二分图

判断二分图

力扣链接

给定一个无向图graph，当这个图为二分图时返回true。

如果我们能将一个图的节点集合分割成两个独立的子集A和B，并使图中的每一条边的两个节点一个来自A集合，一个来自B集合，我们就将这个图称为二分图。

graph将会以邻接表方式给出，graph[i]表示图中与节点i相连的所有节点。每个节点都是一个在0到graph.length-1之间的整数。这图中没有自环和平行边： graph[i] 中不存在i，并且graph[i]中没有重复的值。

示例 1:
输入: [[1,3], [0,2], [1,3], [0,2]]
输出: true
解释: 
无向图如下:
0----1
|    |
|    |
3----2
我们可以将节点分成两组: {0, 2} 和 {1, 3}。
示例 2:
输入: [[1,2,3], [0,2], [0,1,3], [0,2]]
输出: false
解释: 
无向图如下:
0----1
| \  |
|  \ |
3----2
我们不能将节点分割成两个独立的子集。
注意:
graph 的长度范围为 [1, 100]。
graph[i] 中的元素的范围为 [0, graph.length - 1]。
graph[i] 不会包含 i 或者有重复的值。
图是无向的: 如果j 在 graph[i]里边, 那么 i 也会在 graph[j]里边。

解法

如果可以用两种颜色对图中的节点进行着色，并且保证相邻的节点颜色不同，那么这个图就是二分图。

class Solution {
    public boolean isBipartite(int[][] graph) {
        int m = graph.length;
        int[] colors = new int[m];
        Arrays.fill(colors, -1);
        for (int i = 0; i < m; i++) {
     // 处理图不连通的情况
            if (colors[i] == -1 && !isBipartite(i, 0, colors, graph)) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    private boolean isBipartite(int curNode, int curColor, int[] colors, int[][] graph) {
        if (colors[curNode] != -1) {
            return colors[curNode] == curColor;
        }
        colors[curNode] = curColor;
        for (int nextNode : graph[curNode]) {
            if (!isBipartite(nextNode, 1 - curColor, colors, graph)) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

拓扑排序

课程表

力扣连接

你这个学期必须选修 numCourse 门课程，记为 0 到 numCourse-1 。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示他们：[0,1]

给定课程总量以及它们的先决条件，请你判断是否可能完成所有课程的学习？

示例 1:
输入: 2, [[1,0]] 
输出: true
解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0。所以这是可能的。
示例 2:
输入: 2, [[1,0],[0,1]]
输出: false
解释: 总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成课程 0；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1。这是不可能的。
提示：
输入的先决条件是由 边缘列表 表示的图形，而不是 邻接矩阵 。详情请参见图的表示法。
你可以假定输入的先决条件中没有重复的边。
1 <= numCourses <= 10^5

解法

本题不需要使用拓扑排序，只需要检测有向图是否存在环即可。

class Solution {
    public boolean canFinish(int numCourses, int[][] prerequisites) {
        List<Integer>[] graph = new ArrayList[numCourses];
        for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
            graph[i] = new ArrayList<>();
        }
        for (int[] pre : prerequisites) {
            graph[pre[0]].add(pre[1]);
        }
        int[] flag = new int[numCourses];
        for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
            if (hasCycle(flag, graph, i)) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    private boolean hasCycle(int[] flag, List<Integer>[] graph, int i) {
        if (flag[i] == 1) {
            return true;
        }
        if (flag[i] == -1) {
            return false;
        }
        flag[i] = 1;
        for (int nextNode : graph[i]) {
            if (hasCycle(flag, graph, nextNode)) {
                return true;
            }
        }
        flag[i] = -1;
        return false;
    }
}

课程表 II

力扣连接

现在你总共有 n 门课需要选，记为 0 到 n-1。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。例如，想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 ，我们用一个匹配来表示他们: [0,1]

