零基础入门量子计算：从一个神奇的概念进入量子世界

我不是女神ヾ 2023-05-21 12:55 31阅读 0赞

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**导读：**量子比特是量子计算的基本单位，量子比特可以用电子的自旋或光子的偏振来表示。本文将从量子特有的自旋概念开始，带你进入神奇的量子世界。限于篇幅，本文将略过光子的偏振相关内容，如果你对这部分内容感兴趣，可阅读《人人可懂的量子计算》一书第1.6节。

作者：克里斯·伯恩哈特（Chris Bernhardt）

来源：大数据DT（ID：hzdashuju）

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所有的计算都包括三个过程，首先输入数据，然后根据一定的规则对输入进行操作，最后输出结果。对于经典计算来说，比特是数据的基本单位。对于量子计算来说，这个基本单位是量子比特（quantum bit）——通常缩写为qubit。

一个经典比特对应于两个选项中的一个。任何处于两种状态之一的事物都可以表示成一个比特。稍后我们将看到各种各样的例子，其中包括逻辑语句的真假，开关打开或关闭，甚至台球的存在或不存在。

就像一个比特一样，一个量子比特包括这两种状态，但与比特不同的是，它也可以是这两种状态的组合。这是什么意思？两种状态的组合到底是什么？能代表量子比特的物理对象是什么？开关在量子计算中的类似物是什么？

**量子比特可以用电子的自旋或光子的偏振来表示。**尽管这是真的，但似乎没有特别的帮助，因为我们大多数人都不了解电子的自旋和光子的偏振，更不用说体验过。

让我们从自旋和偏振的基本介绍开始。为此，我们引入奥托·斯特恩（Otto Stern）和瓦尔特·格拉赫（Walther Gerlach）在银原子自旋上所做的基础实验。

1922年，尼尔斯·玻尔（Niels Bohr）的行星模型描述了当时人们对原子的理解。在这个模型中，原子是由一个原子核和环绕它的电子组成的，其中原子核带正电荷，电子带负电荷。

**电子轨道是圆形的，且被限制在一定的半径内。**最内层轨道最多可以包含2个电子。一旦这层轨道被填满，电子就会开始填下一层轨道，第二层轨道最多可以容纳8个电子。

银原子有47个电子，其中2个在最内层轨道上，下一层轨道上有8个，然后在第三层和第四层都有18个电子。这使得在最外层轨道上留下了1个孤电子。

**现在，在圆形轨道上运动的电子产生磁场。**内层轨道上的电子是成对的，其中一个电子朝着与另一个电子相反的方向旋转，从而使它们的磁场相互抵消。然而，最外层轨道上的单个电子产生的磁场不会被其他电子抵消。这意味着，原子作为一个整体，可以看作一个既有南极又有北极的小磁体。

Stern和Gerlach设计了一个实验来测试这些磁体的南北轴取向是任意的还是特定的。他们发射一束银原子穿过一对磁体，如图1.1所示。

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▲图1.1 Stern-Gerlach装置

磁体的V形设计使得南磁体的作用比北磁体更强。如果银原子是一个顶部为北、底部为南的磁体，它就会被装置的两个磁体所吸引，由于南磁体作用更强，所以粒子向上偏转。

同样，如果银原子是一个顶部为南、底部为北的磁体，它会被装置的两个磁体所排斥，由于南磁体作用更强，所以粒子向下偏转。通过该装置后，原子被收集在屏幕上。

从经典的观点来看，原子的磁极可以朝任何方向。如果它们是水平的，就不会发生偏转，而且一般来说，偏转的大小与原子的磁轴和水平轴的夹角相对应，当原子磁轴与水平轴垂直时，会发生最大偏转。

如果经典观点是正确的，当我们发射大量的银原子通过装置时，应该在屏幕上看到有一条从顶部到底部的连续的线。但Stern和Gerlach并没有发现这条线。当他们看屏幕时，发现只有**两个点**：一个在最上面，另一个在最下面。**所有的原子都表现得像垂直排列的小条形磁体，并且都没有其他的方向。**为什么会这样呢？

