**有序表循序排序搜索的比对**

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>Case</th> 
   <th>Bset Case</th> 
   <th>Worst Case</th> 
   <th>Average Case</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>item is present</td> 
   <td>1</td> 
   <td>n</td> 
   <td>n/2</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>item is not present</td> 
   <td>1</td> 
   <td>n</td> 
   <td>n/2</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

### 二分查找 ###

二分查找体现解决问题典型策略：分而治之

*  将问题分为若干更小规模的部分
 *  通过解决每一个小规模部分问题，并将结果汇总得到原问题的解

def BinarySearch(alist, item):
        first = 0
        last = len(alist) - 1
        found = False
    
        while first <= last and not found:
            midpoint = (first + last) // 2
            if alist[midpoint] == item:
                found = True
            else:
                if item < alist[midpoint]:
                    last = midpoint - 1
                else:
                    first = midpoint + 1
        return found
    
    
    testlist = [0, 1, 2, 8, 13, 17, 19, 32, 42]
    print(BinarySearch(testlist, 17))

二分法也适用递归算法来实现

def BinarySearch(alist, item):
        if len(alist) == 0:
            return False
        else:
            midpoint = len(alist) // 2
            if alist[midpoint] == item:
                return True
            else:
                if item < alist[midpoint]:
                    return BinarySearch(alist[:midpoint], item)
                else:
                    return BinarySearch(alist[midpoint+1:], item)
    
    
    testlist = [0, 1, 2, 8, 13, 17, 19, 32, 42]
    print(BinarySearch(testlist, 14))

这个递归调用使用列表切片，而切片操作的复杂度是O(k)，这样会使整个算法的时间复杂度稍有增加

![时间复杂度][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4Njg5Mzk1_size_16_color_FFFFFF_t_70]

所以二分查找的算法复杂度是O(log(n))

虽然二分查找在时间复杂复杂度上优于顺序查找，但也要考虑到对数据项进行排序的开销

## 排序 ##

可视化：[https://visualgo.net/zh][https_visualgo.net_zh]

![排序算法][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4Njg5Mzk1_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

主流的排序算法可以分为3大类：

1.  时间复杂度为O(n²)的排序算法
    
     *  冒泡排序
     *  选择排序
     *  插入排序
     *  希尔排序（希尔排序比较特殊，它的性能略优于O(n²)，但又比不上O(n log n)，姑且把它归入本类）
2.  时间复杂度为O(n log n)的排序算法
    
     *  归并排序
     *  快速排序
     *  堆排序
3.  时间复杂度为线性的排序算法
    
     *  计数排序
     *  桶排序
     *  基数排序

[十大经典排序算法总结][Link 1]

### 冒泡排序 ###

*  时间复杂度：O(n²)
 *  空间复杂度：O(1)

冒泡排序：对一个列表多次重复遍历，它要比较相邻的两项，并且交换顺序排错的项

![冒泡排序][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4Njg5Mzk1_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

算法过程总需要n-1趟，随着趟数的增加，比对次数逐步从n-1减少到1，并包括可能发生的数据项交换

对比次数是 1 ~ n-1 的累加：`1/2 n²-1/2 n`

比对的时间复杂度是O(n²)

*  最好：列表在排序前已经有序，交换次数是0
 *  最差：每次对比都要进行交换，交换次数等于对比次数

#### 冒泡排序 ####

python版本

def BubbleSort(alist):
        for passnum in range(len(alist)-1, 0, -1):
            for i in range(passnum):
                if alist[i] > alist[i+1]:
                    alist[i], alist[i+1] = alist[i+1], alist[i]
    
    
    testlist = [1, 2, 32, 8, 17, 19, 42, 13]
    BubbleSort(testlist)
    print(testlist)

js版本

优势：无需任何额外的存储空间开销（顺序表、链表都适用）

#### 冒泡排序：性能优化 ####

1.  通过监测每趟比对是否发生过交换，可以提前确定排序是否完成
2.  我们在每一轮排序后，记录下最后一次元素交换的位置，该位置即为无序数列的边界，再往后就是有序区了

