[数据结构与算法] 盘点工作中常用的算法

浅浅的花香味﹌ 2023-07-08 09:06 91阅读 0赞

### 常用算法总结 ###

*   *  1. 二分查找算法(非递归)
     *  2. 分治问题
     *  3. 动态规划算法
     *  4. KMP算法(字符串匹配问题)
     *   *  方式一: 暴力匹配算法
         *  方式二: KMP算法
     *  5. 贪心算法
     *  6. 普里姆算法
     *  7. 克鲁斯卡尔算法
     *  8. 迪杰斯特拉算法
     *  9. 弗洛伊德算法
     *  10. 马踏棋盘/骑士周游问题

> 在工作和生活中, 我们经常会遇到很多算法. 但是不同于我们之前学习的数据结构与算法, 他们更具目的性, 更加贴合我们工作需要. 下面, 就让我们一起来学习吧!

## 1. 二分查找算法(非递归) ##

**介绍**

*  前面我们讲过了二分查找算法，是使用递归的方式，下面我们讲解二分查找算法的非递归方式
 *  **二分查找法只适用于从有序的数列**中进行查找(比如数字和字母等)，将数列排序后再进行查找
 *  **二分查找法的运行时间复杂度为对数时间O(㏒₂n)** ，即查找到需要的目标位置最多只需要㏒₂n步，假设从\[0,99\]的队列(100个数，即n=100)中寻到目标数30，则需要查找步数为㏒₂100 , 即最多需要查找7次( 2^6 < 100 < 2^7)

**案例: 数组 \{1,3, 8, 10, 11, 67, 100\}, 编程实现二分查找， 要求使用非递归的方式完成.**

**思路分析：**

*  需要手动定义参数: left,right,mid,midVal (**后两个需要在循环语句内定义,因为每次循环结束后都要被初始化**)
 *  当最左边下标小于等于最右边下标时(`left<=right`>),执行如下判断  
    1.`midVal>target`//说明带查找的值位于中间值左边(将right=mid-1)  
    2.`midVal<target`//说明带查找的值位于中间值右边(将left=mid+1)  
    3.`midVal=target`,说明中间值就是需要找到的元素,直接返回即可
 *  如果`left>right`,说明遍历所有元素后未找到结果

**代码实现：**

public class BinarySearchNoRecur { 
        public static void main(String[] args) { 
            int arr[] = { 1, 3, 8, 10, 11, 67, 100};
            int i = binarySearch1(arr, 1);//非递归方式
            //int i = binarySearch2(arr, 0,arr.length-1,1);//递归方式
            if (i==-1){ 
                System.out.println("未找到结果,请重试");
            }else { 
                System.out.println("当前元素的下标为: "+i);
            }
        }
    
        /** * 二分查找非递归实现 * @param arr 待查数组,必须是升序 * @param target 待查找的数 * @return 如果找到则返回对应下标,否则返回-1 */
        public static int binarySearch1(int[] arr,int target){ 
            int left=0;//最左边下标
            int right = arr.length - 1;//最右边的下标
    
            while (left<=right){ 
             //如果这两个值在外面定义,则每次循环结束后不会被初始化,导致死循环
            int mid = (left + right) / 2;//中间值下标
            int midVal = arr[mid];//中间值
                if (midVal>target){ //说明带查找的值位于中间值左边(将right=mid-1)
                    right = mid - 1;
                }else if (midVal<target){ //说明带查找的值位于中间值右边(将left=mid+1)
                    left = mid + 1;
                }else { 
                    return mid;
                }
            }
            //如果left>right,说明遍历所有元素后未找到结果
            return -1;
        }
    
        /** * 复习二分查找的递归实现 * @param arr 带查找的数组,必须是有序的 * @param left 最左边的下标,递归调用时必须有的参数(非递归可无) * @param right 最右边的下标,递归调用时必须有的参数(非递归可无) * @param target 目标元素 * @return 查找到返回相应的下标,否则返回-1 */
        public static int binarySearch2(int[] arr, int left, int right, int target) { 
            //设置中间值和中间下标
            int mid = (left + right) / 2;
            int midVal = arr[mid];
    
            if (left > right) { //如果left>right,说明遍历所有元素后未找到结果
                return -1;
            } else { 
                if (midVal < target) { //说明目标值位于中间值右侧
                    return binarySearch2(arr, mid + 1, right, target);
                } else if (midVal > target) { //说明目标值位于中间值左侧
                    return binarySearch2(arr, left, mid - 1, target);
                } else { 
                    return mid;
                }
            }
        }
    }

**结果测试**  
![在这里插入图片描述][20200225181009586.png]

## 2. 分治问题 ##

**分治算法介绍**  
 分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。 这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……

**分治算法可以求解的一些经典问题**

*  二分搜索
 *  大整数乘法
 *  棋盘覆盖
 *  合并排序
 *  快速排序
 *  线性时间选择
 *  最接近点对问题
 *  循环赛日程表
 *  **汉诺塔**

由上面举例可以看出, **分治问题实质是对方法的递归调用. 通过以递归调用多占用的空间来换取运行程序所需要的时间(以空间换时间)**

**分治算法的基本步骤**

> 分治法在每一层递归上都有三个步骤：

1.  分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题
2.  解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
3.  合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

**分治(Divide-and-Conquer( P))算法设计模式如下：**

![在这里插入图片描述][20200225213517993.png]  
其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC( P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC( P)求解。算法MERGE(y1,y2,…,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,…,Pk的相应的解y1,y2,…,yk合并为P的解。

**分治算法最佳实践-汉诺塔**  
[点击试玩汉诺塔游戏][Link 1]

**汉诺塔游戏的演示和思路分析:**

*  如果是有一个盘， A->C  
    如果我们有 n >= 2 情况，我们总是可以看做是两个盘 1.最下边的盘 2. 上面的盘
 *  先把 最上面的盘 A->B
 *  把最下边的盘 A->C
 *  把B塔的所有盘 从 B->C

public class HanoiTower { 
        public static void main(String[] args) { 
            hanoiTower(10, 'A', 'B', 'C');
        }
    
        /** * 汉诺塔移动的方法---分治算法 * @param num 盘子的个数 * @param a 代表第一个放盘子的位置 * @param b 代表第二个放盘子的位置 * @param c 代表第三个放盘子的位置 */
        public static void hanoiTower(int num, char a, char b, char c) { 
            //如果只有一个盘
            if(num == 1) { 
                System.out.println("第1个盘从 " + a + "->" + c);
            } else { 
                //如果我们有 n >= 2 情况，我们总是可以看做是两个盘 1.最下边的一个盘 2. 上面的所有盘
                //1. 先把最上面的所有盘 A->B， 移动过程会使用到 c
                hanoiTower(num - 1, a, c, b);
                //2. 把最下边的盘 A->C
                System.out.println("第" + num + "个盘从 " + a + "->" + c);
                //3. 把B塔的所有盘 从 B->C , 移动过程使用到 a塔
                hanoiTower(num - 1, b, a, c);
    
            }
        }
    
    
    
    }

**结果展示**  
调用该方法是,第一个参数代表盘的个数,我们可以通过指定这个参数运行得到下图步骤, 根据这些步骤即可破解该游戏  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMzcxNTU2_size_16_color_FFFFFF_t_70]

## 3. 动态规划算法 ##

>  动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：**将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法**  
>

*  动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。
 *  与分治法不同的是，**适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。** ( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解 )
 *  动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解.