在开始更详细地分析发生了什么之前，我们把注意力从原子转移到电子上。不仅原子本身像小磁体一样，其组成部分也如此。**在讨论量子计算机时，我们经常会讨论电子及其自旋。**

以银原子为例，如果你在垂直方向上测量自旋，会发现电子要么向北偏转，要么向南偏转。同样，就像银原子一样，你会发现电子是小磁体，它们的南北极在垂直方向上完全对齐，并且都没有其他的方向。

实际上，你不能用Stern-Gerlach装置来测量自由电子的自旋，正如我们所展示的那样，因为电子带负电荷，磁场使移动的带电粒子偏转。也就是说，下面的图展示了在不同方向上测量自旋的结果。

假设你是粒子源，磁体放置在你和这篇文章之间，图中的点表示电子的偏转方向。图1.2a显示了电子的偏转；图1.2b把电子描绘成磁体，并标出了南北两极。我们把这种情况描述为电子的自旋N在垂直方向上。图1.3显示了另一种可能性，电子的自旋S在垂直方向上。

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▲图1.2 电子的自旋N在垂直方向上

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▲图1.3 电子的自旋S在垂直方向上

为了理解偏转，由于南磁体的作用比北磁体更强，所以要计算偏转的方向，你只需要考虑南磁体的作用。如果电子的北极靠近南磁体，那么它就会被吸引，并向南磁体方向偏转。如果电子的南极靠近南磁体，那么它就会被排斥，并向北磁体方向偏转。

当然，垂直方向没有什么特别的。例如，我们可以把磁体旋转90°。电子仍然会朝北磁体或南磁体方向偏转。在这种情况下，电子表现为南北极在水平方向上对齐的磁体，如图1.4和图1.5所示。

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▲图1.4 电子的自旋N在90°方向上

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▲图1.5 电子的自旋S在90°方向上

我们将要以不同的角度旋转磁体。我们会沿顺时针方向测量角度，0°表示垂直向上方向，θ表示与垂直向上方向的夹角。图1.6描述了一个自旋N在θ方向上的电子。

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▲图1.6 电子的自旋N在θ方向上

**有时自旋被描述为向上、向下、向左或向右。**我们描述电子的自旋N在0°方向上，这似乎有些烦琐，但是明确的。特别是当我们将装置旋转180°时，可以避免使用向上、向下等术语的一些缺陷。例如，图1.7中所示的两种情况都表示电子的自旋N在0°方向上，或者自旋S在180°方向上。

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▲图1.7 电子的自旋N在0°方向上

在我们继续学习电子自旋之前，先暂停一下，看看我们将会在多个地方用到的一个类比。

**01 量子钟**

想象一下，你有一个在标准位置上标记着小时的钟，上面也有一个指针。然而，你不能看钟，你只能向它问问题。你想知道指针指向哪个方向，所以你可能想问“指针指向哪个方向”这个简单的问题。但这是不允许的。你只允许问指针是否指向钟面上的特定数字。

例如，你可以问，指针是否指向12，或者你可以问它是否指向4。如果这是一个普通的时钟，你必须非常幸运才能得到一个肯定的答案。大多数时候，指针会指向一个完全不同的方向。

但是量子钟不像普通的时钟。**它要么回答“是”，要么告诉你指针指向的方向和你问的方向正好相反。**例如，我们问指针是否指向12，它会告诉我们它是指向12还是指向6。如果我们问指针是否指向4，它会告诉我们它指向4，或者指向10。这是一种非常奇怪的状态，但它与电子自旋完全相似。

正如我们所说，电子自旋将会激发定义量子比特的想法。如果要做计算，我们需要理解控制自旋测量的规则。我们首先考虑当测量不止一次时会发生什么。

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**02 同一方向的测量**

测量是可重复的。如果我们重复完全相同的测量，就会得到完全相同的结果。例如，为了测量在垂直方向上的电子自旋，我们在第一个装置后面放置另外两个装置，重复完全相同的实验。

其中一个放置在适当的位置以捕获在第一个装置向上偏转的电子，另一个用来捕获向下偏转的电子。通过第一个装置向上偏转的电子被第二个装置向上偏转，通过第一个装置向下偏转的电子被第二个装置向下偏转。

