[leetcode 309] 最佳买卖股票时机含冷冻期(python+动态规划多个转移方程）

￡神魔★判官ぃ 2023-02-25 02:16 33阅读 0赞

### 目录 ###

*   *  题目描述
     *  解题思路
     *   *   *  动态规划
     *  代码实现
     *  Tips

## 题目描述 ##

给定一个整数数组，其中第  i i i 个元素代表了第  i i i 天的股票价格 。

设计一个算法计算出`最大利润`。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

*  你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
 *  卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

**示例:**

> 输入: \[1,2,3,0,2\]  
> 输出: 3  
> 解释: 对应的交易状态为: \[买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出\]

> 来源：力扣（LeetCode）  
> 链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown

## 解题思路 ##

对于`股票买卖问题`，常用的方法是将`买入`和`卖出`分开进行考虑：`买入`为`负收益`，而`卖出`为`正收益`。  
初入股市时只有买入的权利，只能获得负收益。而当买入之后就有了卖出的权利，可获得正收益。

显然，需要尽可能降低负收益而提高正收益，因此目标总是将收益值最大化。因此可以使用动态规划的方法，维护在股市中每一天结束后可以获得的`累计最大收益`，并以此进行状态转移，得到最终的答案。

#### 动态规划 ####

用  p \[ i \] p\[i\] p\[i\] 表示第  i i i 天结束之后的`累计最大收益`。根据题目描述，由于最多只能同时买入（持有）一支股票，并且卖出股票后有冷冻期的限制，因此有`三种不同的状态`：

`目前持有一支股票`，对应的「累计最大收益」记为  f \[ i \] \[ 0 \] f\[i\]\[0\] f\[i\]\[0\]；

`目前不持有任何股票，并且处于冷冻期中`，对应的「累计最大收益」记为  f \[ i \] \[ 1 \] f\[i\]\[1\] f\[i\]\[1\]；

`目前不持有任何股票，并且不处于冷冻期中`，对应的「累计最大收益」记为  f \[ i \] \[ 2 \] f\[i\]\[2\] f\[i\]\[2\]。

> 这里的`处于冷冻期`指的是在第 ii 天结束之后的状态。也就是说：如果第  i i i 天结束之后处于冷冻期，那么第  i + 1 i+1 i\+1 天无法买入股票。

**如何进行状态转移呢？**

在第  i i i 天时:

1.  在不违反规则的前提下进行「买入」或者「卖出」操作，此时第  i i i 天的状态会从第  i − 1 i-1 i−1 天的状态转移而来；
2.  不进行任何操作，此时第  i i i 天的状态就等同于第  i − 1 i-1 i−1 天的状态。

**分别对这三种状态进行分析：**

*  对于  f \[ i \] \[ 0 \] f\[i\]\[0\] f\[i\]\[0\]，目前持有的股票可以是在第  i − 1 i-1 i−1 天就已经持有的，对应  f \[ i − 1 \] \[ 0 \] f\[i-1\]\[0\] f\[i−1\]\[0\]；或者是第  i i i 天买入的，那么第  i − 1 i−1 i−1 天就不能持有股票并且不处于冷冻期中，对应  f \[ i − 1 \] \[ 2 \] f\[i-1\]\[2\] f\[i−1\]\[2\] 加上买入股票的负收益  p r i c e s \[ i \] prices\[i\] prices\[i\]。状态转移方程为：

f \[ i \] \[ 0 \] = max ⁡ ( f \[ i − 1 \] \[ 0 \] , f \[ i − 1 \] \[ 2 \] − p r i c e s \[ i \] ) f\[i\]\[0\] = \\max(f\[i-1\]\[0\], f\[i-1\]\[2\] - \{\\it prices\}\[i\]) f\[i\]\[0\]=max(f\[i−1\]\[0\],f\[i−1\]\[2\]−prices\[i\])

*  对于  f \[ i \] \[ 1 \] f\[i\]\[1\] f\[i\]\[1\]，在第  i i i 天结束之后处于冷冻期的原因是在当天卖出了股票，那么在第  i − 1 i-1 i−1 天时必须持有，对应的状态为  f \[ i − 1 \] \[ 0 \] f\[i-1\]\[0\] f\[i−1\]\[0\] 加上卖出股票的正收益  p r i c e s \[ i \] prices\[i\] prices\[i\]。状态转移方程为：

f \[ i \] \[ 1 \] = f \[ i − 1 \] \[ 0 \] + p r i c e s \[ i \] f\[i\]\[1\] = f\[i-1\]\[0\] + \{\\it prices\}\[i\] f\[i\]\[1\]=f\[i−1\]\[0\]\+prices\[i\]

*  对于  f \[ i \] \[ 2 \] f\[i\]\[2\] f\[i\]\[2\]，在第  i i i 天结束之后不持有任何股票并且不处于冷冻期，说明当天没有操作，即第  i − 1 i-1 i−1 天时不持有任何股票：
    