**应用场景-背包问题**

> 背包问题：有一个背包，容量为4磅 ， 现有如下物品

1.  要求达到的目标为装入的背包的总价值最大，并且重量不超出
2.  要求装入的物品不能重复  
    ![在这里插入图片描述][20200226163411340.png]
3.  思路分析和图解  
    背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)  
    这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包。
    
        (1)  v[i][0]=v[0][j]=0; //表示 填入表 第一行和第一列是0
        (2) 当w[i]> j 时：v[i][j]=v[i-1][j]   // 当准备加入新增的商品的容量大于 当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略
        (3) 当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]}  
        	// 当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量,
        	// 装入的方式:
        	v[i-1][j]： 就是上一个单元格的装入的最大值
        	v[i] : 表示当前商品的价值 
        	v[i-1][j-w[i]] ： 装入i-1商品，到剩余空间j-w[i]的最大值
        	当j>=w[i]时： v[i][j]=max{v[i-1][j], v[i]+v[i-1][j-w[i]]} :
    
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMzcxNTU2_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]  
     注意: 在求解该类问题(动态规划)时. 需要总结出公式/思路, 然后将这个思路转换成代码即可

**代码实现**

public class KnapsackProblem { 
        public static void main(String[] args) { 
            int[] w = { 1, 4, 3};//物品的重量
            int[] val = { 1500, 3000, 2000}; //物品的价值 这里val[i] 就是前面讲的v[i]
            int m = 4; //背包的容量
            int n = val.length; //物品的个数
    
            //创建二维数组，
            //v[i][j] 表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值
            int[][] v = new int[n+1][m+1];
            //为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组
            int[][] path = new int[n+1][m+1];
    
            //初始化第一行和第一列, 这里在本程序中，可以不去处理，因为默认就是0
            for(int i = 0; i < v.length; i++) { 
                v[i][0] = 0; //将第一列设置为0
            }
            for(int i=0; i < v[0].length; i++) { 
                v[0][i] = 0; //将第一行设置0
            }
    
    
            //根据前面得到公式来动态规划处理
            for(int i = 1; i < v.length; i++) {  //不处理第一行 i是从1开始的
                for(int j=1; j < v[0].length; j++) { //不处理第一列, j是从1开始的
                    //公式
                    if(w[i-1]> j) {  // 因为我们程序i 是从1开始的，因此原来公式中的 w[i] 修改成 w[i-1]
                        v[i][j]=v[i-1][j];
                    } else { 
                        //说明:
                        //因为我们的i 从1开始的， 因此公式需要调整成
                        //v[i][j]=Math.max(v[i-1][j], val[i-1]+v[i-1][j-w[i-1]]);
                        //v[i][j] = Math.max(v[i - 1][j], val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]);
                        //为了记录商品存放到背包的情况，我们不能直接的使用上面的公式，需要使用if-else来体现公式
                        if(v[i - 1][j] < val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]]) { 
                            v[i][j] = val[i - 1] + v[i - 1][j - w[i - 1]];
                            //把当前的情况记录到path
                            path[i][j] = 1;
                        } else { 
                            v[i][j] = v[i - 1][j];
                        }
    
                    }
                }
            }
    
            //输出一下v 看看目前的情况
            for(int i =0; i < v.length;i++) { 
                for(int j = 0; j < v[i].length;j++) { 
                    System.out.print(v[i][j] + " ");
                }
                System.out.println();
            }
    
            System.out.println("============================");
            //输出最后我们是放入的哪些商品
            //遍历path, 这样输出会把所有的放入情况都得到, 其实我们只需要最后的放入
    // for(int i = 0; i < path.length; i++) { 
    // for(int j=0; j < path[i].length; j++) { 
    // if(path[i][j] == 1) { 
    // System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
    // }
    // }
    // }
    
            //动脑筋
            int i = path.length - 1; //行的最大下标
            int j = path[0].length - 1;  //列的最大下标
            while(i > 0 && j > 0 ) {  //从path的最后开始找
                if(path[i][j] == 1) { 
                    System.out.printf("第%d个商品放入到背包\n", i);
                    j -= w[i-1]; //w[i-1]
                }
                i--;
            }
    
        }
    
    }

**结果展示**

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMzcxNTU2_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

## 4. KMP算法(字符串匹配问题) ##

> **应用场景-字符串匹配问题**  
> 有一个字符串 str1= “bbc abcdab abcdabcdabdf”，和一个子串 str2 = “abcdabd”  
> 现在要判断 str1 是否含有 str2, 如果存在，就返回第一次出现的位置, 如果没有，则返回-1  
>

### 方式一: 暴力匹配算法 ###

如果用暴力匹配的思路，并假设现在str1匹配到 i 位置，子串str2匹配到 j 位置，则有:

*  如果当前字符匹配成功（即str1\[i\] == str2\[j\]），则i++，j++，继续匹配下一个字符
 *  如果失配（即str1\[i\]! = str2\[j\]），令i = i - (j - 1)，j = 0。相当于每次匹配失败时，i 回溯，j 被置为0。
 *  用暴力方法解决的话就会有大量的回溯，每次只移动一位，若是不匹配，移动到下一位接着判断，浪费了大量的时间。(不可行!)
 *  暴力匹配算法实现.

public class ViolenceMatch { 
        public static void main(String[] args) { 
            //测试暴力匹配算法
            String str1 = "bbc abcdab abcdabcdabde";
            String str2 = "abcdabd";
            int index = violenceMatch(str1, str2);//返回的是匹配后s1的下标,从0开始
            System.out.println("index=" + index);
        }
    
        /** * 暴力匹配算法 * @param str1 * @param str2 * @return 如果匹配到了返回第一个字符的下标,否则返回-1 */
        public static int violenceMatch(String str1,String str2){ 
            //将两个字符串转换成对应的字符串数组
            char[] s1 = str1.toCharArray();
            char[] s2 = str2.toCharArray();
            //求两个字符串的长度
            int s1Len = s1.length;
            int s2Len = s2.length;
    
            int i = 0;//i索引指向s1
            int j = 0;//j索引指向s2
    
            while (i<s1Len && j<s2Len){ //保证匹配不越界
                if (s1[i]==s2[j]){ //当前字符相等时,向后继续匹配
                    i++;
                    j++;
                }else { //s1[i]!=s2[j],即当前字符不相等
                    //精髓!相当于s2第一个字符的下标将开始与s1第二,第三个个字符下标进行匹配...
                    i = i - (j - 1);
                    j = 0;
                }
            }
            // 对结果进行判断
            if (j==s2Len){ 
                return i - j;//这里的i是s1中包含s2的最后字符的下标, j是字符串s2的长度
            }else { 
                return -1;
            }
    
        }
    }

**结果展示**  
![在这里插入图片描述][2020022622403212.png]

### 方式二: KMP算法 ###

> **KMP是一个解决模式串在文本串是否出现过，如果出现过，最早出现的位置的经典算法**  
> Knuth-Morris-Pratt 字符串查找算法，简称为 “KMP算法”，常 用于在一个文本串S内查找一个模式串P 的出现位置 ，这个算法由Donald Knuth、Vaughan Pratt、James H. Morris三人于1977年联合发表，故取这3人的姓氏命名此算法.