这意味着，如果最初测到电子的自旋N在0°方向上，那么当我们重复实验时，该电子的自旋N仍在0°方向上。同样，如果最初测到电子的自旋S在0°方向上，那么当我们重复实验时，该电子的自旋S仍在0°方向上。**与我们的钟类比，如果反复问指针是否指向12，我们会得到同样的答案：要么总是指向12，要么总是指向6**

当然，在垂直方向上测量没有什么特别的。如果我们θ方向上测量，然后在该方向重复测量，我们每次都将获得相同的结果。我们最终会得到一串完全由N组成的字符串或一串完全由S组成的字符串。

接下来要考虑的是如果不重复同样的测量会发生什么。例如，如果先垂直测量，然后水平测量，会发生什么？

**03 不同方向的测量**

我们首先在垂直方向上测量电子的自旋，然后在水平方向上测量。我们发送电子流通过第一个探测器——测量在垂直方向上的自旋。

和之前一样，我们在第一个探测器后面的适当位置还放置了两个探测器，捕获来自第一个探测器的电子。不同之处在于，这两个探测器都旋转了90°，且在水平方向上测量自旋。

首先，我们来看看通过第一个探测器向上偏转的电子——它们的自旋N在0°方向上。当它们通过第二个探测器时，我们发现：其中一半电子的自旋N在90°方向上，另一半的自旋S在90°方向上。

南北自旋的序列在90°方向上是完全随机的。若一个电子的自旋N在0°方向上，当我们在90°方向上再次测量它时，无法判断它是自旋S还是自旋N。

同样的结果也适用于第一个探测器显示的自旋S在垂直方向上的电子——恰好一半电子的自旋N在水平方向上，另一半的自旋S在水平方向上。同样，N和S的序列是完全随机的。

量子钟也有类似的问题，询问指针是否指向12，然后询问它是否指向3。如果我们有大量的钟，且都问这两个问题，第二个问题的答案将是随机的：一半的钟会说指针指向3，另一半会说指向9。

最后，我们来看看当进行三次测量时会发生什么。我们先垂直测量，然后水平测量，再垂直测量。

考虑来自第一个探测器的电子，它们的自旋N在0°方向上。我们知道当在90°方向上测量自旋时，它们中的一半是自旋N，另一半是自旋S。我们将把注意力放在前两次测量都是自旋N的电子上。

对于第三次测量，测量垂直方向上的自旋。我们发现：恰好有一半电子的自旋N在0°方向上，另一半的自旋S在0°方向上。再一次，N和S的序列是完全随机的。当我们再次在垂直方向上测量时，**电子最初的自旋N与它是否仍是自旋N无关。**

我们能从这些结果中得出三个重要的结论。

**第一，如果我们一直重复同样的问题，会得到完全相同的答案。**这意味着，有时候我们会得到明确的答案，并不是每个问题都会得到随机答案。

**第二，随机性似乎确实存在。**如果我们问一系列问题，最终的结果可能是随机的。

**第三，测量会影响结果。**我们看到，如果我们问三次同样的问题，会得到三次完全相同的答案。但是，如果第一个和第三个问题是相同的，而第二个问题是不同的，那么第一个和第三个问题的答案不一定相同。

例如，如果连续问三次指针是否指向12，我们每次都得到相同的答案；但如果我们首先问它是否指向12，然后再问它是否指向3，最后问它是否指向12，第一个和第三个问题的答案不一定是相同的。

这两种情况之间的唯一区别是第二个问题，所以这个问题必定会影响接下来的问题的结果。我们将从测量开始，对这些观测做更多的介绍。

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**04 测量**

在经典力学中，我们考虑将球抛向空中的路径，而且路径可以用微积分来计算。但是为了进行计算，我们需要知道一些特定的量，比如球的质量和初速度。如何测量这些量并不是理论的一部分，我们只假设这些是已知的。

隐含的假设是，测量的行为对问题并不重要——进行测量不会影响正在建模的系统。对于一个球被抛向空中的例子，这是合理的。例如，我们可以用雷达枪测量它的初速度。这涉及从球上反弹光子，尽管反弹光子会对球产生影响，但这可以忽略不计。

