考研数学第四、五章复习：不定积分与定积分

谁借莪１个温暖的怀抱￠ 2023-07-08 09:29 22阅读 0赞

这一块应该说是基础中的基础了。我不想说太多，只把简要的重点的再强调一遍。

**目录**

一、不定积分与定积分存在定理比较以及其他定义方面的比较

二、定积分的几何意义

三、不定积分与定积分的性质比较

--------------------

### 一、不定积分与定积分存在定理比较以及其他定义方面的比较 ###

既然谈到不定积分，我们就无法避免提及原函数的概念。

**原函数存在定理：如果函数f(x)在区间*I*上连续，那么在区间*I*上存在可导函数F(x)，使对任一x∈*I，*都有F'(x)=f(x)。**

**简而言之：连续函数一定有原函数。这就是原函数存在定理。**

**另外只要一个函数有一个原函数，那么他就有无穷个元函数，他们之间只是差一个常数项！**

呵呵，有的同学可能会问了，那你的原函数和不定积分有什么关系呢？？？

对啊，有什么关系呢！？同学！请注意看课本，看看不定积分的定义是什么！

定义：**在区间*I*上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)（或f(x)dx）在区间*I*上的不定积分，记做：∫f(x)dx，其中∫称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量。**

明白了么？也就是说，不定积分是一个原函数，那么是否可以说，没有原函数的函数没有不定积分呢？不定积分存在定理？？？

也就是说不连续的函数没有不定积分？？？

是的兄弟们！我们不要小看书本的力量，有很多细节其实你都忽略了，就比如这个。

明白了这个之后，你的第一反应应该是上网验证自己总结的对不对，恭喜你，是正确的，我都给你总结到下面的表里了：

<table style="width:700px;"> 不定积分与定积分的存在定理比较 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>不定积分</td> 
 <td>定积分</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>连续函数必有原函数，必有不定积分。</td> 
 <td>设f(x)在闭区间内连续，则在此区间必可积。</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>含有第一类间断点、无穷间断点的函数 f(x) 在包含该间断点的区间内必没有原函数 F(x)。</td> 
 <td>设f(x)在闭区间上有界，且只有有限个间断点，则在此闭区间上可积。</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

间断点这个东西，其实还是有大学问的。让我们回忆一下吧，间断点的各种类别。

待补充博文连接。。

函数f(x)的**原函数的图形**被称为f(x)的**积分曲线**。

定积分的值只与**被积函数以及积分区间**有关。

### 二、定积分的几何意义 ###

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

不说废话，继续进行。

### 三、不定积分与定积分的性质比较  ###

定积分补充：

![\\int\_\{a\}^\{a\}f(x)dx=0][int_a_a_f_x_dx_0]

![\\int\_\{a\}^\{b\}f(x)dx=-\\int\_\{b\}^\{a\}f(x)dx][int_a_b_f_x_dx_-_int_b_a_f_x_dx]

<table style="width:700px;"> 不定积分和定积分的性质比较 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>不定积分</td> 
 <td>定积分</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 设函数f(x)和g(x)的原函数存在，则 ∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx </td> 
 <td><img alt="\int_{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha \int_{a}^{b}f(x)dx+\beta \int_{a}^{b}f(x)dx" src="https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5B%5Calpha%20f%28x%29&amp;plus;%5Cbeta%20g%28x%29%5Ddx%3D%5Calpha%20%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df%28x%29dx&amp;plus;%5Cbeta%20%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df%28x%29dx"></td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td> 设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则 ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx </td> 
 <td> 定积分对于积分区间具有可加性，不管a、b、c的大小如何，都有 <img alt="\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx" src="https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df%28x%29dx%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bc%7Df%28x%29dx&amp;plus;%5Cint_%7Bc%7D%5E%7Bb%7Df%28x%29dx"> </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>&nbsp;</td> 
 <td> 如果在区间[a,b]上，f(x)恒等于1，那么 <img alt="\int_{a}^{b}1dx=\int_{a}^{b}dx=(b-a)" src="https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D1dx%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Ddx%3D%28b-a%29"> </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>&nbsp;</td> 
 <td> 如果在区间[a,b]上，f(x)&gt;=0，那么(条件是是a&lt;b哦) <img alt="\int_{a}^{b}f(x)dx>=0 (a<b)" src="https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df%28x%29dx%3E%3D0%20%28a%3Cb%29"> 推论1：如果在区间[a,b]上，f(x)&lt;=g(x)那么 <img alt="\int_{a}^{b}f(x)dx<=\int_{a}^{b}g(x)dx" src="https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df%28x%29dx%3C%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Dg%28x%29dx"> 推论2： <img alt="\left |\int_{a}^{b}f(x)dx \right |<=\int_{a}^{b}\left | f(x) \right |dx (a<b)" src="https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%20%7C%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df%28x%29dx%20%5Cright%20%7C%3C%3D%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5Cleft%20%7C%20f%28x%29%20%5Cright%20%7Cdx%20%28a%3Cb%29"> <img alt="" height="394" src="https://img-blog.csdnimg.cn/20200226121617320.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3,size_16,color_FFFFFF,t_70" width="892"> </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>&nbsp;</td> 
 <td> 设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值，最小值，则 <img alt="m(b-a)\leqslant \int_{a}^{b}f(x)dx\leqslant M(b-a)" src="https://private.codecogs.com/gif.latex?m%28b-a%29%5Cleqslant%20%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df%28x%29dx%5Cleqslant%20M%28b-a%29"> </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>&nbsp;</td> 
 <td> 定积分中值定理：如果函数f(x)在积分区间[a,b]上连续，那么在[a,b]上至少存在一个点ξ使得下式成立：（积分中值公式） <img alt="\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)(a \leqslant \xi \leqslant b)" src="https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df%28x%29dx%3Df%28%5Cxi%20%29%28b-a%29%28a%20%5Cleqslant%20%5Cxi%20%5Cleqslant%20b%29">&nbsp; <img alt="" height="383" src="https://img-blog.csdnimg.cn/20200226122306490.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3,size_16,color_FFFFFF,t_70" width="662"> </td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3_size_16_color_FFFFFF_t_70]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200226114938700.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzQxMDc2Nzk3,size_16,color_FFFFFF,t_70
[int_a_a_f_x_dx_0]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Ba%7Df%28x%29dx%3D0
[int_a_b_f_x_dx_-_int_b_a_f_x_dx]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7Df%28x%29dx%3D-%5Cint_%7Bb%7D%5E%7Ba%7Df%28x%29dx