关于斐波那契数列引发的一系列思考

秒速五厘米 2023-06-06 08:08 1阅读 0赞

斐波那契数列是一个神奇的数列！  
先来讲两个经典的问题，你们也可以思考一下答案，通过看完本文希望你可以回答出答案。

**兔子问题**  
一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？

**台阶问题**  
有一段楼梯有20级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第20级台阶有几种不同的走法?

以上两个问题都和斐波那契数列有关。不信？那我们来分析一下。

我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：

第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对

两个月后，生下一对小兔对数共有两对

三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对

－－－－－－

依次类推可以列出下表：  
![在这里插入图片描述][201910101611594.jpg]  
幼仔对数=前月成兔对数

成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数

总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数

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再来分析一下台阶问题  
登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……  
仍然是这串数字0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

**两个不同的问题却拥有相同的规律**  
神奇么？其实这才是冰山一角而已。  
再来看看下面这个植物  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzEwNjI0OA_size_16_color_FFFFFF_t_70]  
**上面的凸起也符合斐波那契数列规律！**  
斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e（可以推出更多），黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。

符合斐波那契数与植物花瓣

3………………………百合和蝴蝶花

5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花

8………………………翠雀花

13………………………金盏

21………………………紫宛

34、55、89……………雏菊

\*\*斐波那契数还可以在植物的叶、枝、茎等排列中发现。\*\*例如，在树木的枝干上选一片叶子，记其为数0，然后依序点数叶子（假定没有折损），直到到达与那些叶子正对的位置，则其间的叶子数多半是斐波那契数。叶子从一个位置到达下一个正对的位置称为一个循回。叶子在一个循回中旋转的圈数也是斐波那契数。在一个循回中叶子数与叶子旋转圈数的比称为叶序（源自希腊词，意即叶子的排列）比。多数的叶序比呈现为斐波那契数的比。

**斐波那契数列还和黄金比例有关，所以又称黄金分割数列**  
这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618.（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近黄金分割0.618、前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618）

1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666…，3÷5=0.6，5÷8=0.625，…………，55÷89=0.617977…，…………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886……  
越到后面，这些比值越接近黄金比。

斐波那契的秘密远远不止于此，它更多的秘密还需要后人来揭开。我试图用编程的方式去探索其中的奥秘。而善于科学计算的python语言无疑是我的首选。  
计算代码如下：

a=0
    b=1
    n=0
    m=0
    while b<10000:
    	print(b)
    	n=b
    	m=a+b
    	a=n
    	b=m

这是最为直接的方式，但很明显不够优美，稍加观察我们就会得出下面的代码：

a,b = 0,1
    while b<10000:
    	print(b)
    	a,b = b,a+b

这下看起来就舒服多了  
简单说明一下原理：其中代码关键部分a,b=b,a+b的计算方式为先计算右边表达式，然后同时赋值给左边。  
以上程序的执行结果为  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzEwNjI0OA_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
但这显然仍不是我们想要的，因为我们想计算的是一年之后的兔子，20级台阶的走法，但我们并不能直观的通过上面的数字得到我们想要的答案。所以我用生成器写了下面一段代码：

#!/usr/bin/python3
    # -*- coding: utf-8 -*-
    import sys
     
    def fibonacci(n): # 生成器函数 - 斐波那契
        a, b, counter = 0, 1, 0
        while True:
            if (counter > n): 
                return
            yield a
            a, b = b, a + b
            counter += 1
    f = fibonacci(10) # f 是一个迭代器，由生成器返回生成
     
    while True:
        try:
            print (next(f), end=" ")
        except StopIteration:
            sys.exit()

通过修改n也就是生成器参数，我们就能获得我们想要的次数了。

关于斐波那契我想还有很多值得思考的地方，日后再说吧！

[201910101611594.jpg]: /images/20230601/e3ef195e55c54d4f8ae35231466e6e79.png
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[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MzEwNjI0OA_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20230601/e3b10240ebda42e481c4de4bb7a33799.png