图的割点算法与图的割边算法

深藏阁楼爱情的钟 2023-06-01 06:11 19阅读 0赞

*  图的割点算法 与 图的割边算法
    
     *  割点
        
         *  思路
     *  割边

# 图的割点算法 与 图的割边算法 #

## 割点 ##

在一个无向连通图中，如果删除某个顶点后，图不再连通（即任意两点之间不能相互到达），我们称这样的顶点为割点（或者称割顶）。  
![Center][]  
上图中的 2 号顶点就是割点，因为删除 2 号后，4,5 不通，1,6 也不通。

很容易想到的方法是：依次删除每一个顶点，然后用 dfs 或者 bfs 来检查图是否依然连通。如果删除某个顶点后，导致图不再连通，那么刚才删除的顶点就是割点。

这种方法的时间复杂度是 O(N(N+M))。

下面寻找复杂度低的方法来解决。

dfs 遍历上图后，如下图，圆圈中数字是顶点编号，圆圈右上角的数表示这个顶点在遍历时是第几个被访问到的，叫做“时间戳”。  
![Center][Center 1]

### 思路 ###

假如我们在 dfs 时访问到了 u 点，此时图就会被 u 点分割成为两部分。一部分是已经被访问过的点，另一部分是没有被访问过的点。如果 u 点是割点，那么剩下的没有被访问过的点中至少有一个点在不经过 u 点的情况下，是无论如何再也回不到已经访问过的点了。假如到了 u 后，图中还有顶点 v 是没有访问过的点，如何判断 v 在不经过 u 的情况下是否还能回到之前访问过的任意一个点？u 是 v 的父亲，而之前访问过的顶点就是祖先。也就是如何检测 v 在不经过父亲 u 的情况下还能否回到祖先。那就是对 v 再进行一次 dfs，但此次遍历不经过 u，看能否回到祖先。不能 u 即为割点。

我们需要一个数组 low 来记录每个顶点在不经过父顶点时，能够回到的最小“时间戳”。  
![Center][Center 2]  
对于某个顶点 u，如果存在至少一个顶点 v（u 的儿子），使得 low\[v\]>=num\[u\]，即不能回到祖先，那么 u 点为割点。  
![Center][Center 3]  
![Center][Center 4]  
![Center][Center 5]  
![Center][Center 6]  
上述用邻接矩阵存储图，时间复杂度为 O(N^2 )。因为边的处理就需要 N^2 的时间。

如果改有邻接表存储，算法时间复杂度降为 O(M+N)。

## 割边 ##

即在一个无向连通图中，如果删除某条边后，图不再连通，则成为割边。

求割边时，只需要将求割点的算法修改一个符号即可。只需要将 low\[v\]>=num\[u\] 改为 low\[v\]>num\[u\]。

因为 low\[v\]>=num\[u\] 代表的是 v 不可能在不经过父亲 u 而回到祖先。如果 low\[v\]=num\[u\]，表示还可以回到父亲。而 low\[v\]>num\[u\] 则表示连父亲都回不到了。倘若顶点 v 不能回到祖先，也没有另外一条路能回到父亲，那么 u-v 就是割边。  
![Center][Center 7]  
![Center][Center 8]  
同样，用邻接矩阵存储图，时间复杂度为 O(N^2)。如果改有邻接表存储，算法时间复杂度降为 O(M+N)。

转载于:https://www.cnblogs.com/tttfu/p/11274097.html

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