超简单的数论入门题

淡淡的烟草味﹌ 2023-06-03 02:49 18阅读 0赞

选定方向了，这篇博客将伴随我学习数论和某些数学知识

1.欧几里得算法（辗转相除法）

用途：求两个数最大公约数

公式：a%b=b%(a%b)

代码 ： ll gcd(ll a,ll b) \{return !b?a:gcd(b,a%b);\} ///函数形式

2.拓展欧几里得

用途：求不定方程最小解（ 方程应满足ax+by=gcd(a,b),否则无解 ）

公式推导：（嫖的）

假设 ax1 + by1= gcd(a,b);

假设 bx2 + (a % b)y2= gcd(b,a % b);

根据朴素的欧几里德原理有gcd(a,b) = gcd(b,a % b);

则:ax1 + by1 = bx2+ (a % b)y2;

即:ax1 + by1 = bx2 + (a - \[a / b\] \* b)y2 = ay2 + bx2 - \[a / b\] \* by2;

也就是ax1 + by1 == ay2+ b(x2 - \[a / b\] \*y2);

根据恒等定理得：x1 = y2; y1 = x2 - \[a / b\] \* y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2。

我们可以通过不断递归调用求解。

代码：

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
    {
        if(!b){x=1,y=0;return a;}
        ll ans=exgcd(b,a%b,x,y);
        ll t=x;x=y;y=t-a/b*y;
        return ans;
    }

x,y是一组解，返回的ans是gcd(a,b)

x，y的通解为

kx=b/ans

ky=-a/ans

\*x=x+kx\*n \*y=y+ky\*n (n为任意值）

例题：青蛙的约会

题目链接：[http://poj.org/problem?id=1061][http_poj.org_problem_id_1061]

题干：

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。  
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

题解：

设跳t次后，两青蛙相遇，则满足方程 (x+t\*m)%L=(y+t\*n)%L

化简下得 x-y=(n-m)\*t+kL满足ax+by=c的关系式 如c整除gcd(a,b)则方程有解，注意这里的c是h\*gcd(a,b),所以想直接调用函数还得等式两边同时乘 c/gcd(a,b)

代码：

#include <iostream>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
    {
        if(!b){x=1,y=0;return a;}
        ll ans=exgcd(b,a%b,x,y);
        ll t=x;x=y;y=t-a/b*y;
        return ans;
    }
    int main()
    {
        ll x,y,m,n,l,p,c,a,b;
        cin>>x>>y>>m>>n>>l;
        a=n-m;  c=x-y;  b=l;
        if(a<0) { a=-a;c=-c; }
        p=exgcd(a,b,x,y);
        if(c%p!=0)
            cout<<"Impossible\n";
        else
        {
            x=x*c/p;
            ll t=b/p;
            if(x>=0) x=x%t;
            else x=x%t+t;
            cout<<x<<endl;
        }
        return 0;
    }

3.欧拉筛数

这里不介绍其他的筛质数方法了

原理：

对于任意一个合数，我们可以拆成最小质数\*某个数字的形式。我们枚举i，然后再从第一个质数开始枚举，进行筛选。 为了保证每个合数只被最小质因数筛选，当我们枚举的质数可以整除i时，如果再往大里枚举，枚举的质数就不可能是最小质数了

代码：

int cntprime = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if (!flag[i]) prime[++cntprime] = i;
        for (int j = 1; j <= cntprime && prime[j] * i <= n; j++)
        {
            flag[i * prime[j]] = true;
            if (i % prime[j] == 0)
                break;
        }
    }

时间复杂度极其接近于O(n);

4.逆元及费马小定理

在计算机运算过程中，分数是一个很难计算和保留精确度的东西，所以对于分数而言，我们一般会表示为mod某数的逆元

(a\*x）%mod=1 x称为a在mod下的逆元

费马小定理就是 当加入p为质数且 a,p互质则 a^(p-1)=1(mod p)

即：在求某数的逆元的时候 如果mod是质数的话 则只需计算 a^(p-2)%p;

5.快速幂与矩阵快速幂

参考另一篇：[https://blog.csdn.net/permi\_yaxileni/article/details/98319067][https_blog.csdn.net_permi_yaxileni_article_details_98319067]

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ //看心情更，不过会一直更的

[http_poj.org_problem_id_1061]: http://poj.org/problem?id=1061
[https_blog.csdn.net_permi_yaxileni_article_details_98319067]: https://blog.csdn.net/permi_yaxileni/article/details/98319067