有效估计

浅浅的花香味﹌ 2023-06-26 12:21 9阅读 0赞

已知: X 服 从 X X服从X X服从X~ N ( 1 , 2 σ 2 ) 的 正 态 分 布 N(1,2\\sigma^2)的正态分布 N(1,2σ2)的正态分布  
已知： σ ^ 2 = 1 2 n ∑ i = 1 n ( x i − 1 ) 2 \\hat\\sigma^2=\\frac\{1\}\{2n\}\\sum\_\{i=1\}^\{n\}(x\_i-1)^2 σ^2=2n1∑i=1n(xi−1)2  
已知： f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ; σ 2 ) = ( 1 4 π σ 2 ) n e − 1 4 σ 2 ∑ i = 1 n ( x i − 1 ) 2 f(x\_1,x\_2,...,x\_n;\\sigma^2)=(\\frac\{1\}\{\\sqrt\{4\\pi\\sigma^2\}\})^ne^\{-\\frac\{1\}\{4\\sigma^2\}\\sum\_\{i=1\}^\{n\}(x\_i-1)^2\} f(x1,x2,...,xn;σ2)=(4πσ21)ne−4σ21∑i=1n(xi−1)2  
问 σ 2 \\sigma^2 σ2的一致最小方差无偏估计是否为有效估计？证明你的结论  
 V a r ( σ ^ 2 ) = 1 4 n 2 V a r ( ∑ i = 1 n ( x 1 − 1 ) 2 ) = 1 4 n V a r ( ( x 1 − 1 ) 2 ) Var(\\hat\\sigma^2)=\\frac\{1\}\{4n^2\}Var(\\sum\_\{i=1\}^\{n\}(x\_1-1)^2)=\\frac\{1\}\{4n\}Var((x\_1-1)^2) Var(σ^2)=4n21Var(∑i=1n(x1−1)2)=4n1Var((x1−1)2)  
 X X X~ N ( 1 , 2 σ 2 ) N(1,2\\sigma^2) N(1,2σ2)  
 X − 1 2 σ / n \\frac\{X-1\}\{\\sqrt\{2\}\\sigma/\\sqrt n\} 2σ/nX−1~ N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)是标准正态分布  
 ∴ ( X − 1 ) 2 2 σ 2 / 1 ( n ) ∴\\frac\{(X-1)^2\}\{2\\sigma^2/1(n) \} ∴2σ2/1(n)(X−1)2~ χ 2 ( 1 ) \\chi ^2(1) χ2(1)  
 V a r ( ( X − 1 ) 2 2 σ 2 / 1 ( n ) ) = 2 Var(\\frac\{(X-1)^2\}\{2\\sigma^2/1(n) \})=2 Var(2σ2/1(n)(X−1)2)=2  
 1 4 σ 4 V a r ( ( X − 1 ) 2 ) = 2 \\frac\{1\}\{4\\sigma^4\}Var((X-1)^2)=2 4σ41Var((X−1)2)=2  
 V a r ( ( X − 1 ) 2 ) = 8 σ 2 Var((X-1)^2)=8\\sigma^2 Var((X−1)2)=8σ2  
 1 4 n V a r ( ( x 1 − 1 ) 2 ) = 1 4 n ∗ 8 σ 4 = 2 σ 4 n \\frac\{1\}\{4n\}Var((x\_1-1)^2)=\\frac\{1\}\{4n\} \* 8\\sigma^4=\\frac\{2\\sigma^4\}\{n\} 4n1Var((x1−1)2)=4n1∗8σ4=n2σ4