KMP方法算法利**用之前判断过信息，通过一个next数组，保存模式串中前后最长公共子序列的长度，每次回溯时，通过next数组找到，前面匹配过的位置**，省去了大量的计算时间

**参考资料：**  
[很详尽KMP算法(专业性较强)][KMP]  
[漫画：什么是KMP算法？(适合初学者)][KMP 1]

**KMP算法最佳应用-字符串匹配问题**  
要求：问题同上, 使用KMP算法完成判断，不能使用简单的暴力匹配算法.

public class KMPAlgorithm { 
        public static void main(String[] args) { 
            String str1 = "BBC ABCDAB ABCDABCDABDE";
            String str2 = "ABCDABD";
            //String str2 = "BBC";
    
            int[] next = kmpNext("ABCDABD"); //[0, 1, 2, 0]
            System.out.println("next=" + Arrays.toString(next));
    
            int index = kmpSearch(str1, str2, next);
            System.out.println("index=" + index); // 15
    
    
        }
    
        /** *kmp搜索算法 * @param str1 原字符串 * @param str2 子串 * @param next 部分匹配表, 是子串对应的部分匹配表 * @return 如果是-1就是没有匹配到，否则返回第一个匹配的位置 */
        public static int kmpSearch(String str1, String str2, int[] next) { 
            //遍历
            for(int i = 0, j = 0; i < str1.length(); i++) { 
    
                //需要处理 str1.charAt(i) ！= str2.charAt(j), 去调整j的大小
                //KMP算法核心点, 可以验证...
                while( j > 0 && str1.charAt(i) != str2.charAt(j)) { 
                    j = next[j-1];
                }
    
                if(str1.charAt(i) == str2.charAt(j)) { 
                    j++;
                }
                if(j == str2.length()) { //找到了 // j = 3 i
                    return i - j + 1;
                }
            }
            return  -1;
        }
    
        //获取到一个字符串(子串) 的部分匹配值表
        public static  int[] kmpNext(String dest) { 
            //创建一个next 数组保存部分匹配值
            int[] next = new int[dest.length()];
            next[0] = 0; //如果字符串是长度为1 部分匹配值就是0
            for(int i = 1, j = 0; i < dest.length(); i++) { 
                //当dest.charAt(i) != dest.charAt(j) ，我们需要从next[j-1]获取新的j
                //直到我们发现 有 dest.charAt(i) == dest.charAt(j)成立才退出
                //这是kmp算法的核心点
                while(j > 0 && dest.charAt(i) != dest.charAt(j)) { 
                    j = next[j-1];
                }
    
                //当dest.charAt(i) == dest.charAt(j) 满足时，部分匹配值就是+1
                if(dest.charAt(i) == dest.charAt(j)) { 
                    j++;
                }
                next[i] = j;
            }
            return next;
        }
    }

运行结果

![在这里插入图片描述][20200227170940562.png]

## 5. 贪心算法 ##

> 贪婪算法(贪心算法)是指**在对问题进行求解时，在每一步选择中都采取最好或者最优(即最有利)的选择**，从而希望能够导致结果是最好或者最优的算法

*  **贪心算法所得到的结果不一定是最优的结果(有时候会是最优解)，但是都是相对近似(接近)最优解的结果**

**贪心算法最佳应用-集合覆盖**

假设存在如下表的需要付费的广播台，以及广播台信号可以覆盖的地区。 如何选择最少的广播台，让所有的地区都可以接收到信号  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMzcxNTU2_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]

**思路一 穷举法 :**

>  如何找出覆盖所有地区的广播台的集合呢，使用穷举法实现,列出每个可能的广播台的集合，这被称为幂集。假设总的有n个广播台，则广播台的组合总共有2ⁿ -1 个,假设每秒可以计算10个子集， 如图:  
> ![在这里插入图片描述][20200228105134269.png]

**思路二:使用贪心算法**

*  使用贪婪算法，效率高:
 *  目前并没有算法可以快速计算得到准备的值 **， 使用贪婪算法，则可以得到非常接近的解，并且效率高。选择策略上，因为需要覆盖全部地区的最小集合:**
 *  遍历所有的广播电台, 找到一个覆盖了最多未覆盖的地区的电台(此电台可能包含一些已覆盖的地区，但没有关系）
 *  将这个电台加入到一个集合中(比如ArrayList), 想办法把该电台覆盖的地区在下次比较时去掉。  
    重复第1步直到覆盖了全部的地区

**思路图解**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMzcxNTU2_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

**代码实现**

*  **贪婪算法所得到的结果不一定是最优的结果(有时候会是最优解)**，但是都是相对近似(接近)最优解的结果  
    比如上题的算法选出的是K1, K2, K3, K5，符合覆盖了全部的地区
 *  但我们发现 K2, K3,K4,K5 也可以覆盖全部地区，如果K2 的使用成本低于K1,那么我们上题的 K1, K2, K3, K5 虽然是满足条件，但是并不是最优的.

public class GreedyAlgorithm { 
        public static void main(String[] args) { 
            //创建广播电台,放入到Map
            HashMap<String, HashSet<String>> broadcasts = new HashMap<String, HashSet<String>>();
            //将各个电台放入到broadcasts
            HashSet<String> hashSet1 = new HashSet<String>();
            hashSet1.add("北京");
            hashSet1.add("上海");
            hashSet1.add("天津");
    
            HashSet<String> hashSet2 = new HashSet<String>();
            hashSet2.add("广州");
            hashSet2.add("北京");
            hashSet2.add("深圳");
    
            HashSet<String> hashSet3 = new HashSet<String>();
            hashSet3.add("成都");
            hashSet3.add("上海");
            hashSet3.add("杭州");
    
    
            HashSet<String> hashSet4 = new HashSet<String>();
            hashSet4.add("上海");
            hashSet4.add("天津");
    
            HashSet<String> hashSet5 = new HashSet<String>();
            hashSet5.add("杭州");
            hashSet5.add("大连");
    
            //加入到map
            broadcasts.put("K1", hashSet1);
            broadcasts.put("K2", hashSet2);
            broadcasts.put("K3", hashSet3);
            broadcasts.put("K4", hashSet4);
            broadcasts.put("K5", hashSet5);
    
            //allAreas 存放所有的地区
            HashSet<String> allAreas = new HashSet<String>();
            allAreas.add("北京");
            allAreas.add("上海");
            allAreas.add("天津");
            allAreas.add("广州");
            allAreas.add("深圳");
            allAreas.add("成都");
            allAreas.add("杭州");
            allAreas.add("大连");
    