**短路冒泡排序**

python版本

def BubbleSort2(alist):
        # 记录最后一次交换的位置
        last_exchange_index = 0
        # 无序数列的边界，每次比较只需要比到这里
        passnum = len(alist) - 1
        exchanges = True
        while passnum > 0 and exchanges:
            # 假定每一轮不需要进行交换
            exchanges = False
            for i in range(passnum):
                if alist[i] > alist[i+1]:
                    alist[i], alist[i+1] = alist[i+1], alist[i]
                    # 有元素交换，所以不是有序的，需要进行交换
                    exchanges = True
                    # 把无序数列的边界更新为最后一次交换元素的位置
                    last_exchange_index = i
            passnum = last_exchange_index
    
    testlist = [1, 2, 32, 8, 17, 19, 42, 13]
    BubbleSort2(testlist)
    print(testlist)

js版本

#### 冒泡排序：鸡尾酒排序 ####

冒泡排序算法每一轮都是从左到右，并进行单向的位置交换的

鸡尾酒排序的元素比较和交换过程是双向的

python版本

def BubbleSort3(alist):
        low = 0
        high = len(alist) - 1
        exchanges = True
        while high > low and exchanges:
            exchanges = False
            for i in range(low,high):
                if alist[i] > alist[i+1]:
                    alist[i], alist[i+1] = alist[i+1], alist[i]
                    exchanges = True
            high -= 1
            for j in range(high,low,-1):
                if alist[j] < alist[j-1]:
                    alist[j], alist[j-1] = alist[j-1], alist[j]
                    exchanges = True
            low += 1
    
    testlist = [1, 2, 32, 8, 17, 19, 42, 13]
    BubbleSort3(testlist)
    print(testlist)

js版本

### 选择排序 ###

*  时间复杂度：O(n²)
 *  空间复杂度：O(1)

选择排序提高了冒泡排序的性能，它每遍历一次列表只交换一次数据，即进行一次遍历时找到数据的最大的项，完成遍历后，再把它交换到正确的位置

*  比对次数不变，还是O(n²)
 *  交换次数减少为O(n)

![选择排序][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4Njg5Mzk1_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

python版本

def SelectionSort(alist):
        for fillslot in range(len(alist)-1, 0, -1):
            positionOfMax = 0
            for location in range(1, fillslot+1):
                if alist[location] > alist[positionOfMax]:
                    positionOfMax = location
            alist[fillslot], alist[positionOfMax] = alist[positionOfMax], alist[fillslot]
    
    
    testlist = [1, 2, 32, 8, 17, 19, 42, 13]
    SelectionSort(testlist)
    print(testlist)

js版本

### 插入排序 ###

*  时间复杂度：O(n²)
 *  空间复杂度：O(1)

插入排序 总是维持一个位置靠前的已排好的子表，然后每一个新的数据项被“插入”到前面的子表里，排好的子表增加一项（类似整理扑克牌）

![插入排序][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4Njg5Mzk1_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

算法复杂度仍是O(n²)

*  最好：列表已经排好序的时候，每趟仅需1次对比，总次数是O(n)
 *  最差：每趟都与子列表中所有项进行比对，总比对次数与冒泡排序相同，数量级是O(n²)

由于移动操作仅包含1次赋值，是交换操作的 1/3，所以插入排序性会较好一些

#### 插入排序 ####

python版本

def InsertSort(alist):
        # index是新项的位置
        for index in range(1, len(alist)):
            currentValue = alist[index]
            # 把新项取出来后，index位置空出来了
            position = index
            # 从新项前面的位置倒着往前走，进行比对移动
            while position > 0 and alist[position-1] > currentValue:
                alist[position] = alist[position-1]
                position -= 1
            alist[position] = currentValue
    
    
    testlist = [1, 2, 32, 8, 17, 19, 42, 13]
    InsertSort(testlist)
    print(testlist)

js版本

#### 折半插入排序 ####

*  待查找位置下标 \[low, high\]
 *  每次跟中间元素对比 mid=(low+high)/2
 *  根据对比结果，调整查找范围 (改变low或high)
    
    x>arr\[mid\] -> low=mid+1
    
    x<arr\[mid\] -> high=mid-1
 *  反复查找，找到插入位置 high+1
 *  挪到元素 从last -> high+1
 *  插入元素 x -> high+1

