深度和广度优先搜索算法：如何找出社交网络中的三度好友关系？

以你之姓@ 2023-06-30 08:59 14阅读 0赞

[上一篇][Link 1]我讲到了图的表示方法，讲到如何用有向图、无向图来表示一个社交网络。在社交网络中，有一个六度分割理论，具体是说，你与世界上的另一个人间隔的关系不会超过六度，也就是说平均只需要六步就可以联系到任何两个互不相识的人。

一个用户的一度连接用户很好理解，就是他的好友，二度连接用户就是他好友的好友，三度连接用户就是他好友的好友的好友。在社交网络中，我们往往通过用户之间的连接关系，来实现推荐“可能认识的人”这么一个功能。

今天的开篇问题就是，给你一个用户，如何找出这个用户的所有三度（其中包含一度、二度和三度）好友关系？

这就要用到今天要讲的深度优先和广度优先搜索算法。

### 什么是"搜索"算法？ ###

我们知道，算法是作用具体数据结构上的，深度优先搜索算法和广度优先搜索算法都是基于“图”这种数据结构的。因为，图这种数据结构的表达能力很强，大部分涉及的搜索的场景都可以抽象成“图”。

图上的搜索算法，最直接的理解就是，在图中找出一个顶点触发，到另一个顶点的路径。具体方法有跟多，比如今天要讲的两种最简单、最“暴力”的深度优先、广度优先搜索，还有A\*、IDA\*等启发式搜索算法。

我们上篇讲到图的表示方法有：邻接表和邻接矩阵。今天我会用邻接表来存储图。

需要说明一下，深度优先搜索算法和广度优先搜索算法，既可以用在无向图，也可以用在有向图上。在今天的讲解中，我都针对无向图来讲解。

### 广度优先搜索（BFS） ###

广度优先搜索（Breath-First-Search）,简称BFS。它是一种“地毯式”层层推进的搜索策略，即先查找离起点最近的，然后是次近的，依此往外搜索。理解起来很简单如下图：

![format_png][]

虽然广度优先搜索的原理挺简单，但代码实现还是稍微有点复杂度。所以，我们重点讲一下它的代码实现。

这里面，Bfs() 函数就是基于之前定义的，图的广度优先搜索的代码实现。其中 s 表示起始顶点，t 表示终止顶点。我们搜索一条从 s 到 t 的路径。实际上，这样求得的路径就是从 s 到 t 的最短路径。

using System;
    using System.Collections.Generic;
    using System.Linq;
    using System.Text;
    using System.Threading.Tasks;
    
    namespace 图的搜索算法
    {
        // 图
        class Graph
        {
            public int v;         // 顶点个数
            public List<int> []adj;       // 存储边的信息
    
            public Graph(int v)
            {
                this.v = v;
                adj = new List<int>[v];
                for (int i = 0; i < v; i++)
                {
                    adj[i] = new List<int>();
                }
            }
            // 添加边
            public void AddEdge(int s, int t)
            {
                adj[s].Add(t);
                adj[t].Add(s);
            }
    
            /// <summary>
            /// 广度优先搜索算法
            /// </summary>
            /// <param name="s">起点</param>
            /// <param name="t">终点</param>
            public void Bfs(int s,int t)
            {
                Queue<int> que = new Queue<int>();  // 已遍历队列
                
                bool []visited = new bool[this.v];  //标记是否已经被遍历
                int[] prev = new int[v];            // 前驱节点（到达这个顶点的上一个顶点）
    
                for (int i = 0; i < v; i++)
                {
                    visited[i] = false;
                    prev[i] = -1;
                }
    
                visited[s] = true;
                que.Enqueue(s);
    
                while (que.Count > 0)
                {
                    int tmpS = que.Dequeue();
                    List<int> nextList = adj[tmpS];
                    for (int i = 0; i < nextList.Count; i++)
                    {
                        int vertex = nextList[i];
                        if (visited[vertex]) continue;
                        que.Enqueue(vertex);
                        visited[vertex] = true;
                        prev[vertex] = tmpS;
                        if (vertex == t)
                        {
                            PrintRoute(s,t,prev);
                            break;
                        }
                    }
                }
            }
    
    
            /// <summary>
            /// 打印s-t的路劲
            /// </summary>
            /// <param name="s">起点</param>
            /// <param name="t">终点</param>
            /// <param name="prev">前驱数组</param>
            private void PrintRoute(int s,int t,int[] prev)
            {
                int end = t;
                if (prev[end] != -1)
                {
                    PrintRoute(s, prev[end],prev);
                }
                Console.Write(end + " ");
            }
        }
    }