            //创建ArrayList, 存放选择的电台集合
            ArrayList<String> selects = new ArrayList<String>();
    
            //定义一个临时的集合， 在遍历的过程中，存放遍历过程中的电台覆盖的地区和当前还没有覆盖的地区的交集
            HashSet<String> tempSet = new HashSet<String>();
    
            //定义给maxKey ， 保存在一次遍历过程中，能够覆盖最大未覆盖的地区对应的电台的key
            //如果maxKey 不为null , 则会加入到 selects
            String maxKey = null;
            while(allAreas.size() != 0) {  // 如果allAreas 不为0, 则表示还没有覆盖到所有的地区
                //每进行一次while,需要
                maxKey = null;
    
                //遍历 broadcasts, 取出对应key
                for(String key : broadcasts.keySet()) { 
                    //每进行一次for
                    tempSet.clear();
                    //当前这个key能够覆盖的地区
                    HashSet<String> areas = broadcasts.get(key);
                    tempSet.addAll(areas);
                    //求出tempSet 和 allAreas 集合的交集, 交集会赋给 tempSet
                    tempSet.retainAll(allAreas);
                    //如果当前这个集合包含的未覆盖地区的数量，比maxKey指向的集合地区还多
                    //就需要重置maxKey
                    // tempSet.size() >broadcasts.get(maxKey).size()) 体现出贪心算法的特点,每次都选择最优的
                    if(tempSet.size() > 0 &&
                            (maxKey == null || tempSet.size() >broadcasts.get(maxKey).size())){ 
                        maxKey = key;
                    }
                }
                //maxKey != null, 就应该将maxKey 加入selects
                if(maxKey != null) { 
                    selects.add(maxKey);
                    //将maxKey指向的广播电台覆盖的地区，从 allAreas 去掉
                    allAreas.removeAll(broadcasts.get(maxKey));
                }
            }
            System.out.println("得到的选择结果是" + selects);//[K1,K2,K3,K5]
        }
    
    }

结果展示  
![在这里插入图片描述][20200228110015532.png]

## 6. 普里姆算法 ##

>  普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是**在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图**，也就是所谓的极小连通子图

**最小生成树**

*  修路问题本质就是就是最小生成树问题， 先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称MST。
 *  给定一个带权的无向连通图,如何**选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树**
 *  N个顶点，一定有N-1条边,包含全部顶点
 *  N-1条边都在图中  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMzcxNTU2_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]

**求最小生成树的算法**

*  普里姆算法
 *  克鲁斯卡尔算法

**普利姆的算法如下:**

*  设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合
 *  若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited\[u\]=1
 *  若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶- 点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited\[vj\]=1
 *  重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边  
    提示: 单独看步骤很难理解，我们通过代码来讲解，比较好理解.

**应用场景-修路问题**

> 有某个乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个村庄连通  
> 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里

问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?  
思路: 将10条边，连接即可，但是总的里程数不是最小.  
正确的思路，就是尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少

![在这里插入图片描述][20200228133642605.png]

**代码实现**

public class PrimAlgorithm { 
        public static void main(String[] args) { 
            //测试看看图是否创建ok
            char[] data = new char[]{ 'A','B','C','D','E','F','G'};
            int verxs = data.length;
            //邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000这个大数，表示两个点不联通
            int [][]weight=new int[][]{ 
                    { 10000,5,7,10000,10000,10000,2},
                    { 5,10000,10000,9,10000,10000,3},
                    { 7,10000,10000,10000,8,10000,10000},
                    { 10000,9,10000,10000,10000,4,10000},
                    { 10000,10000,8,10000,10000,5,4},
                    { 10000,10000,10000,4,5,10000,6},
                    { 2,3,10000,10000,4,6,10000},};
    
            //创建MGraph对象
            MGraph graph = new MGraph(verxs);
            //创建一个MinTree对象
            MinTree minTree = new MinTree();
            minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
            //输出
            minTree.showGraph(graph);
            //测试普利姆算法
            minTree.prim(graph, 1);//
        }
    
    }
    
    //创建最小生成树->村庄的图
    class MinTree { 
        //创建图的邻接矩阵
        /** * * @param graph 图对象 * @param verxs 图对应的顶点个数 * @param data 图的各个顶点的值 * @param weight 图的邻接矩阵 */
        public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) { 
            int i, j;
            for(i = 0; i < verxs; i++) { //顶点
                graph.data[i] = data[i];
                for(j = 0; j < verxs; j++) { 
                    graph.weight[i][j] = weight[i][j];
                }
            }
        }
    
        //显示图的邻接矩阵
        public void showGraph(MGraph graph) { 
            for(int[] link: graph.weight) { 
                System.out.println(Arrays.toString(link));
            }
        }
    
        //编写prim算法，得到最小生成树
        /** * * @param graph 图 * @param v 表示从图的第几个顶点开始生成'A'->0 'B'->1... */
        public void prim(MGraph graph, int v) { 
            //visited[] 标记结点(顶点)是否被访问过
            int visited[] = new int[graph.verxs];
            //visited[] 默认元素的值都是0, 表示没有访问过
    // for(int i =0; i <graph.verxs; i++) { 
    // visited[i] = 0;
    // }
    
            //把当前这个结点标记为已访问
            visited[v] = 1;
            //h1 和 h2 记录两个顶点的下标
            int h1 = -1;
            int h2 = -1;
            int minWeight = 10000; //将 minWeight 初始成一个大数，后面在遍历过程中，会被替换
            for(int k = 1; k < graph.verxs; k++) { //因为有 graph.verxs顶点，普利姆算法结束后，有 graph.verxs-1边
    
                //这个是确定每一次生成的子图 ，和哪两个结点的距离最近
                for(int i = 0; i < graph.verxs; i++) { // i结点表示被访问过的结点
                    for(int j = 0; j< graph.verxs;j++) { //j结点表示还没有访问过的结点
                        if(visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) { 
                            //替换minWeight(寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边)
                            minWeight = graph.weight[i][j];
                            h1 = i;
                            h2 = j;
                        }
                    }
                }
                //找到一条边是最小
                System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight);
                //将当前这个结点标记为已经访问
                visited[h2] = 1;
                //minWeight 重新设置为最大值 10000
                minWeight = 10000;
            }
    
        }
    }
    
    class MGraph { 
        int verxs; //表示图的节点个数
        char[] data;//存放结点数据
        int[][] weight; //存放边，就是我们的邻接矩阵
    
        public MGraph(int verxs) { 
            this.verxs = verxs;
            data = new char[verxs];
            weight = new int[verxs][verxs];
        }
    }

**结果展示**

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMzcxNTU2_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]

## 7. 克鲁斯卡尔算法 ##

> 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来**求加权连通图的最小生成树的算法**。  
> **基本思想**：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并 保证这n-1条边不构成回路(构图关键)   
> **做法**：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止

**应用场景-公交站问题**  
某城市新增7个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个站点连通. 各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12公里  
问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

![在这里插入图片描述][20200228170128977.png]

