java实现普里姆算法

我会带着你远行 2023-06-08 10:54 1阅读 0赞

# 一、应用场景-修路问题 #

**看一个应用场景和问题:**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxMTEzNzYyMzE2MA_size_16_color_FFFFFF_t_70]

1.  有胜利乡有7个村庄(A,B,C,D,E,F,G)，现在需要修路把7个村庄连通
2.  各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里
3.  问:如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?  
    思路: 将 10 条边，连接即可，但是总的里程数不是最小. 正确的思路，就是尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少.

# 二、最小生成树 #

修路问题本质就是就是最小生成树问题， 先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称 MST。 给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树

1.  N 个顶点，一定有 N-1 条边
2.  包含全部顶点
3.  N-1 条边都在图中
4.  举例说明(如图:)
5.  求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxMTEzNzYyMzE2MA_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

# 三、普里姆算法介绍 #

普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含 n 个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有 n 个顶点的 连通子图，也就是所谓的极小连通子图  
普利姆的算法如下:

1.  设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合
2.  若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited\[u\]=1
3.  若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点 vj 加入集合 U 中，将边(ui,vj)加入集合 D 中，标记 visited\[vj\]=1
4.  重复步骤2，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边
5.  提示: 单独看步骤很难理解，我们通过代码来讲解，比较好理解.
6.  图解普利姆算法  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxMTEzNzYyMzE2MA_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

# 四、普里姆算法最佳实践(修路问题) #

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxMTEzNzYyMzE2MA_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

1.  有胜利乡有7个村庄(A,B,C,D,E,F,G)，现在需要修路把7个村庄连通
2.  各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5 公里
3.  问:如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
4.  代码演示:

package prim;
    
    import java.util.Arrays;
    
    /** * @program: text * @description: 普里姆算法 * @author: min * @create: 2019-10-18 10:50 **/
    public class PrimAlgorithm { 
        public static void main(String[] args) { 
            //测试看看图是否创建 ok
            char[] data = new char[]{ 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
            int verxs = data.length;
            //邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000 这个大数，表示两个点不联通
            int[][] weight = new int[][]{ { 10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2}, { 5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3}, { 7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000}, { 10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000}, { 10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4}, { 10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6}, { 2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000},};
            //创建 MGraph 对象
            MGraph graph = new MGraph(verxs); //创建一个 MinTree 对象
            MinTree minTree = new MinTree();
            minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight); //输出
            minTree.showGraph(graph);
            //测试普利姆算法
            minTree.prim(graph, 0);//
        }
    }
    
    //创建最小生成树->村庄的图
    class MinTree { 
        //创建图的邻接矩阵
    
        /** * @param graph 图对象 * @param verxs 图对应的顶点个数 * @param data 图的各个顶点的值 * @param weight 图的邻接矩阵 */
        public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) { 
            int i, j;
            for (i = 0; i < verxs; i++) { //顶点 graph.data[i] = data[i];
                for (j = 0; j < verxs; j++) { 
                    graph.weight[i][j] = weight[i][j];
                }
            }
        }
    
        //显示图的邻接矩阵
        public void showGraph(MGraph graph) { 
            for (int[] link : graph.weight) { 
                System.out.println(Arrays.toString(link));
            }
        }
    
        //编写 prim 算法，得到最小生成树
    
        /** * @param graph 图 * @param v 表示从图的第几个顶点开始生成'A'->0 'B'->1... */
        public void prim(MGraph graph, int v) { 
            //visited[] 标记结点(顶点)是否被访问过
            int visited[] = new int[graph.verxs];
            //visited[] 默认元素的值都是 0, 表示没有访问过
            /*for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) { visited[i] = 0; }*/
    
            //把当前这个结点标记为已访问
            visited[v] = 1;
            //h1 和 h2 记录两个顶点的下标
            int h1 = -1;
            int h2 = -1;
            int minWeight = 10000; //将 minWeight 初始成一个大数，后面在遍历过程中，会被替换
            for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) { //因为有 graph.verxs 顶点，普利姆算法结束后，有 graph.verxs-1 边
                //这个是确定每一次生成的子图 ，和哪个结点的距离最近
                for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) { // i 结点表示被访问过的结点
                    for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) { //j 结点表示还没有访问过的结点
                        if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) { 
                            //替换 minWeight(寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边)
                            minWeight = graph.weight[i][j];
                            h1 = i;
                            h2 = j;
                        }
                    }
                }
                //找到一条边是最小
                System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight); //将当前这个结点标记为已经访问
                visited[h2] = 1;
                //minWeight 重新设置为最大值 10000
                minWeight = 10000;
            }
        }
    }
    
    class MGraph { 
        int verxs; //表示图的节点个数
        char[] data;//存放结点数据
        int[][] weight; //存放边，就是我们的邻接矩阵
    
        public MGraph(int verxs) { 
            this.verxs = verxs;
            data = new char[verxs];
            weight = new int[verxs][verxs];
        }
    }

转载至：尚硅谷\_韩顺平\_图解Java数据结构和算法.pdf

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