给定课程总量以及它们的先决条件，返回你为了学完所有课程所安排的学习顺序。

可能会有多个正确的顺序，你只要返回一种就可以了。如果不可能完成所有课程，返回一个空数组。

示例 1:
输入: 2, [[1,0]] 
输出: [0,1]
解释: 总共有 2 门课程。要学习课程 1，你需要先完成课程 0。因此，正确的课程顺序为 [0,1] 。
示例 2:
输入: 4, [[1,0],[2,0],[3,1],[3,2]]
输出: [0,1,2,3] or [0,2,1,3]
解释: 总共有 4 门课程。要学习课程 3，你应该先完成课程 1 和课程 2。并且课程 1 和课程 2 都应该排在课程 0 之后。
     因此，一个正确的课程顺序是 [0,1,2,3] 。另一个正确的排序是 [0,2,1,3] 。
说明:
输入的先决条件是由边缘列表表示的图形，而不是邻接矩阵。详情请参见图的表示法。
你可以假定输入的先决条件中没有重复的边。
提示:
这个问题相当于查找一个循环是否存在于有向图中。如果存在循环，则不存在拓扑排序，因此不可能选取所有课程进行学习。
通过 DFS 进行拓扑排序 - 一个关于Coursera的精彩视频教程（21分钟），介绍拓扑排序的基本概念。
拓扑排序也可以通过 BFS 完成。

解法

跟上题类似，稍微改改就行。

class Solution {
    private Queue<Integer> quque = new LinkedList<>();
    public int[] findOrder(int numCourses, int[][] prerequisites) {
        List<Integer>[] graph = new ArrayList[numCourses];
        for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
            graph[i] = new ArrayList<>();
        }
        for (int[] pre : prerequisites) {
            graph[pre[0]].add(pre[1]);
        }
        int[] flag = new int[numCourses];
        for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
            if (hasCycle(flag, graph, i)) {
                return new int[0];
            }
        }
        int[] res = new int[numCourses];
        for (int i = 0; i < numCourses; i++) {
            res[i] = quque.poll();
        }
        return res;
    }
    private boolean hasCycle(int[] flag, List<Integer>[] graph, int i) {
        if (flag[i] == 1) {
            return true;
        }
        if (flag[i] == -1) {
            return false;
        }
        flag[i] = 1;
        for (int nextNode : graph[i]) {
            if (hasCycle(flag, graph, nextNode)) {
                return true;
            }
        }
        flag[i] = -1;
        quque.offer(i);
        return false;
    }
}

并查集

冗余连接

力扣连接

在本问题中, 树指的是一个连通且无环的无向图。

输入一个图，该图由一个有着N个节点 (节点值不重复1, 2, …, N) 的树及一条附加的边构成。附加的边的两个顶点包含在1到N中间，这条附加的边不属于树中已存在的边。

结果图是一个以边组成的二维数组。每一个边的元素是一对[u, v] ，满足 u < v，表示连接顶点u 和v的无向图的边。

返回一条可以删去的边，使得结果图是一个有着N个节点的树。如果有多个答案，则返回二维数组中最后出现的边。答案边 [u, v] 应满足相同的格式 u < v。

示例 1：
输入: [[1,2], [1,3], [2,3]]
输出: [2,3]
解释: 给定的无向图为:
  1
 / \
2 - 3
示例 2：
输入: [[1,2], [2,3], [3,4], [1,4], [1,5]]
输出: [1,4]
解释: 给定的无向图为:
5 - 1 - 2
    |   |
    4 - 3
注意:
输入的二维数组大小在 3 到 1000。
二维数组中的整数在1到N之间，其中N是输入数组的大小。

解法

class Solution {
    public int[] findRedundantConnection(int[][] edges) {
        int N = edges.length;
        UF uf = new UF(N);
        for (int[] e : edges) {
            int u = e[0], v = e[1];
            if (uf.connect(u, v)) {
                return e;
            }
            uf.union(u, v);
        }
        return new int[]{
    -1, -1};
    }
    private class UF {
        private int[] id;
        UF(int N) {
            id = new int[N + 1];
            for (int i = 0; i < N + 1; i++) {
                id[i] = i;
            }
        }
        void union(int u, int v) {
            int uId = getRoot(u);
            int vId = getRoot(v);
            if (uId == vId) {
                return;
            }
            // 将uId和vId合并入一个集合
            id[uId] = vId;
        }
        int getRoot(int a) {
            while (a != id[a]) {
                a = id[a];
            }
            return a;
        }
        boolean connect(int u, int v) {
            return getRoot(u) == getRoot(v);
        }
    }
}