AcWing 340. 通信线路（二分法详解）

约定不等于承诺〃 2023-02-18 08:20 1阅读 0赞

**题目描述**

在郊区有 N 座通信基站，P条 **双向** 电缆，第 i 条电缆连接基站Ai和Bi。特别地，1 号基站是通信公司的总站，N 号基站位于一座农场中。现在，农场主希望对通信线路进行升级，其中升级第 i 条电缆需要花费Li。电话公司正在举行优惠活动。农产主可以指定一条从 1 号基站到 N 号基站的路径，并指定路径上不超过 K 条电缆，由电话公司免费提供升级服务。农场主只需要支付在该路径上剩余的电缆中，升级价格最贵的那条电缆的花费即可。求至少用多少钱可以完成升级。

**输入格式**

第1行：三个整数N，P，K。

第2..P+1行：第 i+1 行包含三个整数Ai,Bi,Li。

**输出格式**

包含一个整数表示最少花费。

若1号基站与N号基站之间不存在路径，则输出”-1”。

**数据范围**

0≤K<N≤1000,  
1≤P≤10000,  
1≤Li≤1000000

**输入样例**

5 7 1
    1 2 5
    3 1 4
    2 4 8
    3 2 3
    5 2 9
    3 4 7
    4 5 6

**输出样例**

**解题思路**

该题的题意为，给定一个无向图，求一条从节点1到节点N的路线，去除掉该路线的前k大的值，比较剩下的最大的值，目标是找到最小的值；说的有点拗口，**实际上这道题是求一条路线，使这一条路线中第k+1大的值最小**。

求最大值最小，普遍方法是用二分法，给定一个值bound，判断路线中比bound大的值是否小于等于k个，如果是的话，说明bound是合法的，可以增大bound；如果大于k个，说明第k+1大的值比bound大，那么bound需要向大的方向更新，一次迭代最后寻找边界极线，即为最后结果，可参见代码。

**代码**

#include <cstring>
    #include <iostream>
    #include <algorithm>
    #include <deque>
    
    using namespace std;
    
    //N个节点，M条边
    const int N = 1010,M = 20010;
    
    int n,m,k;
    int h[N],e[M],w[M],ne[M],idx;
    int dist[N];
    deque<int>q;
    bool st[N];
    
    //建立邻接表
    void add(int u,int f,int c){
        ne[idx] = h[f];
        w[idx] = c;
        e[idx] = u;
        h[f] = idx++;
    }
    
    //二分检查
    //返回大于bound边数是否小于等于k
    bool check(int bound){
        memset(dist,0x3f,sizeof dist);
        memset(st,0,sizeof st);
        
        q.push_back(1);
        dist[1] = 0;
        
        while(q.size()){
            int t = q.front();
            q.pop_front();
            
            if(st[t])continue;
            st[t] = true;
            
            for(int i = h[t];i!=-1;i = ne[i]){
                int j = e[i],x = w[i]>bound;
                if(dist[j]>dist[t]+x){
                    dist[j] = dist[t] + x;
                    if(!x)q.push_front(j);
                    else q.push_back(j);
                }
            }
            
            
        }
        return dist[n]<=k;
    }
    
    
    int main(){
        cin>>n>>m>>k;
        memset(h,-1,sizeof h);
        
        while(m--){
            int a,b,c;
            cin>>a>>b>>c;
            add(a,b,c),add(b,a,c);
        }
        
        //二分查找最低的数值，在图中大于该数值的边的个数小于等于k条
        int l = 0,r = 1e6+1;
        while(l<r){
            int mid = l+r >> 1;
            if(check(mid)) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        //输出结果
        if(r==1e6+1)cout<<-1<<endl;
        else cout<<r<<endl;
        
        return 0;
        
    }