代码不是很好理解，但是只要理解了 visited、que、prev这三个变量，读懂代码就非常简单了。代码中我也做了详细的注释。

**visited**是 用来记录已经被访问的顶点，用来避免顶点被重复访问。如果顶点 vertex 被访问，那相应的 visited\[vertex\]就设置为true。

que是一个队列，用来存储已经被访问的顶点。因为是广度优先搜索是逐层遍历的，也就是说，我们要把第k层的顶点都访问完成之后，才能访问第k+1层的顶点。当我们访问到第k层顶点的时候，我们需要把第k层的顶点记录下来，稍后才能通过第k层的顶点查找第k+1层的顶点。所以我们用队列先进先出来实现记录功能。

prev 用来记录搜索路径。当我们从顶点s开始，广度优先搜索到顶点t后，prev数组中存储的路径就是搜索的路径。不过，这个路径是反向存储的。prev\[w\] 存储的是，顶点 w 是从哪个前驱顶点遍历过来的。比如，我们通过顶点 2 的邻接表访问到顶点 3，那 prev\[3\] 就等于 2。为了正向打印出路径，我们需要递归地来打印，你可以看下 PrintRoute() 函数的实现方式。

为了方便你理解，我画了一个广度优先搜索的分解图，你可以结合着代码以及我的讲解一块儿看。

![format_png 1][]

![format_png 2][]

![format_png 3][]

掌握了广优先搜索算法的原理，我们来看下，广度优先搜索的时间、空间复杂度是多少呢？

**时间复杂度：**

最坏情况：终止顶点t离起始顶点很远，要遍历完整个图才能找到。这个时候，每个顶点都要进出一遍队列，每个边也都会被遍历一次。所以，假设V个顶点E条边，广度优先搜索算法的时间复杂度是O(V+E)。当然，对于一个连通图来说，也就是说一个图中的所有顶点都是连通的，E 肯定要大于等于 V-1，所以，广度优先搜索的时间复杂度也可以简写为 O(E)。

**空间复杂度：**

广度优先算法中主要用到了 prev 数组 visited 数组，和 que队列，这三个的大小都不会超过顶点的个数.所以空间复杂度就是O(V)。

### 深度优先搜索（DFS） ###

深度优先搜索（Depth-First-Search），简称 DFS。最直观的例子就是“走迷宫”。

假设你站在迷宫的某个岔路口，然后想找到出口。你随意选择一个岔路口来走，走着走着发现走不通的时候，你就回退到上一个岔路口，重新选择一条路继续走，直到最终找到出口。这种走法就是一种深度优先搜索策略。

走迷宫的例子很容易能看懂，我们现在再来看下，如何在图中应用深度优先搜索，来找某个顶点到另一个顶点的路径。

如下图：搜索的起始顶点是 s，终止顶点是 t，我们希望在图中寻找一条从顶点 s 到顶点 t 的路径。如果映射到迷宫那个例子，s 就是你起始所在的位置，t 就是出口。

我用深度递归算法，把整个搜索的路径标记出来了。这里面实线箭头表示遍历，虚线箭头表示回退。从图中我们可以看出，深度优先搜索找出来的路径，并不是顶点 s 到顶点 t 的最短路径。

![format_png 4][]

实际上，深度优先搜索用的是一种比较著名的算法思想，回溯思想。这种思想解决问题的过程，非常适合用递归来实现。回溯思想我们后面会有专门的一节来讲，我们现在还回到深度优先搜索算法上。

我把上面的过程用递归来翻译出来，就是下面这个样子。我们发现，深度优先搜索代码实现也用到了 prev、visited 变量以及 print() 函数，它们跟广度优先搜索代码实现里的作用是一样的。不过，深度优先搜索代码实现里，有个比较特殊的变量 found，它的作用是，当我们已经找到终止顶点 t 之后，我们就不再递归地继续查找了。

理解了深度优先搜索算法之后，我们来看，深度度优先搜索的时间、空间复杂度是多少呢？

从前面的图可以看出，每条边最多可以被访问两次，一次是遍历，一次是回退。所以，图上的深度优先搜索算法的时间复杂度是O(E),E表示边的个数。

### **开篇解答** ###

了解了深度优先搜索和广度优先搜索的原理之后，如何找出社交网络中的某个用户的三度好友关系就变的很简单了。

[上一篇][Link 1]讲到社交网络可以用图来表示。那么我们只需要用广度优先搜索算法来解决。首先，遍历与起始顶点最近的一层顶点，也就是用户的一度好友，然后在遍历与用户距离的边数为2的顶点，也就是二度好友关系，以及与用户距离的边数为3的顶点，也就是三度好友关系。

我们只需要改造下广度优先搜索代码，用一个数组来记录每个顶点与起始顶点的距离，非常容易就可以找出三度好友关系。

### 内容小结 ###

广度优先搜索和深度优先搜索是图上的两种常用，最基本的搜索算法，比起其他高级的搜索算法，比如A\*、IDA\*等，要简单粗暴，没有什么优化，所以，也被叫做暴力搜索算法。所以，这两种搜索算法仅适用于状态空间不大，也就是图不大的搜索。

广度优先搜索，通俗的理解就是，地毯式层层推进，从起始顶点开始依次往外遍历。广度优先需要借助队列来实现，遍历得到的路径就是，起始顶点到终止顶点的最短路径。深度优先是用回溯思想非常适合用递归实现。换种说法，深度优先搜索是借助于栈来实现的。在执行效率方面，深度优先和广度优先的时间复杂度都是O(E),空间复杂度是O(V)。

[Link 1]: https://blog.csdn.net/weixin_41316824/article/details/103842260
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