似然函数： L ( σ 2 ) = f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ; σ 2 ) = ( 1 4 π σ 2 ) n e − 1 4 σ 2 ∑ i = 1 n ( x i − 1 ) 2 L(\\sigma^2)=f(x\_1,x\_2,...,x\_n;\\sigma^2)=(\\frac\{1\}\{\\sqrt\{4\\pi\\sigma^2\}\})^ne^\{-\\frac\{1\}\{4\\sigma^2\}\\sum\_\{i=1\}^\{n\}(x\_i-1)^2\} L(σ2)=f(x1,x2,...,xn;σ2)=(4πσ21)ne−4σ21∑i=1n(xi−1)2  
对数似然函数： l n L ( σ 2 ) = l n f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ; σ 2 ) lnL(\\sigma^2)=lnf(x\_1,x\_2,...,x\_n;\\sigma^2) lnL(σ2)=lnf(x1,x2,...,xn;σ2)  
 = − n 2 ( l n ( 4 π ) + l n ( σ 2 ) ) − 1 4 σ 2 ∑ i = 1 n ( x i − 1 ) 2 =-\\frac\{n\}\{2\}(ln(4\\pi)+ln(\\sigma^2)) -\\frac\{1\}\{4\\sigma^2\}\\sum\_\{i=1\}^\{n\}(x\_i-1)^2 =−2n(ln(4π)\+ln(σ2))−4σ21∑i=1n(xi−1)2  
对对数似然函数求导得：  
 ∂ l n L ( σ 2 ) ∂ σ 2 = − n 2 σ 2 + 1 4 σ 4 ( x i − 1 ) 2 \\frac\{\\partial lnL(\\sigma^2)\}\{\\partial \\sigma^2\}=-\\frac\{n\}\{2\\sigma^2\}+\\frac\{1\}\{4\\sigma^4\}(x\_i-1)^2 ∂σ2∂lnL(σ2)=−2σ2n\+4σ41(xi−1)2  
二次求导得：n=1  
 ∂ 2 l n L ( σ 2 ) ( ∂ σ 2 ) 2 = 1 ( n ) 2 σ 4 − 1 2 σ 6 ( x i − 1 ) 2 \\frac\{\\partial^2 lnL(\\sigma^2)\}\{(\\partial \\sigma^2)^2\}=\\frac\{1(n)\}\{2\\sigma^4\}-\\frac\{1\}\{2\\sigma^6\}(x\_i-1)^2 (∂σ2)2∂2lnL(σ2)=2σ41(n)−2σ61(xi−1)2  
 I ( σ 2 ) = − E ( ∂ 2 l n L ( σ 2 ) ( ∂ σ 2 ) 2 ) I(\\sigma^2)=-E(\\frac\{\\partial^2 lnL(\\sigma^2)\}\{(\\partial \\sigma^2)^2\}) I(σ2)=−E((∂σ2)2∂2lnL(σ2))  
 = − 1 2 σ 4 + 1 2 σ 6 E ( ( x − 1 ) 2 ) =-\\frac\{1\}\{2\\sigma^4\}+\\frac\{1\}\{2\\sigma^6\}E((x-1)^2) =−2σ41\+2σ61E((x−1)2)

X − 1 2 σ / n \\frac\{X-1\}\{\\sqrt\{2\}\\sigma/\\sqrt n\} 2σ/nX−1~ N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)是标准正态分布  
 ∴ ( X − 1 ) 2 2 σ 2 / 1 ( n ) ∴\\frac\{(X-1)^2\}\{2\\sigma^2/1(n) \} ∴2σ2/1(n)(X−1)2~ χ 2 ( 1 ) \\chi ^2(1) χ2(1)  
 E ( ( X − 1 ) 2 2 σ 2 ) = 1 E(\\frac\{(X-1)^2\}\{2\\sigma^2\})=1 E(2σ2(X−1)2)=1  
 E ( ( X − 1 ) 2 ) = 2 σ 2 E((X-1)^2)=2\\sigma^2 E((X−1)2)=2σ2  
 I ( σ 2 ) = 1 2 σ 4 I(\\sigma^2)=\\frac\{1\}\{2\\sigma^4\} I(σ2)=2σ41  
从而 V a r ( σ ^ 2 ) = 2 σ 4 n Var(\\hat\\sigma^2)=\\frac\{2\\sigma^4\}\{n\} Var(σ^2)=n2σ4  
 ( ( σ 2 ) ′ ) 2 n I ( σ 2 ) = 2 σ 4 n \\frac\{((\\sigma^2)^\{'\})^2\}\{nI(\\sigma^2)\}=\\frac\{2\\sigma^4\}\{n\} nI(σ2)((σ2)′)2=n2σ4  
从而 V a r ( σ ^ 2 ) = 2 σ 2 n = ( ( σ 2 ) ′ ) 2 n I ( σ 2 ) Var(\\hat \\sigma^2)=\\frac\{2\\sigma^2\}\{n\}=\\frac\{((\\sigma^2)^\{'\})^2\}\{nI(\\sigma^2)\} Var(σ^2)=n2σ2=nI(σ2)((σ2)′)2，即信息不等式等号成立，故 σ ^ 2 = 1 2 n ∑ i = 1 n ( x i − 1 ) 2 \\hat\\sigma^2=\\frac\{1\}\{2n\}\\sum\_\{i=1\}^\{n\}(x\_i-1)^2 σ^2=2n1∑i=1n(xi−1)2是 σ 2 \\sigma^2 σ2的有效估计。