python版本

def InsertSort(alist):
        for index in range(1, len(alist)):
            low, high = 0, index-1
            currentValue = alist[index]
            # 用二分法找插入位置
            # high+1 就是插入位置
            while low <= high:
                mid = (low + high) // 2
                if currentValue <= alist[mid]:
                    high = mid - 1
                else:
                    low = mid + 1
            # 挪动元素
            for j in range(index, high, -1):
                alist[j] = alist[j-1]
            # 插入元素
            alist[high+1] = currentValue
    
    testlist = [1, 2, 32, 8, 17, 19, 42, 13]
    InsertSort(testlist)
    print(testlist)

js版本

### 希尔排序 ###

*  时间复杂度：O(n log n)
 *  空间复杂度：O(1)

希尔排序（缩小间隔排序） 它以插入排序为基础，将原来要排序的列表划分为一些子列表，再对每一个子列表进行插入排序，再对每一个子列表执行插入排序

这里有一个含九个元素的列表，如果我们以3为间隔来划分，就会出现三个子列表，每一个可以执行插入排序

![希尔排序][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4Njg5Mzk1_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]

由于每趟都能使得列表更加接近有序，这过程会减少很多原先需要的“无效”比对

*  希尔排序时间复杂度大致介于 O(n) ~ O(n²)
 *  如果时间间隔保持在 2k-1(1、3、5、7、15、31等)，时间复杂度大约为O(n3/2)

解释：

1.  选择增量 `gap=len(arr)/2` ，缩小增量继续以 `gap=gap/2` 的方式
2.  初始增量为 `gap=len(arr)/2=x` ，整个数组分成了x组
3.  对这分开的x组分别使用插入排序
4.  缩小增量 `gap=gap/2` ，整哥数组分成了 x/2 组
5.  对这分开的 x/2 组分别使用插入排序
6.  直到整个数组只剩1组，只需要进行微调即可完成

python版本

def ShellSort(alist):
        sublistcount = len(alist) // 2
        while sublistcount > 0:
            for startposition in range(sublistcount):
                gapInsertionSort(alist, startposition, sublistcount)
            print("After increment of size", sublistcount, "The list is", alist)
            sublistcount //= 2
    
    
    def gapInsertionSort(alist, start, gap):
        for i in range(start+gap, len(alist), gap):
            currentValue = alist[i]
            position = i
            while position >= gap and alist[position-gap] > currentValue:
                alist[position] = alist[position-gap]
                position -= gap
            alist[position] = currentValue
    
    
    testlist = [1, 2, 32, 8, 17, 19, 42, 13]
    ShellSort(testlist)
    print(testlist)

js版本

js另一个版本(易理解)

### 归并排序 ###

*  时间复杂度：O(n log n)
 *  空间复杂度：O(n)

自顶向下细分，自底向下合并

归并排序 是递归算法，思路是将数据表持续分裂为两半，对两半分别进行归并排序

*  基本结束条件：数据表仅有1个数据，自然是排好序的
 *  缩小规模：将数据表分裂为相等的两半，规模减为原来的二分之一
 *  调用自身：将两半分别调用自身排序，然后将分别排好序的两半进行归并，得到排好序的数据表

![归并排序][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4Njg5Mzk1_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]

归并排序分为两个过程来分析：分裂和归并

*  分裂的过程，借鉴二分查找的分析结果，是对数复杂度，时间复杂度为O(log n)
 *  归并的过程，相对于分裂的每个部分，其所有数据项都会被比较和放置一次，所以是线性复杂度，其时间复杂度是O(n)
 *  综合考虑，每次分裂的部分窦性进行一次O(n)的数据项归并，总的时间复杂度是O(nlog n)

