python之拉格朗日插值算法完成计算

约定不等于承诺〃 2023-02-26 02:18 36阅读 0赞

## 一、提出问题 ##

拉格朗日插值法，如何计算数值？

## 二、详解拉格朗日插值算法 ##

插值法就是利用已知的点(x,y)建立合适的插值函数y=f(x),将未知点w带入插值函数 f(x)可以求出函数值 f(w)。对于平面上相异（无两点在一条直线上）的 n个点，我们可以找到一个 n次多项式  
![在这里插入图片描述][20200713200834147.png]  
使这个多项式函数经过这些点。有n+1个未知数(A)，我只需要知道n+1个点的函数值就可以解出这n+1个未知数,拉格朗日插值法就是求得这个多项式函数。  
**1、拉格朗日插值法**  
(1)将n+1个点代入多项式得  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ1MTYxNzY2_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
(2)方程的系数矩阵为A的行列式为  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ1MTYxNzY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ1MTYxNzY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

## 三、举例说明 ##

**1、要求**  
根据上述基本原理，用python程序语言将已知多点数据画出图像，并利用这组数值计算一组数据\[-3,2,3,-1\]对应的拉格朗日插值，并将其形成的多个对应点在图像中标出如图1  
**2、具体代码**

import pylab as pl
    import numpy as np 
    
    def lagrange(x,y,w):
        n = len(x)
        res=0
        for i in range(n):
            temp = 1 
            for j in range(n):
                if i!=j: temp = temp * (w-x[j]) / (x[i] - x[j]) 
            res += temp * y[i]
        return res
    
        
    x = [16,9,25]
    y = [4,3,5]
    lagrange(x,y,10)   
    
    x1=np.linspace(-5,5,20)
    y1= x1**2+np.random.uniform(-1,1,20)
    x2=[-3,2,3,-1]
    y2=[]
    for i in x2:
        y2.append(lagrange(x1,y1,i))
    pl.plot(x1,y1, 'r')
    pl.scatter(x2,y2)
    pl.xlim(-6,6)
    pl.ylim(-5,30)
    pl.show()

**3、运行结果**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L20wXzQ1MTYxNzY2_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

## 以上就是本文所有内容，希望能帮到大家！！！ ##

[20200713200834147.png]: /images/20230209/8f476d32dd4e4149bf68701478665d90.png
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