白话经典算法系列之七堆与堆排序

待我称王封你为后i 2023-06-18 06:59 26阅读 0赞

**堆排序**与**[快速排序][Link 1]**，**[归并排序][Link 2]**一样都是时间复杂度为O(N\*logN)的几种常见排序方法。学习堆排序前，先讲解下什么是数据结构中的二叉堆。

## 二叉堆的定义 ##

二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。

二叉堆满足二个特性：

> 1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。
> 
> 2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为**最大堆**。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为**最小堆**。下图展示一个最小堆：

![aHR0cDovL2hpLmNzZG4ubmV0L2F0dGFjaG1lbnQvMjAxMTA4LzIyLzBfMTMxNDAxNDY2NmQ1b2UuZ2lm][]

由于其它几种堆（二项式堆，斐波纳契堆等）用的较少，一般将二叉堆就简称为堆。

## 堆的存储 ##

一般都用数组来表示堆，i 结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下标分别为2 \* i + 1和2 \* i + 2。如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。

![aHR0cDovL2hpLmNzZG4ubmV0L2F0dGFjaG1lbnQvMjAxMTA4LzIyLzBfMTMxNDAxNDcwNmdacW4uZ2lm][]

## 堆的操作——插入删除 ##

下面先给出《数据结构C++语言描述》中最小堆的建立插入删除的图解，再给出本人的实现代码，最好是先看明白图后再去看代码。

![aHR0cDovL2hpLmNzZG4ubmV0L2F0dGFjaG1lbnQvMjAxMTA4LzI0LzBfMTMxNDE1MjA3ODc3czcuZ2lm][]

### 堆的插入 ###

每次插入都是将新数据放在数组最后。可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序数据中——这就类似于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中，对照[《白话经典算法系列之二 直接插入排序的三种实现》][Link 3]不难写出插入一个新数据时堆的调整代码：

//  新加入i结点  其父结点为(i - 1) / 2
    void MinHeapFixup(int a[], int i)
    {
        int j, temp;
    	
    	temp = a[i];
    	j = (i - 1) / 2;      //父结点
    	while (j >= 0 && i != 0)
    	{
    		if (a[j] <= temp)
    			break;
    		
    		a[i] = a[j];     //把较大的子结点往下移动,替换它的子结点
    		i = j;
    		j = (i - 1) / 2;
    	}
    	a[i] = temp;
    }

更简短的表达为：

void MinHeapFixup(int a[], int i)
    {
    	for (int j = (i - 1) / 2; (j >= 0 && i != 0)&& a[i] > a[j]; i = j, j = (i - 1) / 2)
    		Swap(a[i], a[j]);
    }

插入时：

//在最小堆中加入新的数据nNum
    void MinHeapAddNumber(int a[], int n, int nNum)
    {
    	a[n] = nNum;
    	MinHeapFixup(a, n);
    }

### 堆的删除 ###

按定义，堆中每次都只能删除第0个数据。为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点，然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右儿子结点中找最小的，如果父结点比这个最小的子结点还小说明不需要调整了，反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于从根结点将一个数据的“下沉”过程。下面给出代码：

//  从i节点开始调整,n为节点总数 从0开始计算 i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2
    void MinHeapFixdown(int a[], int i, int n)
    {
        int j, temp;
     
    	temp = a[i];
    	j = 2 * i + 1;
    	while (j < n)
    	{
    		if (j + 1 < n && a[j + 1] < a[j]) //在左右孩子中找最小的
    			j++;
     
    		if (a[j] >= temp)
    			break;
     
    		a[i] = a[j];     //把较小的子结点往上移动,替换它的父结点
    		i = j;
    		j = 2 * i + 1;
    	}
    	a[i] = temp;
    }
    //在最小堆中删除数
    void MinHeapDeleteNumber(int a[], int n)
    {
    	Swap(a[0], a[n - 1]);
    	MinHeapFixdown(a, 0, n - 1);
    }

## 堆化数组 ##

有了堆的插入和删除后，再考虑下如何对一个数据进行堆化操作。要一个一个的从数组中取出数据来建立堆吧，不用！先看一个数组，如下图：

![aHR0cDovL2hpLmNzZG4ubmV0L2F0dGFjaG1lbnQvMjAxMTA4LzIyLzBfMTMxNDAxNDcyNUs1azYuZ2lm][]

很明显，对叶子结点来说，可以认为它已经是一个合法的堆了即20，60， 65， 4， 49都分别是一个合法的堆。只要从A\[4\]=50开始向下调整就可以了。然后再取A\[3\]=30，A\[2\] = 17，A\[1\] = 12，A\[0\] = 9分别作一次向下调整操作就可以了。下图展示了这些步骤：

![aHR0cDovL2hpLmNzZG4ubmV0L2F0dGFjaG1lbnQvMjAxMTA4LzIyLzBfMTMxNDAxNDczNWtiQkEuZ2lm][]

写出堆化数组的代码：

//建立最小堆
    void MakeMinHeap(int a[], int n)
    {
    	for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
    		MinHeapFixdown(a, i, n);
    }

至此，堆的操作就全部完成了(注1)，再来看下如何用堆这种数据结构来进行排序。

## 堆排序 ##

首先可以看到堆建好之后堆中第0个数据是堆中最小的数据。取出这个数据再执行下堆的删除操作。这样堆中第0个数据又是堆中最小的数据，重复上述步骤直至堆中只有一个数据时就直接取出这个数据。

由于堆也是用数组模拟的，故堆化数组后，第一次将A\[0\]与A\[n - 1\]交换，再对A\[0…n-2\]重新恢复堆。第二次将A\[0\]与A\[n – 2\]交换，再对A\[0…n - 3\]重新恢复堆，重复这样的操作直到A\[0\]与A\[1\]交换。由于每次都是将最小的数据并入到后面的有序区间，故操作完成后整个数组就有序了。有点类似于**[直接选择排序][Link 4]**。

void MinheapsortTodescendarray(int a[], int n)
    {
    	for (int i = n - 1; i >= 1; i--)
    	{
    		Swap(a[i], a[0]);
    		MinHeapFixdown(a, 0, i);
    	}
    }

注意使用最小堆排序后是递减数组，要得到递增数组，可以使用最大堆。

由于每次重新恢复堆的时间复杂度为O(logN)，共N - 1次重新恢复堆操作，再加上前面建立堆时N / 2次向下调整，每次调整时间复杂度也为O(logN)。二次操作时间相加还是O(N \* logN)。故堆排序的时间复杂度为O(N \* logN)。STL也实现了堆的相关函数，可以参阅[《STL系列之四 heap 堆》][STL_ heap]。

注1 作为一个数据结构，最好用类将其数据和方法封装起来，这样即便于操作，也便于理解。此外，除了堆排序要使用堆，另外还有很多场合可以使用堆来方便和高效的处理数据，以后会一一介绍。

[Link 1]: http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/6684558
[Link 2]: http://blog.csdn.net/morewindows/article/details/6678165
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[Link 3]: https://blog.csdn.net/rocling/article/details/103330359
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[Link 4]: https://blog.csdn.net/rocling/article/details/103330651
[STL_ heap]: https://blog.csdn.net/morewindows/article/details/6967409