**具体步骤**

1.  递归切分当前数组
2.  如果当前数组数量小于等于1，无需排序，直接返回结果 `if (end-start<1)return`
3.  否则将当前数组分为两个子数组，递归排序这两个子数组 `mergeSort(array, start, mid)` `mergeSort(array, mid+1, end)`
4.  在子数组排序结束后，将子数组的结果归并成排好序的数组

python版本

def MergeSort(alist):
        if len(alist) > 1:
            mid = len(alist)//2
            lefthalf = alist[:mid]
            righthalf = alist[mid:]
            MergeSort(lefthalf)
            MergeSort(righthalf)
    
            i = j = k = 0
            while i < len(lefthalf) and j < len(righthalf):
                if lefthalf[i] < righthalf[j]:
                    alist[k] = lefthalf[i]
                    i = i+1
                # 拉链式交错把左右半部从小到大归并到结果列表中
                else:
                    alist[k] = righthalf[j]
                    j = j+1
                k = k+1
                # 归并左半部剩余项
            while i < len(lefthalf):
                alist[k] = lefthalf[i]
                i = i+1
                k = k+1
                # 归并右半部剩余项
            while j < len(righthalf):
                alist[k] = righthalf[j]
                j = j+1
                k = k+1
    
    
    testlist = [1, 2, 32, 8, 17, 19, 42, 13]
    MergeSort(testlist)
    print(testlist)

python另一个版本

def MergeSort2(alist):
        # 递归结束条件
        if len(alist) <= 1:
            return alist
        # 分解问题，并递归调用
        middle = len(alist)//2
        left = MergeSort2(alist[:middle])  # 左半部分排好序
        right = MergeSort2(alist[middle:])  # 右半部分排好序
        # 合并左右半部分，完成排序
        merged = []
        while left and right:  # 只要左右半部分都还有数据就进行合并
            if left[0] <= right[0]:  # 左半部分首部和右半部分首部进行对比
                merged.append(left.pop(0))  # 哪个小就添加到前面，同时把它删除掉
            else:
                merged.append(right.pop(0))
        # 循环后可能有剩也可能没有
        merged.extend(right if right else left)  # 无论左右只要还有剩的，就归并到列表的后面
        return merged
    
    
    testlist = [1, 2, 32, 8, 17, 19, 42, 13]
    test = MergeSort2(testlist)
    print(test)

js版本

### 快速排序 ###

*  时间复杂度：O(n log n)
 *  空间复杂度：O(log n)

快速排序思路：依据一个“中值”数据项来把数据表分为两半：小于中值的一般和大于中值的一般，然后每部分分别进行快速排序（递归）

*  基本结束条件：数据表仅有1个数据项，自然是排好序的
 *  缩小规模：依据“中值”，将数据表分为两半，最好情况是相等规模的两半
 *  调用自身：将两半分别调用自身进行排序（排序基本操作在分裂过程中）

![快速排序][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4Njg5Mzk1_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]

分裂数据表的目标：找到“中值”的位置

分裂数据表的首端

*  设置左右标（lefmark/rightmark）
 *  左标向右移动，右标向左移动
    
     *  左标一直向右移动，碰到比中值大的就停止
     *  右标一直向左移动，碰到比中值小的就停止
     *  然后把左右标所指的数据项交换
 *  继续移动，直到左标移动到右标的右侧，停止移动
 *  这时右标所指位置就是“中值”应处的位置
 *  将中值和这个位置交换
 *  分裂完成，左半部比中值小，右半部比中值大

**具体步骤**

1.  对于当前数组，取最后一个元素当做基准数（pivot）
2.  将所有比基准数小的元素排到基准数之前，比基准数大的排到基准数之后 `quickSort(array, left, partitionIndex-1)` `quickSort(array, partitionIndex+1, right)`
3.  当基准数被放到准确位置之后，根据基准数的位置将数组切分为前后两个子数组
4.  对子数组采用步骤1~4的递归操作，直到子数组的长度小于等于1为止

python版本

def QuickSort(alist):
        QuickSorkHelper(alist, 0, len(alist)-1)
    
    
    def QuickSorkHelper(alist, first, last):
        # 基本结束条件
        if first < last:
            splitpoint = partition(alist, first, last)
            QuickSorkHelper(alist, first, splitpoint - 1)
            QuickSorkHelper(alist, splitpoint+1, last)
    
