统计学原理离散程度的度量

雨点打透心脏的1/2处 2023-03-13 03:36 17阅读 0赞

**离中趋势**

*  数据分布的另一个重要特征
 *  反映各变量值远离其中心值的程度(离散程度)  从另一个侧面说明了集中趋势测度值的代表程度
 *  不同类型的数据有不同的离散程度测度值

--------------------

### 离散程度的度量 ###

*  分类数据：异众比率
 *  顺序数据：四分位差
 *  数值型数据：方差和标准差
 *   *   *   *  1. 极差 (range)
             *  2. 平均差 (mean deviation)
             *  3. 方差和标准差 (variance and standard deviation)
             *  4. 相对位置的度量
 *  相对离散程度：离散系数

--------------------

# 分类数据：异众比率 #

**异众比率 (variation ratio)**

*  对分类数据离散程度的测度
 *  非众数组的频数占总频数的比例
 *  用于衡量众数的代表性

# 顺序数据：四分位差 #

**四分位差 (quartile deviation)**

*  对顺序数据离散程度的测度
 *  也称为内距或四分间距
 *  上四分位数与下四分位数之差
 *  Qd = QU – QL
 *  反映了中间50%数据的离散程度
 *  不受极端值的影响
 *  用于衡量中位数的代表性

# 数值型数据：方差和标准差 #

#### 1. 极差 (range) ####

*  一组数据的最大值与最小值之差
 *  离散程度的最简单测度值
 *  易受极端值影响
 *  未考虑数据的分布

#### 2. 平均差 (mean deviation) ####

*  各变量值与其平均数离差绝对值的平均数
 *  能全面反映一组数据的离散程度
 *  数学性质较差，实际中应用较少

#### 3. 方差和标准差 (variance and standard deviation) ####

*  数据离散程度的最常用测度值
 *  反映了各变量值与均值的平均差异
 *  根据总体数据计算的，称为总体方差(标准差)；根据样本数据计算的，称为样本方差(标准差)，记为s2(s)

#### 4. 相对位置的度量 ####

**（1）标准分数(standard score)**

*  也称标准化值
 *  对某一个值在一组数据中相对位置的度量
 *  可用于判断一组数据是否有离群点(outlier)
 *  用于对变量的标准化处理

**（2）经验法则**

经验法则表明：当一组数据对称分布时

*  约有68%的数据在平均数加减1个标准差的范围之内
 *  约有95%的数据在平均数加减2个标准差的范围之内
 *  约有99%的数据在平均数加减3个标准差的范围之内

**（3）切比雪夫不等式 (Chebyshev’s inequality)**

*  如果一组数据不是对称分布，经验法则就不再适用，这时可使用切比雪夫不等式，它对任何分布形状的数据都适用；
 *  切比雪夫不等式提供的是“下界”，也就是“所占比例至少是多少”
 *  对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有(1-1/(k^2))的数据落在平均数加减k个标准差之内。其中k是大于1的任意值，但不一定是整数

对于k=2，3，4，该不等式的含义是

*  至少有75%的数据落在平均数加减2个标准差的范围之内
 *  至少有89%的数据落在平均数加减3个标准差的范围之内
 *  至少有94%的数据落在平均数加减4个标准差的范围之内

# 相对离散程度：离散系数 #

**离散系数 (coefficient of variation)**

*  标准差与其相应的均值之比
 *  对数据相对离散程度的测度
 *  消除了数据水平高低和计量单位的影响
 *  用于对不同组别数据离散程度的比较

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