数位dp小结

桃扇骨 2023-07-03 07:22 16阅读 0赞

###  数位dp小结 ###

##### 关于limit的问题 #####

在数位dp中,limit的作用主要有两个。

*  控制枚举的界限，倘若没有界限，每一位的枚举范围都是0-9. 但如果有界限，那么可能不能取到9. 例如求1到311范围内不含有连续两个1的个数。当百位枚举到了3，那么如果你的十位只能枚举0-2.
 *  控制剪枝的合法性： 很明显，相比于暴力搜索，数位dp唯一的优势就是剪枝。但剪枝往往会带来一些错误。在数位dp中，我们进行剪枝的一个前提是limit0，也就是当前位枚举没有限制时才能进行剪枝。 为什么？请先看这个例子：题目依然是求1到321中，不含连续两个1的个数。当百位枚举为0，十位枚举为1时，当枚举个位时，除了个位枚举1不满足题意外，其他9个数都满足，所以dp\[0\]\[1\]=9。而当百位枚举到3时，十位枚举1，此时我们已经记忆了dp\[0\]\[1\]=9，但很明显，此时只有310,满足题意。 为什么会出现这样的情况？ 其实一个明显的原因就是：我们记忆化时的状态，仅仅只记忆了limit1，也就是没有限制时的状态。该算法认为，有限制条件的数是很少的，所以对于有限制条件的数，我们都是直接暴力搜索的。

理解前面这段话可能比较抽象，可以结合下面这段模板代码来理解。这段代码来自：[数位dp总结][dp]

int a[20];
    ll dp[20][state];//不同题目状态不同
    ll dfs(int pos,/*state变量*/,bool lead/*前导零*/,bool limit/*数位上界变量*/)//不是每个题都要判断前导零
    {
        //递归边界，既然是按位枚举，最低位是0，那么pos==-1说明这个数我枚举完了
        if(pos==-1) return 1;/*这里一般返回1，表示你枚举的这个数是合法的，那么这里就需要你在枚举时必须每一位都要满足题目条件，也就是说当前枚举到pos位，一定要保证前面已经枚举的数位是合法的。不过具体题目不同或者写法不同的话不一定要返回1 */
        //第二个就是记忆化(在此前可能不同题目还能有一些剪枝)
        if(!limit && !lead && dp[pos][state]!=-1) return dp[pos][state];
        /*常规写法都是在没有限制的条件记忆化，这里与下面记录状态是对应，具体为什么是有条件的记忆化后面会讲*/
        int up=limit?a[pos]:9;//根据limit判断枚举的上界up;这个的例子前面用213讲过了
        ll ans=0;
        //开始计数
        for(int i=0;i<=up;i++)//枚举，然后把不同情况的个数加到ans就可以了
        {
            if() ...
            else if()...
            ans+=dfs(pos-1,/*状态转移*/,lead && i==0,limit && i==a[pos]) //最后两个变量传参都是这样写的
            /*这里还算比较灵活，不过做几个题就觉得这里也是套路了
            大概就是说，我当前数位枚举的数是i，然后根据题目的约束条件分类讨论
            去计算不同情况下的个数，还有要根据state变量来保证i的合法性，比如题目
            要求数位上不能有62连续出现,那么就是state就是要保存前一位pre,然后分类，
            前一位如果是6那么这意味就不能是2，这里一定要保存枚举的这个数是合法*/
        }
        //计算完，记录状态
        if(!limit && !lead) dp[pos][state]=ans;
        /*这里对应上面的记忆化，在一定条件下时记录，保证一致性，当然如果约束条件不需要考虑lead，这里就是lead就完全不用考虑了*/
        return ans;
    }
    ll solve(ll x)
    {
        int pos=0;
        while(x)//把数位都分解出来
        {
            a[pos++]=x%10;//个人老是喜欢编号为[0,pos),看不惯的就按自己习惯来，反正注意数位边界就行
            x/=10;
        }
        return dfs(pos-1/*从最高位开始枚举*/,/*一系列状态 */,true,true);//刚开始最高位都是有限制并且有前导零的，显然比最高位还要高的一位视为0嘛
    }
    int main()
    {
        ll le,ri;
        while(~scanf("%lld%lld",&le,&ri))
        {
            //初始化dp数组为-1,这里还有更加优美的优化,后面讲
            printf("%lld\n",solve(ri)-solve(le-1));
        }
    }

##### 关于状态表示 #####

数位dp的核心在于状态表示。状态表示的原则是：使用空间尽可能小；保证状态表示的唯一性。

##### 关于前导0 #####

前导0指的是： 例如枚举1到1000之间数，数位dp是从最高位，千位开始枚举千位从0枚举到1.当千位为0时，就是一个前导0，例如，001其实表示的就是1.  
关于前导0的题，可以参考[leetcode][]

[dp]: https://blog.csdn.net/wust_zzwh/article/details/52100392
[leetcode]: https://leetcode-cn.com/problems/count-numbers-with-unique-digits/