**做法**

*  第1步：将边<E,F>加入R中。  
    边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
 *  第2步：将边<C,D>加入R中。  
    上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
 *  第3步：将边<D,E>加入R中。  
    上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
 *  第4步：将边<B,F>加入R中。  
    上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。
 *  第5步：将边<E,G>加入R中。  
    上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
 *  第6步：将边<A,B>加入R中。  
    上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。
 *  此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMzcxNTU2_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]  
**克鲁斯卡尔算法分析**

>  根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：

*  **问题一:** 对图的所有边按照权值大小进行排序。
 *  **问题二:** 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

问题一很好解决 **，采用排序算法进行排序** 即可。  
问题二的处理方式是：**记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。**

**代码实现**

public class KruskalCase { 
    
        private int edgeNum; //边的个数
        private char[] vertexs; //顶点数组
        private int[][] matrix; //邻接矩阵
        //使用 INF 表示两个顶点不能连通
        private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;//代表int数组的最大取值:2147483647,在图中表示两个顶点距离无线大(不连通)
    
        public static void main(String[] args) { 
            char[] vertexs = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
            //克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵
            int matrix[][] = { 
                    /*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*/
                    /*A*/ {    0,  12, INF, INF, INF,  16,  14},
                    /*B*/ {   12,   0,  10, INF, INF,   7, INF},
                    /*C*/ {  INF,  10,   0,   3,   5,   6, INF},
                    /*D*/ {  INF, INF,   3,   0,   4, INF, INF},
                    /*E*/ {  INF, INF,   5,   4,   0,   2,   8},
                    /*F*/ {   16,   7,   6, INF,   2,   0,   9},
                    /*G*/ {   14, INF, INF, INF,   8,   9,   0}};
            //大家可以在去测试其它的邻接矩阵，结果都可以得到最小生成树.
    
            //创建KruskalCase 对象实例
            KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);
            //输出构建的
            kruskalCase.print();
            kruskalCase.kruskal();
    
        }
    
        //构造器
        public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) { 
            //初始化顶点数和边的个数
            int vlen = vertexs.length;
    
            //初始化顶点, 复制拷贝的方式(不会影响原来属性的变更)
            this.vertexs = new char[vlen];
            for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { 
                this.vertexs[i] = vertexs[i];
            }
    
            //初始化边, 使用的是复制拷贝的方式
            this.matrix = new int[vlen][vlen];
            for(int i = 0; i < vlen; i++) { 
                for(int j= 0; j < vlen; j++) { 
                    this.matrix[i][j] = matrix[i][j];
                }
            }
            //统计边的条数
            for(int i =0; i < vlen; i++) { 
                for(int j = i+1; j < vlen; j++) { 
                    if(this.matrix[i][j] != INF) { 
                        edgeNum++;
                    }
                }
            }
    
        }
        public void kruskal() { 
            int index = 0; //表示最后结果数组的索引
            int[] ends = new int[edgeNum]; //用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点
            //创建结果数组, 保存最后的最小生成树
            EData[] rets = new EData[edgeNum];
    
            //获取图中 所有的边的集合 ， 一共有12边
            EData[] edges = getEdges();
            System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共"+ edges.length); //12
    
            //按照边的权值大小进行排序(从小到大)
            sortEdges(edges);
    
            //遍历edges 数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边否形成了回路，如果没有，就加入 rets, 否则不能加入
            for(int i=0; i < edgeNum; i++) { 
                //获取到第i条边的第一个顶点(起点)
                int p1 = getPosition(edges[i].start); //p1=4
                //获取到第i条边的第2个顶点
                int p2 = getPosition(edges[i].end); //p2 = 5
    
                //获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点
                int m = getEnd(ends, p1); //m = 4
                //获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点
                int n = getEnd(ends, p2); // n = 5
                //是否构成回路
                if(m != n) {  //没有构成回路
                    ends[m] = n; // 设置m 在"已有最小生成树"中的终点 <E,F> [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]
                    rets[index++] = edges[i]; //有一条边加入到rets数组
                }
            }
            //<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。
            //统计并打印 "最小生成树", 输出 rets
            System.out.println("最小生成树为");
            for(int i = 0; i < index; i++) { 
                System.out.println(rets[i]);
            }
    
    
        }
    
        //打印邻接矩阵
        public void print() { 
            System.out.println("邻接矩阵为: \n");
            for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { 
                for(int j=0; j < vertexs.length; j++) { 
                    System.out.printf("%12d", matrix[i][j]);
                }
                System.out.println();//换行
            }
        }
    
        /** * 功能：对边进行排序处理, 冒泡排序 * @param edges 边的集合 */
        private void sortEdges(EData[] edges) { 
            for(int i = 0; i < edges.length - 1; i++) { 
                for(int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) { 
                    if(edges[j].weight > edges[j+1].weight) { //交换
                        EData tmp = edges[j];
                        edges[j] = edges[j+1];
                        edges[j+1] = tmp;
                    }
                }
            }
        }
        /** * * @param ch 顶点的值，比如'A','B' * @return 返回ch顶点对应的下标，如果找不到，返回-1 */
        private int getPosition(char ch) { 
            for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { 
                if(vertexs[i] == ch) { //找到
                    return i;
                }
            }
            //找不到,返回-1
            return -1;
        }
        /** * 功能: 获取图中边，放到EData[] 数组中，后面我们需要遍历该数组 * 是通过matrix 邻接矩阵来获取 * EData[] 形式 [['A','B', 12], ['B','F',7], .....] * @return */
        private EData[] getEdges() { 
            int index = 0;
            EData[] edges = new EData[edgeNum];
            for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) { 
                for(int j=i+1; j <vertexs.length; j++) { 
                    if(matrix[i][j] != INF) { 
                        edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);
                    }
                }
            }
            return edges;
        }
        /** * 功能: 获取下标为i的顶点的终点(), 用于后面判断两个顶点的终点是否相同 * @param ends ： 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends 数组是在遍历过程中，逐步形成 * @param i : 表示传入的顶点对应的下标 * @return 返回的就是 下标为i的这个顶点对应的终点的下标 */
        private int getEnd(int[] ends, int i) {  // i = 4 [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]
            while(ends[i] != 0) { 
                i = ends[i];
            }
            return i;
        }
    
    }
    
    //创建一个类EData ，它的对象实例就表示一条边
    class EData { 
        char start; //边的一个点
        char end; //边的另外一个点
        int weight; //边的权值
        //构造器
        public EData(char start, char end, int weight) { 
            this.start = start;
            this.end = end;
            this.weight = weight;
        }
        //重写toString, 便于输出边信息
        @Override
        public String toString() { 
            return "EData [<" + start + ", " + end + ">= " + weight + "]";
        }
    
    
    }

**结果展示**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMzcxNTU2_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]

## 8. 迪杰斯特拉算法 ##

>  迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型**最短路径算法**，用于计算一个结点到其他结点的最短路径。 它的主要特点是**以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止**。

**迪杰斯特拉(Dijkstra)算法过程**  
设置出发顶点为v，顶点集合V\{v1,v2,vi…\}，v到V中各顶点的距离构成距离集合Dis，Dis\{d1,d2,di…\}，Dis集合记录着v到图中各顶点的距离(到自身可以看作0，v到vi距离对应为di)

*  从Dis中选择值最小的di并移出Dis集合，同时移出V集合中对应的顶点vi，此时的v到vi即为最短路径
 *  更新Dis集合，更新规则为：比较v到V集合中顶点的距离值，与v通过vi到V集合中顶点的距离值，保留值较小的一个(同时也应该更新顶点的前驱节点为vi，表明是通过vi到达的)
 *  **重复执行两步骤，直到最短路径顶点为目标顶点即可结束**

**迪杰斯特拉(Dijkstra)算法最佳应用-最短路径**

>  战争时期，胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ，现在有六个邮差，从G点出发，需要分别把邮件分别送到 A, B, C , D, E, F 六个村庄. 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里. 问：  
> (1)如何计算出G村庄到 其它各个村庄的最短距离?  
> (2)如果从其它点出发到各个点的最短距离又是多少?