     *  如果不处于冷冻期: 状态为  f \[ i − 1 \] \[ 1 \] f\[i-1\]\[1\] f\[i−1\]\[1\]；
     *  如果处于冷冻期: 状态为  f \[ i − 1 \] \[ 2 \] f\[i-1\]\[2\] f\[i−1\]\[2\]。状态转移方程为：

f \[ i \] \[ 2 \] = max ⁡ ( f \[ i − 1 \] \[ 1 \] , f \[ i − 1 \] \[ 2 \] ) f\[i\]\[2\] = \\max(f\[i-1\]\[1\], f\[i-1\]\[2\]) f\[i\]\[2\]=max(f\[i−1\]\[1\],f\[i−1\]\[2\])

如果一共有  n n n 天，那么最终的答案即为：  
 max ⁡ ( f \[ n − 1 \] \[ 0 \] , f \[ n − 1 \] \[ 1 \] , f \[ n − 1 \] \[ 2 \] ) \\max(f\[n-1\]\[0\], f\[n-1\]\[1\], f\[n-1\]\[2\]) max(f\[n−1\]\[0\],f\[n−1\]\[1\],f\[n−1\]\[2\])

注意到如果在最后一天结束之后仍然持有股票显然是没有任何意义的。因此最终的答案是:  
 max ⁡ ( f \[ n − 1 \] \[ 1 \] , f \[ n − 1 \] \[ 2 \] ) \\max(f\[n-1\]\[1\], f\[n-1\]\[2\]) max(f\[n−1\]\[1\],f\[n−1\]\[2\])

**动态规划中的`边界条件`：**  
 \{ f \[ 0 \] \[ 0 \] = − prices \[ 0 \] f \[ 0 \] \[ 1 \] = 0 f \[ 0 \] \[ 2 \] = 0 \\left\\\{\\begin\{array\}\{l\} f\[0\]\[0\]=-\\text \{prices\}\[0\] \\\\ f\[0\]\[1\]=0 \\\\ f\[0\]\[2\]=0 \\end\{array\}\\right. ⎩⎨⎧f\[0\]\[0\]=−prices\[0\]f\[0\]\[1\]=0f\[0\]\[2\]=0

这样就可以从第 1 天开始，根据上面的状态转移方程进行进行动态规划，直到计算出第 n-1 天的结果。

**空间优化**

状态转移方程中  f \[ i \] \[ . . \] f\[i\]\[..\] f\[i\]\[..\] 只与  f \[ i − 1 \] \[ . . \] f\[i-1\]\[..\] f\[i−1\]\[..\] 有关，而与  f \[ i − 2 \] \[ . . \] f\[i-2\]\[..\] f\[i−2\]\[..\] 及之前的状态都无关，因此不必存储无关状态。

只需要将  f \[ i − 1 \] \[ 0 \] f\[i-1\]\[0\] f\[i−1\]\[0\]、 f \[ i − 1 \] \[ 1 \] f\[i-1\]\[1\] f\[i−1\]\[1\]、 f \[ i − 1 \] \[ 2 \] f\[i-1\]\[2\] f\[i−1\]\[2\] 存放在三个变量中，通过它们计算出  f \[ i \] \[ 0 \] f\[i\]\[0\] f\[i\]\[0\]、 f \[ i \] \[ 1 \] f\[i\]\[1\] f\[i\]\[1\]、 f \[ i \] \[ 2 \] f\[i\]\[2\] f\[i\]\[2\] 并存回对应的变量，以便于第  i + 1 i+1 i\+1 天的状态转移即可。

[官方题解链接][Link 1]

## 代码实现 ##

class Solution(object):
        def maxProfit(self, prices):
            """
            :type prices: List[int]
            :rtype: int
            """
            if not prices:
                return 0
            days = len(prices)
            p0, p1, p2 = -prices[0], 0, 0
            for day in range(days):
                newp0 = max(p2 - prices[day], p0)
                newp1 = p0 + prices[day]
                newp2 = max(p1, p2)
                p0, p1, p2 = newp0, newp1, newp2
            return max(p1, p2)

## Tips ##

*  动态规划问题可能有多个状态转移方程，最后考虑是否需要进行空间优化。
 *  力扣平台上`股票类型`的题目：
    
    [121. 买卖股票的最佳时机][121.]
    
    [122. 买卖股票的最佳时机 II][122. _ II]
    
    [123. 买卖股票的最佳时机 III][123. _ III]
    
    [188. 买卖股票的最佳时机 IV][188. _ IV]
    
    [（本题）309. 最佳买卖股票时机含冷冻期][309.]
    
    [714. 买卖股票的最佳时机含手续费][714.]
    
    [剑指 Offer 63. 股票的最大利润][Offer 63.]

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A u t h o r : C h i e r Author: Chier Author:Chier

[Link 1]: https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown/solution/zui-jia-mai-mai-gu-piao-shi-ji-han-leng-dong-qi-4/
[121.]: https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock/
[122. _ II]: https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-ii/
[123. _ III]: https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/
[188. _ IV]: https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iv/
[309.]: https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown/
[714.]: https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-transaction-fee/
[Offer 63.]: https://leetcode-cn.com/problems/gu-piao-de-zui-da-li-run-lcof/