动态规划算法的套路，动态规划入门

短命女 2023-07-13 15:30 41阅读 0赞

> 前言：”与其每天担心未来，不如努力现在。别对自己丧失信心，成长的路上，只有奋斗才能给你最大的安全感“  
> 你好，我是梦阳辰，让我们一起加油，一起努力吧！

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2ppYWh1YW5f_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

### 文章目录 ###

*  1. 动态规划解决的问题
 *  2.动态规划的算法思想
 *  3.动态规划的基本步骤
 *  4.经典例题讲解

# 1. 动态规划解决的问题 #

*  动态规划解决递归算法大量的冗余计算，递归算法时自顶向下思想，中间有太多重复计算，而动态规划自底向上递推求解，用表（通常为数组）记录子问题的解，以便保存和以后的检索，从最简单的问题的解填起，以自底向上的方式填表，这就保证了当我们求解一个子问题的时候，所有的与子问题相关子子问题，都可以从表中直接取用，不必重复计算。即用空间换取时间。但是，对于计算问题的解，还需利用递归公式。
 *  动态规划的由来：  
    由于20世纪40年代末期，还没有出现计算机，这个动态填表的方法称为动态规划。

# 2.动态规划的算法思想 #

*  动态规划的思想的历史由来：

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2ppYWh1YW5f_size_16_color_FFFFFF_t_70]

*  动态规划的总体思想：  
    动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解的问题分解成若干子问题，先求解子问题，再从子问题的解得到原问题的解。在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。而动态规划保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出以求得的答案，就可以避免大量的重复计算，从而得到多项式时间算法。
 *  动态规划用一个表来记录所有已解决的子问题的答案，具体的动态规划算法是多种多样的，但它们具有相同的填表方式。
 *  分治算法的特征![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2ppYWh1YW5f_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]
 *  如果不具备第三条特征，则可以考虑贪心算法或动态规划。

# 3.动态规划的基本步骤 #

*  1.找出最优解的性质并刻划其结构特征
 *  2.递归的定义最优值
 *  3.以自底向上的方式计算出最优值
 *  4.根据计算最优值得到的信息构造最优解（有时可以省略）

**动态规划特点：**  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2ppYWh1YW5f_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]

# 4.经典例题讲解 #

*  题目一：机器人一次可以走1m，2m或3m。编写一个动态规划算法求机器人走n米有多少种走法。  
    **递归求解：**

#include<stdio.h>
    #define N 4
    int robotSteps(int n){ 
    	if(n==1||n==0)
    		return 1;
    	else if(n==2)
    		return 2;
    	else return robotSteps(n-1)+robotSteps(n-2)+robotSteps(n-3);
    }
    int main(){ 
    	int n;
    	printf("一共有%d种走法！\n",robotSteps(N));
    	return 0;
    }

**动态规划求解：**

#include<stdio.h>
    #define N 4
    int robotSteps(int n){ 
    	int i,arr[N+1];
    	arr[1]=1;
    	arr[2]=2;
    	arr[3]=4;
    	for(i=4;i<n+1;i++){ 
    		arr[i]=arr[i-1]+arr[i-2]+arr[i-3];
    	}
    
    return arr[n];
    }
    int main(){ 
    	int n;
    	printf("一共有%d种走法！\n",robotSteps(N));
    	return 0;
    }

*  题目二：  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2ppYWh1YW5f_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2ppYWh1YW5f_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]  
    子问题：列出所有情况可能出现的最优子结构，在将这些情况找出最优子结构。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2ppYWh1YW5f_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]  
    递归解法：  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2ppYWh1YW5f_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]  
    递归求解重复计算太多。
 *  动态规划解决这个问题。  
    1.转移方程  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2ppYWh1YW5f_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]  
    加一表示要一个硬币。  
    2.初始条件和边界情况  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2ppYWh1YW5f_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]  
    初始条件：就是用转移方程算不出来的，需要手工定义。  
    3.计算顺序  
    自顶向上，要让要求得问题，其子问题都被求过。  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2ppYWh1YW5f_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2ppYWh1YW5f_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]

public static int coinChange(int []A,int M) { 
    	int [] f =new int[M+1];
    	int n = A.length;
    	f[0]= 0;
    	int i,j;
    	for(i=1;i<=M;++i) { 
    		f[i]=Integer.MAX_VALUE;
    		for(j=0;j<n;++j) { 
    			if(i>=A[j]&&f[i-A[j]]!=Integer.MAX_VALUE) { 
    				f[i]=Math.min(f[i]-A[j]+1,f[i]);
    			}
    			}
    				
    		
    	}
    	if(f[M]==Integer.MAX_VALUE) { 
    		f[M]=-1;
    	}
    	return f[M];

*  题目三（计数问题）  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2ppYWh1YW5f_size_16_color_FFFFFF_t_70 11]  
    计算顺序：  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2ppYWh1YW5f_size_16_color_FFFFFF_t_70 12]  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2ppYWh1YW5f_size_16_color_FFFFFF_t_70 13]
 *  题目四（存在型）  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2ppYWh1YW5f_size_16_color_FFFFFF_t_70 14]  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2ppYWh1YW5f_size_16_color_FFFFFF_t_70 15]  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2ppYWh1YW5f_size_16_color_FFFFFF_t_70 16]  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2ppYWh1YW5f_size_16_color_FFFFFF_t_70 17]  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2ppYWh1YW5f_size_16_color_FFFFFF_t_70 18]  
    ![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2ppYWh1YW5f_size_16_color_FFFFFF_t_70 19]

[轻松搞定动态规划解决矩阵连乘问题][Link 1]  
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![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2ppYWh1YW5f_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]

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[Link 1]: https://blog.csdn.net/jiahuan_/article/details/105223913
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