![在这里插入图片描述][20200229114456566.png]

**思路图**

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMzcxNTU2_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]  
**代码实现**

public class DijkstraAlgorithm { 
        public static void main(String[] args) { 
            //字符数组用来存放每个顶点
            char[] vertex = {  'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
            //每个顶点间邻接矩阵
            int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
            final int N = 65535;// 表示不可以连接(取int的最大值)
            matrix[0]=new int[]{ N,5,7,N,N,N,2};
            matrix[1]=new int[]{ 5,N,N,9,N,N,3};
            matrix[2]=new int[]{ 7,N,N,N,8,N,N};
            matrix[3]=new int[]{ N,9,N,N,N,4,N};
            matrix[4]=new int[]{ N,N,8,N,N,5,4};
            matrix[5]=new int[]{ N,N,N,4,5,N,6};
            matrix[6]=new int[]{ 2,3,N,N,4,6,N};
            //创建 Graph对象
            Graph graph = new Graph(vertex, matrix);
            //测试, 看看图的邻接矩阵是否ok
            graph.showGraph();
            //测试迪杰斯特拉算法
            graph.dsj(2);//C
            graph.showDijkstra();
    
    
        }
    
    }
    
    class Graph { 
        private char[] vertex; // 顶点数组
        private int[][] matrix; // 邻接矩阵
        private VisitedVertex vv; //已经访问的顶点的集合
    
        // 构造器
        public Graph(char[] vertex, int[][] matrix) { 
            this.vertex = vertex;
            this.matrix = matrix;
        }
    
        //显示结果
        public void showDijkstra() { 
            vv.show();
        }
    
        // 显示图
        public void showGraph() { 
            for (int[] link : matrix) { 
                System.out.println(Arrays.toString(link));
            }
        }
    
        //迪杰斯特拉算法实现
        /** * * @param index 表示出发顶点对应的下标 */
        public void dsj(int index) { 
            vv = new VisitedVertex(vertex.length, index);
            update(index);//更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点
            for(int j = 1; j <vertex.length; j++) { 
                index = vv.updateArr();// 选择并返回新的访问顶点
                update(index); // 更新index顶点到周围顶点的距离和前驱顶点
            }
        }
    
    
    
        //更新index下标顶点到周围顶点的距离和周围顶点的前驱顶点,
        private void update(int index) { 
            int len = 0;
            //根据遍历我们的邻接矩阵的 matrix[index]行
            for(int j = 0; j < matrix[index].length; j++) { 
                // len 含义是 : 出发顶点到index顶点的距离 + 从index顶点到j顶点的距离的和
                len = vv.getDis(index) + matrix[index][j];
                // 如果j顶点没有被访问过，并且 len 小于出发顶点到j顶点的距离，就需要更新
                if(!vv.in(j) && len < vv.getDis(j)) { 
                    vv.updatePre(j, index); //更新j顶点的前驱为index顶点
                    vv.updateDis(j, len); //更新出发顶点到j顶点的距离
                }
            }
        }
    }
    
    // 已访问顶点集合
    class VisitedVertex { 
        // 记录各个顶点是否访问过 1表示访问过,0未访问,会动态更新
        public int[] already_arr;
        // 每个下标对应的值为前一个顶点下标, 会动态更新
        public int[] pre_visited;
        // 记录出发顶点到其他所有顶点的距离,比如G为出发顶点，就会记录G到其它顶点的距离，会动态更新，求的最短距离就会存放到dis
        public int[] dis;
    
        //构造器
        /** * * @param length :表示顶点的个数 * @param index: 出发顶点对应的下标, 比如G顶点，下标就是6 */
        public VisitedVertex(int length, int index) { 
            this.already_arr = new int[length];
            this.pre_visited = new int[length];
            this.dis = new int[length];
            //初始化 dis数组
            Arrays.fill(dis, 65535);
            this.already_arr[index] = 1; //设置出发顶点被访问过
            this.dis[index] = 0;//设置出发顶点的访问距离为0
    
        }
        /** * 功能: 判断index顶点是否被访问过 * @param index * @return 如果访问过，就返回true, 否则访问false */
        public boolean in(int index) { 
            return already_arr[index] == 1;
        }
    
        /** * 功能: 更新出发顶点到index顶点的距离 * @param index * @param len */
        public void updateDis(int index, int len) { 
            dis[index] = len;
        }
        /** * 功能: 更新pre这个顶点的前驱顶点为index顶点 * @param pre * @param index */
        public void updatePre(int pre, int index) { 
            pre_visited[pre] = index;
        }
        /** * 功能:返回出发顶点到index顶点的距离 * @param index */
        public int getDis(int index) { 
            return dis[index];
        }
    
    
        /** * 继续选择并返回新的访问顶点， 比如这里的G 完后，就是 A点作为新的访问顶点(注意不是出发顶点) * @return */
        public int updateArr() { 
            int min = 65535, index = 0;
            for(int i = 0; i < already_arr.length; i++) { 
                if(already_arr[i] == 0 && dis[i] < min ) { 
                    min = dis[i];
                    index = i;
                }
            }
            //更新 index 顶点被访问过
            already_arr[index] = 1;
            return index;
        }
    
        //显示最后的结果
        //即将三个数组的情况输出
        public void show() { 
    
            System.out.println("==========================");
            //输出already_arr
            for(int i : already_arr) { 
                System.out.print(i + " ");
            }
            System.out.println();
            //输出pre_visited
            for(int i : pre_visited) { 
                System.out.print(i + " ");
            }
            System.out.println();
            //输出dis
            for(int i : dis) { 
                System.out.print(i + " ");
            }
            System.out.println();
            //为了好看最后的最短距离，我们处理
            char[] vertex = {  'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
            int count = 0;
            for (int i : dis) { 
                if (i != 65535) { 
                    System.out.print(vertex[count] + "("+i+") ");
                } else { 
                    System.out.println("N ");
                }
                count++;
            }
            System.out.println();
    
        }
    
    }

**结果展示**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMzcxNTU2_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]

## 9. 弗洛伊德算法 ##

**弗洛伊德(Floyd)算法介绍**

>  和Dijkstra算法一样，弗洛伊德(Floyd)算法也是一种**用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法**。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名