这是经典力学的基本原理：测量会影响被研究的对象，但可以设计实验，使测量的效果可忽略不计。

在量子力学中，我们经常考虑像原子或电子这样的微小粒子。在这里，**反弹光子对它们的影响不再是可以忽略的了。**为了执行一些测量，我们必须与系统交互。这些相互作用会扰乱系统，所以我们不能再忽视它们。

测量成为理论的基本组成部分似乎并不令人惊讶，但令人惊讶的是如何做到这一点。例如，考虑这样一种情况：我们首先在垂直方向上测量电子的自旋，然后在水平方向上测量。

我们已经看到，经过第一个探测器后，恰好有一半电子的自旋N在0°方向上，当用第二个探测器测量后，电子的自旋N在90°方向上。似乎磁体的强度对结果有一定的影响。也许它们的强度相当大，使电子的磁轴扭曲，与测量装置的磁场对齐。如果用较弱的磁体，扭曲会减小，我们可能会得到不同的结果。

然而，我们并不是用这样的方式将测量纳入理论的。我们将看到，模型没有考虑测量的“强度”。相反，无论测量是如何进行的，真正对系统产生影响的是测量的实际过程。

**每次进行测量时，我们都会看到系统以某些规定的方式发生变化。这些规定的方式取决于测量的类型，而不是测量的强度。**

将测量纳入理论是经典力学和量子力学的区别之一，而另一个区别是随机性。

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**05 随机性**

量子力学涉及随机性。例如，如果我们首先在垂直方向测量电子的自旋，然后在水平方向测量，并记录第二个测量装置的测量结果，我们会得到由N或S组成的一串字符串。这个自旋序列是完全随机的，例如，它可能看起来像NSSNNNSS…。

抛一枚均匀硬币是一个经典实验，它可以产生两个符号的随机序列，且每个符号出现的概率为二分之一。如果我们抛一个均匀的硬币，可能会得到序列HTTHHHTT…。**尽管这两个例子产生了相似的结果，但在这两个理论中，对随机性的解释有很大的不同。**

抛硬币是经典力学描述的事情，可以用微积分来建模。要计算硬币是正面朝上还是反面朝上，首先需要仔细测量初始条件：硬币的重量、离地高度、拇指对硬币的撞击力、拇指撞击硬币的准确位置、硬币的位置等。

考虑到所有这些值，这个理论会告诉我们硬币是正面还是反面朝上。这没有包含真随机性。抛硬币似乎是随机的，因为每次抛硬币的初始条件都略有不同。这些微小的变化可以将结果由正面变为反面，反之亦然。

**在经典力学中没有真随机性**，只有对初始条件的敏感依赖——输入的微小变化可以被放大，并产生完全不同的结果。量子力学中关于随机性的基本观点是不同的：随机性就是真随机性。

正如我们看到的，从两个方向的自旋测量中得到的序列NSSNNNSS…，**其被认为是真随机的。**抛硬币得到的序列HTTHHHTT…，这看起来是随机的，但是物理的经典定律是确定的，如果我们能以无限的精度进行测量，这种明显的随机性就会消失。

在这个阶段，人们自然会对此提出质疑。爱因斯坦当然不喜欢这样的解释，他有句名言：上帝不会掷骰子。难道就没有更深层次的理论吗？如果我们知道更多关于电子初始构型的信息，难道最终的结果不是随机的而是完全确定的？难道不存在隐变量吗？一旦我们知道了这些变量的值，明显的随机性就会消失吗？

接下来，我们会介绍真随机性中用到的数学理论，之后再考虑这些问题。我们将描述一个巧妙的实验来区分隐变量和真随机性假设。这个实验已经做过好几次了。结果表明：**随机性是真随机的，没有简单的隐变量理论可以消除它。**

我们在本文开头就提到，量子比特可以用电子的自旋或光子的偏振来表示。我们将展示自旋的模型和偏振是如何联系在一起的。

关于作者：克里斯·伯恩哈特（Chris Bernhardt），美国费尔菲尔德大学数学系教授，Turing's Vision: The Birth of Computer Science一书的作者。

本文摘编自《人人可懂的量子计算》，经出版方授权发布。

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