    
    def partition(alist, first, last):
        # 选定中值
        pivotvalue = alist[first]
        # 左右标初始值
        leftmark = first + 1
        rightmark = last
        done = False
        while not done:
            # 向右移动左标
            while leftmark <= rightmark and alist[leftmark] <= pivotvalue:
                leftmark += 1
            while rightmark >= leftmark and alist[rightmark] >= pivotvalue:
                rightmark -= 1
            # 两标相错就结束移动
            if rightmark < leftmark:
                done = True
            else:
                # 左右标的值交换
                temp = alist[leftmark]
                alist[leftmark] = alist[rightmark]
                alist[rightmark] = temp
        # 中值就位
        temp = alist[first]
        alist[first] = alist[rightmark]
        alist[rightmark] = temp
        # 中值点，也是分裂点
        return rightmark
    
    
    testlist = [1, 2, 32, 8, 17, 19, 42, 13]
    QuickSort(testlist)
    print(testlist)

c版本（易理解）

#include <stdio.h>
    #include <windows.h>
    
    typedef int ElemType;
    
    void Swap(ElemType *p, ElemType *s)
    { 
        ElemType t;
        t = *p;
        *p = *s;
        *s = t;
    }
    
    void Qsort(ElemType A[], int left, int right)
    { 
        if (left >= right)
        { 
            return;
        }
        ElemType pivot = A[right];
    
        //1.选取一个基准值 pivot
        //2.把基准值元素与 最后一个元素交换
        //3.设置两个索引 i,j:
        // i从第一个元素开始往右遍历
        // j从倒数第二个元素开始往左遍历
        int i = left;
        int j = right - 1;
    
        for (;;)
        { 
            //4.两头同时开始遍历
            // i从左->右，找下一个比pivot大(>=)的元素
            while (A[i] < pivot)
                i++;
    
            // j从右->左，找下一个比pivot小的元素
            while (j >= 0 && A[j] >= pivot)
                j--;
    
            if (i < j)
            { 
                //5.交换
                //交换：把大的元素放在序列的右边
                // 把小的元素放在序列的左边
                Swap(&A[i], &A[j]);
            }
            else
            { 
                break;
            }
            //6.i指向的位置就是pivot的位置
            Swap(&A[i], &A[right]);
            //S1: A[left] ... A[i-1]
            Qsort(A, left, i - 1);
            //S2: A[i+1] ... A[right]
            Qsort(A, i + 1, right);
        }
    }
    
    //对数组A[n]进行一次快速排序
    void QuickSort(ElemType A[], int n)
    { 
        Qsort(A, 0, n - 1);
    }
    
    #define N 10
    int main()
    { 
        int i;
        int a[N];
        //从键盘随机输入一个数组
        for (i = 0; i < N; i++)
        { 
            scanf("%d", &a[i]);
        }
        //对数组进行一个快速排序
        QuickSort(a, N);
        //输出
        for (i = 0; i < N; i++)
        { 
            printf("%d ", a[i]);
        }
        printf("\n");
        system("pause");
        return 0;
    }

js版本

// 方法1
    function QuickSort1(arr, left, right) { 
        if (Object.prototype.toString.call(arr).slice(8, -1) === 'Array' && typeof left === 'number' && typeof right === 'number') { 
            if (left < right) { 
                var x = arr[right],
                    i = left - 1,
                    temp;
                for (var j = left; j <= right; j++) { 
                    if (arr[j] <= x) { 
                        i++;
                        temp = arr[i];
                        arr[i] = arr[j];
                        arr[j] = temp;
                    }
                }
                QuickSort1(arr, left, i - 1);
                QuickSort1(arr, i + 1, right);
            }
            return arr;
        } else { 
            return 'array is not an Array or left or right is not a number!';
        }
    }
    // 方法2
    var QuickSort2 = function (arr) { 
        if (arr.length <= 1) { 
            return arr;
        }
        var pivotIndex = Math.floor(arr.length / 2);
        //把中值删除
        var pivot = arr.splice(pivotIndex, 1)[0];
        var left = [];
        var right = [];
        for (var i = 0; i < arr.length; i++) { 
            if (arr[i] < pivot) { 
                left.push(arr[i]);
            } else { 
                right.push(arr[i]);
            }
        }
        return QuickSort2(left).concat([pivot], QuickSort2(right))
    }
    
    var arr = [1, 2, 32, 8, 17, 19, 42, 13];
    console.log(QuickSort1(arr, 0, arr.length - 1));
    console.log(QuickSort2(arr));

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[https_visualgo.net_zh]: https://visualgo.net/zh
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