*  弗洛伊德算法(Floyd)计算图中各个顶点之间的最短路径
 *  迪杰斯特拉算法用于计算图中某一个顶点到其他顶点的最短路径。
 *  **弗洛伊德算法 VS 迪杰斯特拉算法： 迪杰斯特拉算法通过选定的被访问顶点作为出发点, 求该顶点到其他顶点的最短路径； 弗洛伊德算法中每一个顶点都是出发点和访问点，求出从每一个顶点到其他顶点的最短路径。**

**弗洛伊德(Floyd)算法最佳应用-最短路径**

> 胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G). 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里  
> 问：如何计算出各村庄到 其它各村庄的最短距离?  
>

![在这里插入图片描述][20200301110805696.png]

**弗洛伊德(Floyd)算法分析**

>  设置顶点vi到顶点vk的最短路径已知为Lik，顶点vk到vj的最短路径已知为Lkj，顶点vi到vj的路径为Lij，则vi到vj的最短路径为：min((Lik+Lkj),Lij)，vk的取值为图中所有顶点，则可获得vi到vj的最短路径  
> 至于vi到vk的最短路径Lik或者vk到vj的最短路径Lkj，是以同样的方式获得

图解分析

*  首先需要将各顶点之间的距离转换成邻接矩阵  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMzcxNTU2_size_16_color_FFFFFF_t_70 11]
 *  其次需要初始顶点前驱的关系

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMzcxNTU2_size_16_color_FFFFFF_t_70 12]

*  第一轮循环中，以A(下标为：0)作为中间顶点(**把A作为顶点的情况都进行遍历, 就会得到更新后的距离表和前驱关系**)，距离表和前驱关系更新为：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMzcxNTU2_size_16_color_FFFFFF_t_70 13]

分析如下：

1.  以A顶点作为中间顶点是，C–>A->G的距离由N->9，同理G到A；C->A->B的距离由N->12，同理B到C  
     但是需要注意的是G->A->B的距离7大于G-B的距离3,因此不会修改距离
2.  **更换中间顶点，循环执行操作，直到所有顶点都作为中间顶点更新后，计算结束**

代码实现

public class FloydAlgorthm { 
        public static void main(String[] args) { 
            // 测试看看图是否创建成功
            char[] vertex = {  'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
            //创建邻接矩阵
            int[][] matrix = new int[vertex.length][vertex.length];
            final int N = 65535;
            matrix[0] = new int[] {  0, 5, 7, N, N, N, 2 };
            matrix[1] = new int[] {  5, 0, N, 9, N, N, 3 };
            matrix[2] = new int[] {  7, N, 0, N, 8, N, N };
            matrix[3] = new int[] {  N, 9, N, 0, N, 4, N };
            matrix[4] = new int[] {  N, N, 8, N, 0, 5, 4 };
            matrix[5] = new int[] {  N, N, N, 4, 5, 0, 6 };
            matrix[6] = new int[] {  2, 3, N, N, 4, 6, 0 };
    
            //创建 Graph 对象
            Graph graph = new Graph(vertex.length, matrix, vertex);
            //调用弗洛伊德算法
            graph.floyd();
            graph.show();
        }
    
    }
    
    // 创建图
    class Graph { 
        private char[] vertex; // 存放顶点的数组
        private int[][] dis; // 保存从各个顶点出发到其它顶点的距离，最后的结果，也是保留在该数组
        private int[][] pre;// 保存到达目标顶点的前驱顶点
    
        // 构造器
        /** * * @param length 大小 * @param matrix 邻接矩阵 * @param vertex 顶点数组 */
        public Graph(int length, int[][] matrix, char[] vertex) { 
            this.vertex = vertex;
            this.dis = matrix;
            this.pre = new int[length][length];
            // 对pre数组初始化, 注意存放的是前驱顶点的下标
            for (int i = 0; i < length; i++) { 
                Arrays.fill(pre[i], i);
            }
        }
    
        // 显示pre数组和dis数组
        public void show() { 
    
            //为了显示便于阅读，我们优化一下输出
            char[] vertex = {  'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G' };
            for (int k = 0; k < dis.length; k++) { 
                // 先将pre数组输出的一行
                for (int i = 0; i < dis.length; i++) { 
                    System.out.print(vertex[pre[k][i]] + " ");
                }
                System.out.println();
                // 输出dis数组的一行数据
                for (int i = 0; i < dis.length; i++) { 
                    System.out.print("("+vertex[k]+"到"+vertex[i]+"的最短路径是" + dis[k][i] + ") ");
                }
                System.out.println();
                System.out.println();
    
            }
    
        }
    
        //弗洛伊德算法, 比较容易理解，而且容易实现
        public void floyd() { 
            int len = 0; //变量保存距离
            //对中间顶点遍历， k 就是中间顶点的下标 [A, B, C, D, E, F, G]
            for(int k = 0; k < dis.length; k++) {  //
                //从i顶点开始出发 [A, B, C, D, E, F, G]
                for(int i = 0; i < dis.length; i++) { 
                    //到达j顶点 // [A, B, C, D, E, F, G]
                    for(int j = 0; j < dis.length; j++) { 
                        len = dis[i][k] + dis[k][j];// => 求出从i 顶点出发，经过 k中间顶点，到达 j 顶点距离
                        if(len < dis[i][j]) { //如果len小于 dis[i][j]
                            dis[i][j] = len;//更新距离
                            pre[i][j] = pre[k][j];//更新前驱顶点
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }

**结果展示**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMzcxNTU2_size_16_color_FFFFFF_t_70 14]

## 10. 马踏棋盘/骑士周游问题 ##

>  马踏棋盘算法也被称为骑士周游问题  
> 将马随机放在国际象棋的8×8棋盘Board\[0～7\]\[0～7\]的某个方格中，马按走棋规则(马走日字)进行移动。要求每个方格只进入一次，走遍棋盘上全部64个方格  
> [游戏试玩][Link 2]

**马踏棋盘问题分析**

*  马踏棋盘问题(骑士周游问题)实际上是**图的深度优先搜索(DFS)的应用。**
 *  如果使用回溯（就是深度优先搜索）来解决，假如马儿踏了53个点，如图：走到了第53个，坐标（1,0），发现已经走到尽头，没办法，那就只能回退了，查看其他的路径，就在棋盘上不停的回溯…… ，思路分析+代码实现
 *  分析第一种方式的问题，并使用贪心算法（greedyalgorithm）进行优化。解决马踏棋盘问题.
 *  使用前面的游戏来验证算法是否正确。

**代码实现**

public class HorseChessboard { 
        private static int X; // 棋盘的列数
        private static int Y; // 棋盘的行数
        //创建一个数组，标记棋盘的各个位置是否被访问过
        private static boolean visited[];
        //使用一个属性，标记是否棋盘的所有位置都被访问
        private static boolean finished; // 如果为true,表示成功
    
        public static void main(String[] args) { 
            System.out.println("骑士周游算法，开始运行~~");
    
            /** * 测试骑士周游算法是否正确 * 在使用时,需要输入棋盘尺寸以及马的初始位置 */
            X = 6;
            Y = 6;
            int row = 1; //马儿初始位置的行，从1开始编号
            int column = 2 ; //马儿初始位置的列，从1开始编号
            //创建棋盘
            int[][] chessboard = new int[X][Y];
            visited = new boolean[X * Y];//初始值都是false
            //测试一下耗时
            long start = System.currentTimeMillis();
            traversalChessboard(chessboard, row - 1, column - 1, 1);
            long end = System.currentTimeMillis();
            System.out.println("共耗时: " + (end - start) + " 毫秒");
    
            //输出棋盘的最后情况
            for(int[] rows : chessboard) { 
                for(int step: rows) { 
                    System.out.print(step-1 + "\t");//因为第一步是游戏指定的,不需要我们移动
                }
                System.out.println();
            }
        }
    
        /** * 完成骑士周游问题的算法 * @param chessboard 棋盘 * @param row 马儿当前的位置的行 从0开始 * @param column 马儿当前的位置的列 从0开始 * @param step 是第几步 ,初始位置就是第1步 */
        public static void traversalChessboard(int[][] chessboard, int row, int column, int step) { 
            chessboard[row][column] = step;
            //row = 4 X = 8 column = 4 = 4 * 8 + 4 = 36
            visited[row * X + column] = true; //标记该位置已经访问
            //获取当前位置可以走的下一个位置的集合
            ArrayList<Point> ps = next(new Point(column, row));
            //对ps进行排序,排序的规则就是对ps的所有的Point对象的下一步的位置的数目，进行非递减排序
            sort(ps);
            //遍历 ps
            while(!ps.isEmpty()) { 
                Point p = ps.remove(0);//取出下一个可以走的位置
                //判断该点是否已经访问过
                if(!visited[p.y * X + p.x]) { //说明还没有访问过
                    traversalChessboard(chessboard, p.y, p.x, step + 1);
                }
            }
            //判断马儿是否完成了任务，使用 step 和应该走的步数比较 ，
            //如果没有达到数量，则表示没有完成任务，将整个棋盘置0
            //说明: step < X * Y 成立的情况有两种
            //1. 棋盘到目前位置,仍然没有走完
            //2. 棋盘处于一个回溯过程
            if(step < X * Y && !finished ) { 
                chessboard[row][column] = 0;
                visited[row * X + column] = false;
            } else { 
                finished = true;
            }
    
        }
    
        /** * 功能： 根据当前位置(Point对象)，计算马儿还能走哪些位置(Point)，并放入到一个集合中(ArrayList), 最多有8个位置 * @param curPoint * @return */
        public static ArrayList<Point> next(Point curPoint) { 
            //创建一个ArrayList
            ArrayList<Point> ps = new ArrayList<Point>();
            //创建一个Point
            Point p1 = new Point();
            //表示马儿可以走5这个位置
            if((p1.x = curPoint.x - 2) >= 0 && (p1.y = curPoint.y -1) >= 0) { 
                ps.add(new Point(p1));
            }
            //判断马儿可以走6这个位置
            if((p1.x = curPoint.x - 1) >=0 && (p1.y=curPoint.y-2)>=0) { 
                ps.add(new Point(p1));
            }
            //判断马儿可以走7这个位置
            if ((p1.x = curPoint.x + 1) < X && (p1.y = curPoint.y - 2) >= 0) { 
                ps.add(new Point(p1));
            }
            //判断马儿可以走0这个位置
            if ((p1.x = curPoint.x + 2) < X && (p1.y = curPoint.y - 1) >= 0) { 
                ps.add(new Point(p1));
            }
            //判断马儿可以走1这个位置
            if ((p1.x = curPoint.x + 2) < X && (p1.y = curPoint.y + 1) < Y) { 
                ps.add(new Point(p1));
            }
            //判断马儿可以走2这个位置
            if ((p1.x = curPoint.x + 1) < X && (p1.y = curPoint.y + 2) < Y) { 
                ps.add(new Point(p1));
            }
            //判断马儿可以走3这个位置
            if ((p1.x = curPoint.x - 1) >= 0 && (p1.y = curPoint.y + 2) < Y) { 
                ps.add(new Point(p1));
            }
            //判断马儿可以走4这个位置
            if ((p1.x = curPoint.x - 2) >= 0 && (p1.y = curPoint.y + 1) < Y) { 
                ps.add(new Point(p1));
            }
            return ps;
        }
    
        //根据当前这个一步的所有的下一步的选择位置，进行非递减排序, 减少回溯的次数
        public static void sort(ArrayList<Point> ps) { 
            ps.sort(new Comparator<Point>() { 
    
                @Override
                public int compare(Point o1, Point o2) { 
                    // TODO Auto-generated method stub
                    //获取到o1的下一步的所有位置个数
                    int count1 = next(o1).size();
                    //获取到o2的下一步的所有位置个数
                    int count2 = next(o2).size();
                    if(count1 < count2) { 
                        return -1;
                    } else if (count1 == count2) { 
                        return 0;
                    } else { 
                        return 1;
                    }
                }
    
            });
        }
    }

**结果展示**  
 注意: 二维数组中的数代表马儿移动的顺序!!!   
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMzcxNTU2_size_16_color_FFFFFF_t_70 15]  
**游戏内的实践**  
 注意: \* 代表马的初始位置   
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMzcxNTU2_size_16_color_FFFFFF_t_70 16]  
成功通过~~~winner!!!  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMzcxNTU2_size_16_color_FFFFFF_t_70 17]

--------------------

写在最后

在将马踏棋盘游戏通关后, 历时一个多月的数据结构与算法终于看完. 注意是看完而不是学习完.   
 因为数据结构学习作为程序员的基本素养的培养是长期的,他或许不能显著的提高我们的工作能力,   
 但却能够改变我们的思维方式, 给我们一个新的看世界的角度.  
 这些算法产生的原因都来源于生活, 它的实现又高于生活.   
 羡慕能够设计这些算法的大佬能够以自己的名字命名,能让自己在这个行业永垂青史! 或许这是许多程序员的终极目标吧!   
不管我们掌握了多少, 既然选择了这一行业,就应该发扬卖油翁(熟能生巧)的精神和老黄牛(勤勤恳恳)的精神   
 不断学习, 取努力奔向成功吧! 或许, 将来在这个行业也会出现以你的名字命名的技术or算法呢? 而这谁又能说不是呢…

[20200225181009586.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200225181009586.png
[20200225213517993.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200225213517993.png
[Link 1]: http://www.4399.com/flash/109504_1.htm
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMzcxNTU2_size_16_color_FFFFFF_t_70]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200225221817702.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMzcxNTU2,size_16,color_FFFFFF,t_70
[20200226163411340.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200226163411340.png
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[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMzcxNTU2_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200226164938467.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQzMzcxNTU2,size_16,color_FFFFFF,t_70
[2020022622403212.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/2020022622403212.png
[KMP]: https://blog.csdn.net/qqyuanhao163/article/details/99177265?depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task&utm_source=distribute.pc_relevant.none-task
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